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1. 下列函数关系中,是二次函数的是(
A.在弹性限度内,弹簧的长度$ y $与所挂物体的质量$ x $之间的关系
B.距离一定时,火车行驶的时间$ t $与速度$ v $之间的关系
C.等边三角形的周长$ C $与边长$ a $之间的关系
D.圆的面积$ S $与半径$ r $之间的关系
D
).A.在弹性限度内,弹簧的长度$ y $与所挂物体的质量$ x $之间的关系
B.距离一定时,火车行驶的时间$ t $与速度$ v $之间的关系
C.等边三角形的周长$ C $与边长$ a $之间的关系
D.圆的面积$ S $与半径$ r $之间的关系
答案
1. D
解析
【分析】
要判断哪个选项是二次函数，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\ne0$）的函数为二次函数，核心特征是自变量的最高次数为2。解题时先根据每个选项对应的实际数量关系，列出对应的函数表达式，再对照二次函数的定义逐一判断即可。
【解析】
我们先回忆各类函数的定义，再逐个分析选项：
1. 分析选项A：弹性限度内，弹簧长度$y$与所挂物体质量$x$的关系为$y=kx+b$（$k$为弹簧劲度系数，$b$为弹簧原长，均为常数），自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数要求。
2. 分析选项B：设固定距离为$s$（常数），由路程公式可得$t=\frac{s}{v}$，自变量$v$的次数为$-1$，属于反比例函数，不符合二次函数要求。
3. 分析选项C：等边三角形周长$C=3a$，自变量$a$的最高次数为1，属于正比例函数（特殊的一次函数），不符合二次函数要求。
4. 分析选项D：圆的面积公式为$S=π r^2$，符合二次函数$y=ax^2$（$a=π\ne0$，$b=c=0$）的形式，自变量$r$的最高次数为2，属于二次函数。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义、一次函数的定义、反比例函数的定义
【点评】
本题考查不同实际场景下的函数类型识别，解题的关键是先结合实际数量关系列出函数解析式，再对照各类函数的定义特征进行判断，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.9
要判断哪个选项是二次函数，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\ne0$）的函数为二次函数，核心特征是自变量的最高次数为2。解题时先根据每个选项对应的实际数量关系，列出对应的函数表达式，再对照二次函数的定义逐一判断即可。
【解析】
我们先回忆各类函数的定义，再逐个分析选项：
1. 分析选项A：弹性限度内，弹簧长度$y$与所挂物体质量$x$的关系为$y=kx+b$（$k$为弹簧劲度系数，$b$为弹簧原长，均为常数），自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数要求。
2. 分析选项B：设固定距离为$s$（常数），由路程公式可得$t=\frac{s}{v}$，自变量$v$的次数为$-1$，属于反比例函数，不符合二次函数要求。
3. 分析选项C：等边三角形周长$C=3a$，自变量$a$的最高次数为1，属于正比例函数（特殊的一次函数），不符合二次函数要求。
4. 分析选项D：圆的面积公式为$S=π r^2$，符合二次函数$y=ax^2$（$a=π\ne0$，$b=c=0$）的形式，自变量$r$的最高次数为2，属于二次函数。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义、一次函数的定义、反比例函数的定义
【点评】
本题考查不同实际场景下的函数类型识别，解题的关键是先结合实际数量关系列出函数解析式，再对照各类函数的定义特征进行判断，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.9
2. 抛物线 $y=-3(x+1)^2+2$ 的顶点坐标在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
).A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式的结构特征：形如$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的二次函数，其顶点坐标为$(h,k)$。第一步先从给定的抛物线解析式中对应找出$h$和$k$的值，注意$x+1$要转化为$x-(-1)$的形式避免符号错误；第二步得到顶点坐标后，再根据平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征，判断顶点所在的象限即可。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），对应的顶点坐标为$(h,k)$。
将给定解析式$y=-3(x+1)^2+2$变形为顶点式的标准形式：$y=-3[x-(-1)]^2+2$，可得$h=-1$，$k=2$，即抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$。
根据象限坐标符号规律：第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，可知点$(-1,2)$在第二象限。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数顶点式的识别与应用，解题的易错点是容易记错顶点式中$h$的符号，熟练掌握顶点式参数对应的几何意义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数顶点式的结构特征：形如$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的二次函数，其顶点坐标为$(h,k)$。第一步先从给定的抛物线解析式中对应找出$h$和$k$的值，注意$x+1$要转化为$x-(-1)$的形式避免符号错误；第二步得到顶点坐标后，再根据平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征，判断顶点所在的象限即可。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），对应的顶点坐标为$(h,k)$。
