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8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax$与二次函数$y=ax^2 -a$的图象可能是(
C
).答案
8. C
解析
【分析】
判断同一直角坐标系中两个含相同参数的函数图象是否匹配，可按参数a的正负分类讨论：首先分别明确一次函数$y=ax$、二次函数$y=ax^2-a$的图象性质：一次函数是过原点的直线，斜率由a决定；二次函数开口方向由a决定，顶点坐标为$(0,-a)$，位置也由a决定。再分别推导$a＞0$、$a＜0$时两个函数的图象特征，逐一对比选项排除矛盾的情况即可得到正确答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数a的取值：
1. 当$a＞0$时：
一次函数$y=ax$过原点，斜率为正，图象经过第一、三象限；
二次函数$y=ax^2 -a$开口向上，顶点坐标为$(0,-a)$，$-a＜0$，即顶点在$y$轴负半轴。
观察选项：C选项一次函数过一、三象限，二次函数开口向上、顶点在y轴负半轴，符合该情况；D选项一次函数过一、三象限但二次函数开口向下，矛盾，排除D。
2. 当$a＜0$时：
一次函数$y=ax$过原点，斜率为负，图象经过第二、四象限；
二次函数$y=ax^2 -a$开口向下，顶点坐标为$(0,-a)$，$-a＞0$，即顶点在$y$轴正半轴。
观察选项：A选项一次函数过二、四象限但二次函数开口向上，矛盾，排除A；B选项二次函数开口向下但顶点在y轴负半轴，矛盾，排除B。
综上只有选项C符合推导结论。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；含参函数图象判断
【点评】
本题是典型的多函数图象匹配类题型，解题核心是利用相同参数的一致性，通过分类讨论结合函数图象性质逐一排除矛盾选项，能有效考查函数性质的掌握情况和分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.7
判断同一直角坐标系中两个含相同参数的函数图象是否匹配，可按参数a的正负分类讨论：首先分别明确一次函数$y=ax$、二次函数$y=ax^2-a$的图象性质：一次函数是过原点的直线，斜率由a决定；二次函数开口方向由a决定，顶点坐标为$(0,-a)$，位置也由a决定。再分别推导$a＞0$、$a＜0$时两个函数的图象特征，逐一对比选项排除矛盾的情况即可得到正确答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数a的取值：
1. 当$a＞0$时：
一次函数$y=ax$过原点，斜率为正，图象经过第一、三象限；
二次函数$y=ax^2 -a$开口向上，顶点坐标为$(0,-a)$，$-a＜0$，即顶点在$y$轴负半轴。
观察选项：C选项一次函数过一、三象限，二次函数开口向上、顶点在y轴负半轴，符合该情况；D选项一次函数过一、三象限但二次函数开口向下，矛盾，排除D。
2. 当$a＜0$时：
一次函数$y=ax$过原点，斜率为负，图象经过第二、四象限；
二次函数$y=ax^2 -a$开口向下，顶点坐标为$(0,-a)$，$-a＞0$，即顶点在$y$轴正半轴。
观察选项：A选项一次函数过二、四象限但二次函数开口向上，矛盾，排除A；B选项二次函数开口向下但顶点在y轴负半轴，矛盾，排除B。
综上只有选项C符合推导结论。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；含参函数图象判断
【点评】
本题是典型的多函数图象匹配类题型，解题核心是利用相同参数的一致性，通过分类讨论结合函数图象性质逐一排除矛盾选项，能有效考查函数性质的掌握情况和分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.7
9. 已知二次函数$y=3(x-1)^2 +k$的图象上有$A(\sqrt{2}, y_1), B(2, y_2), C(-\sqrt{5}, y_3)$三点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为(
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_3＞y_1＞y_2$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
D
).A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_3＞y_1＞y_2$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
答案
9. D
解析
【分析】
要比较二次函数图象上三点的函数值大小，首先先明确该二次函数的开口方向和对称轴：本题给出的是二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。开口向上的抛物线中，点的横坐标离对称轴越远，对应的函数值越大。因此后续只需计算三个点的横坐标到对称轴$x=1$的距离，比较距离大小即可得出函数值的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=3(x-1)^2 +k$：