将给定解析式$y=-3(x+1)^2+2$变形为顶点式的标准形式：$y=-3[x-(-1)]^2+2$，可得$h=-1$，$k=2$，即抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$。
根据象限坐标符号规律：第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，可知点$(-1,2)$在第二象限。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数顶点式的识别与应用，解题的易错点是容易记错顶点式中$h$的符号，熟练掌握顶点式参数对应的几何意义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图1所示，则下列结论正确的是(
A.$ac＞0$
B.$b＜0$
C.$b^2-4ac＜0$
D.$2a+b=0$
D
).A.$ac＞0$
B.$b＜0$
C.$b^2-4ac＜0$
D.$2a+b=0$
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题时需结合图象特征逐步推导相关结论，再逐一验证选项：首先通过抛物线开口方向判断a的正负，再通过图象与y轴的交点判断c的正负验证A选项；接着结合对称轴公式和a的正负判断b的符号验证B选项；然后根据图象与x轴的交点个数判断判别式的取值验证C选项；最后根据对称轴的位置推导a和b的数量关系验证D选项。
【解析】
结合二次函数图象逐一分析选项：
1. 判断a的符号：抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；
2. 验证A选项：抛物线与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$，可得$ac＜0$，故A错误；
3. 验证B选项：由图可知抛物线对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，$\because a＜0$，$\therefore b=-2a＞0$，故B错误；
4. 验证C选项：抛物线与x轴有2个不同交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有2个不相等的实数根，$\therefore \Delta=b^2-4ac＞0$，故C错误；
5. 验证D选项：由对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$，两边同乘$2a$得$-b=2a$，移项可得$2a+b=0$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数对称轴，二次函数判别式
【点评】
本题是二次函数图象性质的常规题型，解题核心是熟练掌握抛物线的开口、交点、对称轴等特征与对应代数式的关系，逐个排查选项即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题时需结合图象特征逐步推导相关结论，再逐一验证选项：首先通过抛物线开口方向判断a的正负，再通过图象与y轴的交点判断c的正负验证A选项；接着结合对称轴公式和a的正负判断b的符号验证B选项；然后根据图象与x轴的交点个数判断判别式的取值验证C选项；最后根据对称轴的位置推导a和b的数量关系验证D选项。
【解析】
结合二次函数图象逐一分析选项：
1. 判断a的符号：抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；
2. 验证A选项：抛物线与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$，可得$ac＜0$，故A错误；
3. 验证B选项：由图可知抛物线对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，$\because a＜0$，$\therefore b=-2a＞0$，故B错误；
4. 验证C选项：抛物线与x轴有2个不同交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有2个不相等的实数根，$\therefore \Delta=b^2-4ac＞0$，故C错误；
5. 验证D选项：由对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$，两边同乘$2a$得$-b=2a$，移项可得$2a+b=0$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数对称轴，二次函数判别式
【点评】
本题是二次函数图象性质的常规题型，解题核心是熟练掌握抛物线的开口、交点、对称轴等特征与对应代数式的关系，逐个排查选项即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
4. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$的部分图象如图所示，若$y＜0$，则$x$的取值范围是(
A.$-1＜x＜4$
B.$-1＜x＜3$
C.$x＜-1$或$x＞4$
D.$x＜-1$或$x＞3$
B
).A.$-1＜x＜4$
B.$-1＜x＜3$
C.$x＜-1$或$x＞4$
D.$x＜-1$或$x＞3$
答案
4. B
解析
【分析】
要确定y＜0时x的取值范围，本质是找抛物线图像位于x轴下方部分对应的x的取值。解题思路如下：1. 首先观察抛物线开口方向，开口向上时，抛物线在x轴下方的部分位于其与x轴两个交点之间；2. 从图像可直接得到抛物线与x轴的一个交点为(-1,0)，同时可确定对称轴为直线x=1，利用抛物线的轴对称性，即可求出抛物线与x轴的另一个交点；3. 结合两个交点的坐标，就能得到y＜0时x的取值范围。
【解析】
由抛物线图像可知：抛物线开口向上，与x轴的一个交点坐标为$(-1,0)$，对称轴为直线$x=1$。
根据抛物线的轴对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点的横坐标为$x$，则：
$\frac{-1 + x}{2}=1$