1. 确定基本性质：$\because a=3＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，抛物线上的点到对称轴$x=1$的距离越远，对应的$y$值越大。
2. 计算各点到对称轴的距离：
点$A(\sqrt{2},y_1)$到对称轴的距离：$|\sqrt{2}-1|=\sqrt{2}-1\approx0.414$
点$B(2,y_2)$到对称轴的距离：$|2-1|=1$
点$C(-\sqrt{5},y_3)$到对称轴的距离：$|-\sqrt{5}-1|=\sqrt{5}+1\approx3.236$
3. 比较距离大小：$\sqrt{5}+1＞1＞\sqrt{2}-1$，因此对应的函数值大小为$y_3＞y_2＞y_1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数顶点式；无理数估算
【点评】
本题是二次函数的常考题型，无需代入计算具体函数值，利用抛物线开口方向和点到对称轴的距离比较函数值大小更为简便，熟练掌握对应规律可快速解题。
【难度系数】
0.8
要比较二次函数图象上三点的函数值大小，首先先明确该二次函数的开口方向和对称轴：本题给出的是二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。开口向上的抛物线中，点的横坐标离对称轴越远，对应的函数值越大。因此后续只需计算三个点的横坐标到对称轴$x=1$的距离，比较距离大小即可得出函数值的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=3(x-1)^2 +k$：
1. 确定基本性质：$\because a=3＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，抛物线上的点到对称轴$x=1$的距离越远，对应的$y$值越大。
2. 计算各点到对称轴的距离：
点$A(\sqrt{2},y_1)$到对称轴的距离：$|\sqrt{2}-1|=\sqrt{2}-1\approx0.414$
点$B(2,y_2)$到对称轴的距离：$|2-1|=1$
点$C(-\sqrt{5},y_3)$到对称轴的距离：$|-\sqrt{5}-1|=\sqrt{5}+1\approx3.236$
3. 比较距离大小：$\sqrt{5}+1＞1＞\sqrt{2}-1$，因此对应的函数值大小为$y_3＞y_2＞y_1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数顶点式；无理数估算
【点评】
本题是二次函数的常考题型，无需代入计算具体函数值，利用抛物线开口方向和点到对称轴的距离比较函数值大小更为简便，熟练掌握对应规律可快速解题。
【难度系数】
0.8
10. 规定:对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，我们把它的图象与$x$轴的公共点的横坐标称为二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的零点.已知二次函数$y=(k-8)x^2-6x+k$只有一个零点且图象开口向下，则该零点是(
A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$3$
D.$-\dfrac{1}{3}$或$3$
A
).A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$3$
D.$-\dfrac{1}{3}$或$3$
答案
10. A
解析
【分析】
首先，根据题目给出的二次函数零点的定义，二次函数只有一个零点等价于对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0；另外题目给出图象开口向下，说明二次项系数小于0。我们可以先通过这两个约束条件求出参数k的取值，再将k代入函数解析式，求解y=0时的x值，即可得到该零点。解题时要注意不能遗漏“开口向下”的条件，否则会多解出错。
【解析】
解：
∵ 二次函数图象开口向下
∴ 二次项系数 $ k-8 ＜ 0 $，解得 $ k ＜ 8 $
∵ 二次函数只有一个零点，即对应的一元二次方程有两个相等的实数根
∴ 判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac = 0 $
其中 $ a = k-8 $，$ b=-6 $，$ c=k $，代入得：
$ (-6)^2 - 4×(k-8)× k = 0 $
化简得：$ 36 - 4k(k-8) = 0 $
两边除以4整理得：$ k^2 - 8k -9 = 0 $
因式分解得：$ (k-9)(k+1) = 0 $
解得 $ k=9 $ 或 $ k=-1 $
结合 $ k＜8 $ 的条件，舍去 $ k=9 $，取 $ k=-1 $
将 $ k=-1 $ 代入原二次函数得：
$ y = (-1-8)x^2 -6x + (-1) = -9x^2 -6x -1 $
求零点即令 $ y=0 $，得方程：
$ -9x^2 -6x -1 = 0 $
整理得 $ 9x^2 +6x +1 = 0 $
因式分解得 $ (3x+1)^2 = 0 $
解得 $ x = -\frac{1}{3} $
即该零点为 $ -\frac{1}{3} $
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质；一元二次方程根的判别式；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程的综合应用题，易错点是忽略“开口向下”的约束条件，未对k的解进行取舍，从而错选D。解题时要注意审题，充分利用所有给定条件筛选结果。
【难度系数】
0.7
首先，根据题目给出的二次函数零点的定义，二次函数只有一个零点等价于对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0；另外题目给出图象开口向下，说明二次项系数小于0。我们可以先通过这两个约束条件求出参数k的取值，再将k代入函数解析式，求解y=0时的x值，即可得到该零点。解题时要注意不能遗漏“开口向下”的条件，否则会多解出错。
【解析】
解：
∵ 二次函数图象开口向下
∴ 二次项系数 $ k-8 ＜ 0 $，解得 $ k ＜ 8 $
∵ 二次函数只有一个零点，即对应的一元二次方程有两个相等的实数根
∴ 判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac = 0 $
其中 $ a = k-8 $，$ b=-6 $，$ c=k $，代入得：
$ (-6)^2 - 4×(k-8)× k = 0 $
化简得：$ 36 - 4k(k-8) = 0 $
两边除以4整理得：$ k^2 - 8k -9 = 0 $
因式分解得：$ (k-9)(k+1) = 0 $
解得 $ k=9 $ 或 $ k=-1 $
结合 $ k＜8 $ 的条件，舍去 $ k=9 $，取 $ k=-1 $
将 $ k=-1 $ 代入原二次函数得：
$ y = (-1-8)x^2 -6x + (-1) = -9x^2 -6x -1 $
求零点即令 $ y=0 $，得方程：
$ -9x^2 -6x -1 = 0 $
整理得 $ 9x^2 +6x +1 = 0 $
因式分解得 $ (3x+1)^2 = 0 $
解得 $ x = -\frac{1}{3} $
即该零点为 $ -\frac{1}{3} $
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质；一元二次方程根的判别式；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程的综合应用题，易错点是忽略“开口向下”的约束条件，未对k的解进行取舍，从而错选D。解题时要注意审题，充分利用所有给定条件筛选结果。
【难度系数】
0.7
二、填空题
11. 已知二次函数$y=-\dfrac{5}{7}x^{2}$，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而
11. 已知二次函数$y=-\dfrac{5}{7}x^{2}$，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而
增大
。答案
11. 增大
解析
【分析】
要解决这道题，需按照y=ax²型二次函数的性质逐步推导：首先通过二次项系数a的正负判断抛物线开口方向，再确定该类函数的对称轴，最后结合开口方向和给定的x取值区间判断y随x的变化规律。
第一步：确定二次项系数$a=-\dfrac{5}{7}＜0$，可知抛物线开口向下；
第二步：y=ax²类二次函数的对称轴为y轴，也就是直线x=0；
第三步：开口向下的抛物线，在对称轴左侧（x＜0时）y随x增大而增大，在对称轴右侧（x＞0时）y随x增大而减小，结合题目x＜0的条件即可得出结论。
【解析】
对于二次函数$y=-\dfrac{5}{7}x^{2}$：
1. 二次项系数$a=-\dfrac{5}{7}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 该函数的对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
3. 开口向下的抛物线，在对称轴左侧（$x＜0$的区间），$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
增大
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数增减性判断
3. 抛物线对称轴
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查对y=ax²类二次函数图象性质的掌握，只要熟记开口方向、对称轴与增减性的对应关系即可快速作答，是二次函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，需按照y=ax²型二次函数的性质逐步推导：首先通过二次项系数a的正负判断抛物线开口方向，再确定该类函数的对称轴，最后结合开口方向和给定的x取值区间判断y随x的变化规律。
第一步：确定二次项系数$a=-\dfrac{5}{7}＜0$，可知抛物线开口向下；
第二步：y=ax²类二次函数的对称轴为y轴，也就是直线x=0；
第三步：开口向下的抛物线，在对称轴左侧（x＜0时）y随x增大而增大，在对称轴右侧（x＞0时）y随x增大而减小，结合题目x＜0的条件即可得出结论。
【解析】
对于二次函数$y=-\dfrac{5}{7}x^{2}$：
1. 二次项系数$a=-\dfrac{5}{7}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 该函数的对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