解得$x=3$，即抛物线与x轴的另一个交点为$(3,0)$。
因为抛物线开口向上，所以当$y＜0$时，图像位于x轴下方，对应的x的取值范围是$-1＜x＜3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；二次函数图像性质
【点评】
本题考查二次函数图像与不等式的结合应用，解题核心是利用二次函数的对称性求出未知的交点坐标，再结合数形结合思想直接判断解集，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要确定y＜0时x的取值范围，本质是找抛物线图像位于x轴下方部分对应的x的取值。解题思路如下：1. 首先观察抛物线开口方向，开口向上时，抛物线在x轴下方的部分位于其与x轴两个交点之间；2. 从图像可直接得到抛物线与x轴的一个交点为(-1,0)，同时可确定对称轴为直线x=1，利用抛物线的轴对称性，即可求出抛物线与x轴的另一个交点；3. 结合两个交点的坐标，就能得到y＜0时x的取值范围。
【解析】
由抛物线图像可知：抛物线开口向上，与x轴的一个交点坐标为$(-1,0)$，对称轴为直线$x=1$。
根据抛物线的轴对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点的横坐标为$x$，则：
$\frac{-1 + x}{2}=1$
解得$x=3$，即抛物线与x轴的另一个交点为$(3,0)$。
因为抛物线开口向上，所以当$y＜0$时，图像位于x轴下方，对应的x的取值范围是$-1＜x＜3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；二次函数图像性质
【点评】
本题考查二次函数图像与不等式的结合应用，解题核心是利用二次函数的对称性求出未知的交点坐标，再结合数形结合思想直接判断解集，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图
，点$A(2.26,-0.32)$，$B(2.56,0.41)$在二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象上，则方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的近似值可能是(
A.2.67
B.2.56
C.2.39
D.2.26
，点$A(2.26,-0.32)$，$B(2.56,0.41)$在二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象上，则方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的近似值可能是(C
).A.2.67
B.2.56
C.2.39
D.2.26
答案
5. C
解析
【分析】
解题的核心是利用二次函数与一元二次方程的对应关系：方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标。首先观察已知两点的函数值符号：点A的y值小于0，说明此时图象在x轴下方；点B的y值大于0，说明此时图象在x轴上方。由于二次函数图象是连续的曲线，因此两个点之间必然存在一个位置与x轴相交，即方程的一个根在两点的横坐标之间，最后对比选项选出在该区间内的数值即可。
【解析】
解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标。
已知当$x=2.26$时，$y=-0.32＜0$，即此时函数图象在x轴下方；
当$x=2.56$时，$y=0.41＞0$，即此时函数图象在x轴上方。
因为二次函数的图象是连续的曲线，所以在$2.26＜x＜2.56$的范围内，必然存在一个x的值，使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个根在2.26到2.56之间。
逐一分析选项：
A. $2.67＞2.56$，不符合范围，排除；
B. $x=2.56$时$y=0.41≠0$，不是方程的根，排除；
C. $2.26＜2.39＜2.56$，符合根的取值范围，可选；
D. $x=2.26$时$y=-0.32≠0$，不是方程的根，排除。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程；函数值的意义；估算方程的根
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的联系，解题关键是掌握函数图象与方程根的对应关系，通过两点的函数值正负判断根的取值范围，体现了函数与方程的转化思想。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用二次函数与一元二次方程的对应关系：方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标。首先观察已知两点的函数值符号：点A的y值小于0，说明此时图象在x轴下方；点B的y值大于0，说明此时图象在x轴上方。由于二次函数图象是连续的曲线，因此两个点之间必然存在一个位置与x轴相交，即方程的一个根在两点的横坐标之间，最后对比选项选出在该区间内的数值即可。
【解析】
解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标。
已知当$x=2.26$时，$y=-0.32＜0$，即此时函数图象在x轴下方；
当$x=2.56$时，$y=0.41＞0$，即此时函数图象在x轴上方。
因为二次函数的图象是连续的曲线，所以在$2.26＜x＜2.56$的范围内，必然存在一个x的值，使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个根在2.26到2.56之间。
逐一分析选项：
A. $2.67＞2.56$，不符合范围，排除；
B. $x=2.56$时$y=0.41≠0$，不是方程的根，排除；
C. $2.26＜2.39＜2.56$，符合根的取值范围，可选；
D. $x=2.26$时$y=-0.32≠0$，不是方程的根，排除。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程；函数值的意义；估算方程的根
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的联系，解题关键是掌握函数图象与方程根的对应关系，通过两点的函数值正负判断根的取值范围，体现了函数与方程的转化思想。