3. 开口向下的抛物线，在对称轴左侧（$x＜0$的区间），$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
增大
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数增减性判断
3. 抛物线对称轴
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查对y=ax²类二次函数图象性质的掌握，只要熟记开口方向、对称轴与增减性的对应关系即可快速作答，是二次函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
12. 抛物线$y=5(x+1)(x-2)$与$x$轴的一个公共点的坐标是$(-1,0)$，则与$x$轴的另一个公共点的坐标是
(2,0)
。答案
12. (2,0)
解析
【分析】
要找抛物线与x轴的另一个公共点坐标，首先明确x轴上所有点的纵坐标都是0，因此抛物线与x轴交点的横坐标就是当y=0时对应一元二次方程的根。题目给出的抛物线解析式已经是因式分解的形式，令y=0后可以直接得到方程的两个根，已知其中一个根对应点(-1,0)，就能快速求出另一个根对应的交点坐标。
【解析】
抛物线与x轴的交点处纵坐标为0，因此令y=0，可得：
$5(x+1)(x-2)=0$
∵常数5≠0，
∴$x+1=0$ 或 $x-2=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=2$。
已知其中一个公共点坐标为$(-1,0)$，因此另一个公共点的坐标为$(2,0)$。
【答案】
(2,0)
【知识点】
1. 抛物线与x轴交点特征
2. 二次函数与一元二次方程的关系
3. 因式分解法解方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数与对应一元二次方程的联系，利用因式分解形式的解析式可以直接快速得到x轴交点坐标，不需要复杂计算，熟练掌握相关性质就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
要找抛物线与x轴的另一个公共点坐标，首先明确x轴上所有点的纵坐标都是0，因此抛物线与x轴交点的横坐标就是当y=0时对应一元二次方程的根。题目给出的抛物线解析式已经是因式分解的形式，令y=0后可以直接得到方程的两个根，已知其中一个根对应点(-1,0)，就能快速求出另一个根对应的交点坐标。
【解析】
抛物线与x轴的交点处纵坐标为0，因此令y=0，可得：
$5(x+1)(x-2)=0$
∵常数5≠0，
∴$x+1=0$ 或 $x-2=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=2$。
已知其中一个公共点坐标为$(-1,0)$，因此另一个公共点的坐标为$(2,0)$。
【答案】
(2,0)
【知识点】
1. 抛物线与x轴交点特征
2. 二次函数与一元二次方程的关系
3. 因式分解法解方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数与对应一元二次方程的联系，利用因式分解形式的解析式可以直接快速得到x轴交点坐标，不需要复杂计算，熟练掌握相关性质就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
13. 把一个小球垂直向上抛出，小球上升的高度$h$(单位:m)与时间$t$(单位:s)的函数解析式为$h=24t-5t^2$，则该小球上升的最大高度是
28.8 m
。答案
13. 28.8 m
解析
【分析】
本题是二次函数在实际运动场景中的应用，首先明确高度h关于时间t的函数是二次函数，且二次项系数为负，图象开口向下，因此函数的最大值对应小球上升的最大高度。我们可以通过配方法将函数化为顶点式，或直接使用二次函数顶点纵坐标公式计算最大值，同时要注意计算出的取最大值时的时间t为非负数，符合实际运动的时间要求。
【解析】
先将函数解析式整理为二次函数的一般形式：$h=-5t^2+24t$，其中$a=-5$，$b=24$，$c=0$。
因为$a=-5＜0$，所以该二次函数图象开口向下，存在最大值。
用配方法求解：
$\begin{aligned}h&=-5t^2+24t\\&=-5(t^2-\frac{24}{5}t)\\&=-5[t^2-\frac{24}{5}t+(\frac{12}{5})^2-(\frac{12}{5})^2]\\&=-5(t-\frac{12}{5})^2 + 5×\frac{144}{25}\\&=-5(t-2.4)^2+28.8\end{aligned}$
由于$-5(t-2.4)^2≤0$，因此当$t=2.4\ \mathrm{s}$时，$h$取得最大值$28.8\ \mathrm{m}$，符合实际运动情况。
也可通过顶点纵坐标公式计算：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入数值得：
$h_{\mathrm{max}}=\frac{4×(-5)×0 - 24^2}{4×(-5)}=\frac{-576}{-20}=28.8\ \mathrm{m}$
【答案】
28.8 m
【知识点】
二次函数最值计算，二次函数实际应用
【点评】