【难度系数】
0.8
6. 将抛物线$y=x^2$先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是(
A.$y=(x-3)^2+4$
B.$y=(x+3)^2+4$
C.$y=(x-3)^2-4$
D.$y=(x+3)^2-4$
A
).A.$y=(x-3)^2+4$
B.$y=(x+3)^2+4$
C.$y=(x-3)^2-4$
D.$y=(x+3)^2-4$
答案
6. A
解析
【分析】
解决本题的核心是牢记二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”。其中左右平移是对自变量x进行操作（向左平移时给x加平移单位，向右平移时给x减平移单位，注意只针对x本身，与x的系数无关），上下平移是对函数整体进行操作（向上平移时给函数整体加平移单位，向下平移时给函数整体减平移单位）。我们分两步处理平移：先计算向右平移3个单位后的解析式，再计算向上平移4个单位后的解析式，最后匹配选项即可。
【解析】
根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律：
1. 先将抛物线$y=x^2$向右平移3个单位长度，将自变量$x$替换为$x-3$，得到解析式：$y=(x-3)^2$；
2. 再将得到的抛物线向上平移4个单位长度，给函数整体加4，得到最终解析式：$y=(x-3)^2+4$。
因此对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规律
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数图象的平移变换，解题关键是准确理解平移规则中“左加右减”是针对自变量x本身的变换，避免混淆加减方向即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是牢记二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”。其中左右平移是对自变量x进行操作（向左平移时给x加平移单位，向右平移时给x减平移单位，注意只针对x本身，与x的系数无关），上下平移是对函数整体进行操作（向上平移时给函数整体加平移单位，向下平移时给函数整体减平移单位）。我们分两步处理平移：先计算向右平移3个单位后的解析式，再计算向上平移4个单位后的解析式，最后匹配选项即可。
【解析】
根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律：
1. 先将抛物线$y=x^2$向右平移3个单位长度，将自变量$x$替换为$x-3$，得到解析式：$y=(x-3)^2$；
2. 再将得到的抛物线向上平移4个单位长度，给函数整体加4，得到最终解析式：$y=(x-3)^2+4$。
因此对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规律
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数图象的平移变换，解题关键是准确理解平移规则中“左加右减”是针对自变量x本身的变换，避免混淆加减方向即可快速得分。
【难度系数】
0.8
7. 二次函数$y=4x^2 - mx +5$，当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而增大.则当$x=1$时，$y$的值为(
A.$-7$
B.$1$
C.$17$
D.$25$
D
).A.$-7$
B.$1$
C.$17$
D.$25$
答案
7. D
解析
【分析】
二次函数的增减性以对称轴为分界，对于开口向上的二次函数，对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大。本题中给出x＜-2时y递减，x＞-2时y递增，说明该函数的对称轴为直线x=-2。我们可以先通过二次函数对称轴公式求出参数m的值，再将x=1代入解析式计算对应的y值即可。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，由题意得该函数对称轴为$x=-2$。
在$y=4x^2 - mx +5$中，$a=4$，$b=-m$，代入对称轴公式：
$\frac{m}{2×4}=-2$
解得$m=-16$，则函数解析式为$y=4x^2+16x+5$。
将$x=1$代入解析式：
$y=4×1^2+16×1+5=4+16+5=25$
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，二次函数对称轴计算，代数式求值
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是根据增减性的分界点确定对称轴位置，再代入公式求解参数，是二次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
二次函数的增减性以对称轴为分界，对于开口向上的二次函数，对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大。本题中给出x＜-2时y递减，x＞-2时y递增，说明该函数的对称轴为直线x=-2。我们可以先通过二次函数对称轴公式求出参数m的值，再将x=1代入解析式计算对应的y值即可。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，由题意得该函数对称轴为$x=-2$。
在$y=4x^2 - mx +5$中，$a=4$，$b=-m$，代入对称轴公式：
$\frac{m}{2×4}=-2$
解得$m=-16$，则函数解析式为$y=4x^2+16x+5$。
将$x=1$代入解析式：
$y=4×1^2+16×1+5=4+16+5=25$
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，二次函数对称轴计算，代数式求值
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是根据增减性的分界点确定对称轴位置，再代入公式求解参数，是二次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