本题结合竖直上抛运动的实际场景，考查二次函数求最值的基础知识点，解题核心是将实际问题转化为二次函数求顶点坐标的问题，计算后要注意验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在实际运动场景中的应用，首先明确高度h关于时间t的函数是二次函数，且二次项系数为负，图象开口向下，因此函数的最大值对应小球上升的最大高度。我们可以通过配方法将函数化为顶点式，或直接使用二次函数顶点纵坐标公式计算最大值，同时要注意计算出的取最大值时的时间t为非负数，符合实际运动的时间要求。
【解析】
先将函数解析式整理为二次函数的一般形式：$h=-5t^2+24t$，其中$a=-5$，$b=24$，$c=0$。
因为$a=-5＜0$，所以该二次函数图象开口向下，存在最大值。
用配方法求解：
$\begin{aligned}h&=-5t^2+24t\\&=-5(t^2-\frac{24}{5}t)\\&=-5[t^2-\frac{24}{5}t+(\frac{12}{5})^2-(\frac{12}{5})^2]\\&=-5(t-\frac{12}{5})^2 + 5×\frac{144}{25}\\&=-5(t-2.4)^2+28.8\end{aligned}$
由于$-5(t-2.4)^2≤0$，因此当$t=2.4\ \mathrm{s}$时，$h$取得最大值$28.8\ \mathrm{m}$，符合实际运动情况。
也可通过顶点纵坐标公式计算：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入数值得：
$h_{\mathrm{max}}=\frac{4×(-5)×0 - 24^2}{4×(-5)}=\frac{-576}{-20}=28.8\ \mathrm{m}$
【答案】
28.8 m
【知识点】
二次函数最值计算，二次函数实际应用
【点评】
本题结合竖直上抛运动的实际场景，考查二次函数求最值的基础知识点，解题核心是将实际问题转化为二次函数求顶点坐标的问题，计算后要注意验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
14. 已知点$M(m,2026),N(n,2026)$是二次函数$y=ax^2+bx+1$图象上的两个不同的点，则当$x=m+n$时，其函数值等于
1
。答案
14. 1
解析
【分析】
首先观察点M和N的坐标特征，发现两点纵坐标相同，说明这两个点是二次函数图象上关于对称轴对称的点，据此可先求出m+n的值与二次函数系数的关系，再将x=m+n代入二次函数解析式计算即可得到对应的函数值。第一步：根据纵坐标相同的点的性质，得出两点关于对称轴对称；第二步：结合二次函数对称轴公式，推导m+n的表达式；第三步：将x=m+n代入解析式化简求值。
【解析】
∵ 点$M(m,2026)$，$N(n,2026)$是二次函数$y=ax^2+bx+1$图象上两个不同的点，且两点纵坐标相等，
∴ 点M、N关于该二次函数的对称轴对称。
二次函数$y=ax^2+bx+1$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，
根据对称点横坐标的中点在对称轴上，可得：$\frac{m+n}{2}=-\frac{b}{2a}$，
化简得：$m+n=-\frac{b}{a}$。
将$x=m+n=-\frac{b}{a}$代入二次函数解析式：
$\begin{aligned}y&=a·(-\frac{b}{a})^2 + b·(-\frac{b}{a}) + 1\\&=a·\frac{b^2}{a^2} - \frac{b^2}{a} +1\\&=\frac{b^2}{a} - \frac{b^2}{a} +1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是利用二次函数纵坐标相同的两点关于对称轴对称的性质，快速得到横坐标之和与对称轴的关联，代入计算即可，解题时注意计算化简的准确性。
【难度系数】
0.7
首先观察点M和N的坐标特征，发现两点纵坐标相同，说明这两个点是二次函数图象上关于对称轴对称的点，据此可先求出m+n的值与二次函数系数的关系，再将x=m+n代入二次函数解析式计算即可得到对应的函数值。第一步：根据纵坐标相同的点的性质，得出两点关于对称轴对称；第二步：结合二次函数对称轴公式，推导m+n的表达式；第三步：将x=m+n代入解析式化简求值。
【解析】
∵ 点$M(m,2026)$，$N(n,2026)$是二次函数$y=ax^2+bx+1$图象上两个不同的点，且两点纵坐标相等，
∴ 点M、N关于该二次函数的对称轴对称。
二次函数$y=ax^2+bx+1$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，
根据对称点横坐标的中点在对称轴上，可得：$\frac{m+n}{2}=-\frac{b}{2a}$，
化简得：$m+n=-\frac{b}{a}$。
将$x=m+n=-\frac{b}{a}$代入二次函数解析式：
$\begin{aligned}y&=a·(-\frac{b}{a})^2 + b·(-\frac{b}{a}) + 1\\&=a·\frac{b^2}{a^2} - \frac{b^2}{a} +1\\&=\frac{b^2}{a} - \frac{b^2}{a} +1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是利用二次函数纵坐标相同的两点关于对称轴对称的性质，快速得到横坐标之和与对称轴的关联，代入计算即可，解题时注意计算化简的准确性。
【难度系数】
0.7
三、解答题
15. 已知二次函数 $y=x^2+bx+c$ 的图象经过 $A(0,1),B(2,-1)$ 两点.
(1)求 $b$ 和 $c$ 的值.
(2)试判断点 $P(-1,2)$ 是否在此函数的图象上.
15. 已知二次函数 $y=x^2+bx+c$ 的图象经过 $A(0,1),B(2,-1)$ 两点.
(1)求 $b$ 和 $c$ 的值.
(2)试判断点 $P(-1,2)$ 是否在此函数的图象上.
答案
15. (1)把$A(0,1),B(2,-1)$两点代入$y=x^2+bx+c$，得$\begin{cases}c=1,\\4+2b+c=-1,\end{cases}$ 解得$c=1,b=-3$
(2)由(1)可知二次函数的解析式为$y=x^2-3x+1$，把$x=-1$代入，得$y=5$，$\because5≠2$，$\therefore$点$P(-1,2)$不在此函数的图象上
(2)由(1)可知二次函数的解析式为$y=x^2-3x+1$，把$x=-1$代入，得$y=5$，$\because5≠2$，$\therefore$点$P(-1,2)$不在此函数的图象上
解析
【分析】
（1）要确定二次函数解析式中的未知系数b和c，可利用“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将已知的A、B两点坐标分别代入解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值。
（2）判断点是否在函数图像上，只需将该点的横坐标代入已求出的二次函数解析式，计算出对应的y值，再和该点的纵坐标比较：若二者相等，则点在图像上，否则不在。
【解析】
(1) 把$A(0,1)$、$B(2,-1)$两点代入$y=x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}c=1\\4+2b+c=-1\end{cases}$
将$c=1$代入第二个方程，得$4+2b+1=-1$，解得$2b=-6$，即$b=-3$。
(2) 由(1)可知二次函数的解析式为$y=x^2-3x+1$，
把$x=-1$代入解析式，得$y=(-1)^2-3×(-1)+1=1+3+1=5$，
$\because5≠2$，$\therefore$点$P(-1,2)$不在此函数的图象上。
【答案】
(1) $b=-3$，$c=1$；
(2) 点$P(-1,2)$不在此函数的图象上。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；点与函数图像的关系
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查函数图像与点坐标的对应关系，以及待定系数法的应用，掌握基础概念和方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）要确定二次函数解析式中的未知系数b和c，可利用“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将已知的A、B两点坐标分别代入解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值。
（2）判断点是否在函数图像上，只需将该点的横坐标代入已求出的二次函数解析式，计算出对应的y值，再和该点的纵坐标比较：若二者相等，则点在图像上，否则不在。
【解析】
(1) 把$A(0,1)$、$B(2,-1)$两点代入$y=x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}c=1\\4+2b+c=-1\end{cases}$
将$c=1$代入第二个方程，得$4+2b+1=-1$，解得$2b=-6$，即$b=-3$。
(2) 由(1)可知二次函数的解析式为$y=x^2-3x+1$，
把$x=-1$代入解析式，得$y=(-1)^2-3×(-1)+1=1+3+1=5$，
$\because5≠2$，$\therefore$点$P(-1,2)$不在此函数的图象上。
【答案】
(1) $b=-3$，$c=1$；
(2) 点$P(-1,2)$不在此函数的图象上。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；点与函数图像的关系
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查函数图像与点坐标的对应关系，以及待定系数法的应用，掌握基础概念和方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
