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例3 如图2是某跨海钢箱梁悬索桥，其主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.178 5 km，主缆最低处距离桥面0.001 5 km，桥面距离海平面约0.09 km. 请在图3的示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线对应的函数解析式.
答案
建立平面直角坐标系,如图4所示,则抛物线的顶点坐标为$(0,0.0015),A(\frac{1.7}{2},0.27-0.09)$,即$A(0.85,0.18)$.设该抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+0.0015$,将$A(0.85,0.18)$代入$y=ax^2+0.0015$,得$0.18=0.85^2a+0.0015$,解得$a=\frac{21}{85}$,$\therefore$该抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{21}{85}x^2+0.0015$.
解析
【分析】
解决抛物线类实际应用问题，首先要选择便于计算的坐标系：本题主缆的对称轴为两主塔的中线，最低点是抛物线顶点，因此将原点设在桥面中点、x轴沿桥面、y轴竖直向上，可最大程度简化计算。接下来提取题干信息确定关键点坐标：顶点为主缆最低处，纵坐标为其到桥面的距离0.0015km，横坐标为0；再计算主塔处主缆固定点的坐标，单侧跨度为主跨的一半即0.85km，主塔高出桥面的高度为总塔高减去桥面到海平面的高度，即0.27-0.09=0.18km，得到点A坐标。最后利用抛物线顶点式设解析式，代入已知点求解参数即可。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：以桥面中点为原点，桥面所在直线为x轴，竖直向上为y轴建立坐标系，如图4所示。
2. 确定关键点坐标：抛物线顶点（主缆最低处）坐标为$(0,0.0015)$；主塔处主缆固定点A的横坐标为$\frac{1.7}{2}=0.85$，纵坐标为$0.27-0.09=0.18$，即$A(0.85,0.18)$。
3. 设抛物线解析式：已知抛物线顶点为$(0,0.0015)$，因此设函数解析式为$y=ax^2+0.0015$（$a\ne0$）。
4. 代入点A求解参数：将$A(0.85,0.18)$代入解析式，得$0.18 = 0.85^2 a + 0.0015$，整理得$0.7225a=0.1785$，解得$a=\frac{21}{85}$。
5. 整理得到最终解析式：将$a=\frac{21}{85}$代入所设解析式即可。
【答案】
该抛物线对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{21}{85}x^2+0.0015}$
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；抛物线顶点式
【点评】
本题结合实际悬索桥场景考查二次函数的应用，解题关键是合理建立坐标系，准确从题干中提取长度信息得到抛物线上关键点的坐标，再通过待定系数法求解即可，侧重考察学生的信息提取能力和数学建模能力。
【难度系数】
0.7
解决抛物线类实际应用问题，首先要选择便于计算的坐标系：本题主缆的对称轴为两主塔的中线，最低点是抛物线顶点，因此将原点设在桥面中点、x轴沿桥面、y轴竖直向上，可最大程度简化计算。接下来提取题干信息确定关键点坐标：顶点为主缆最低处，纵坐标为其到桥面的距离0.0015km，横坐标为0；再计算主塔处主缆固定点的坐标，单侧跨度为主跨的一半即0.85km，主塔高出桥面的高度为总塔高减去桥面到海平面的高度，即0.27-0.09=0.18km，得到点A坐标。最后利用抛物线顶点式设解析式，代入已知点求解参数即可。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：以桥面中点为原点，桥面所在直线为x轴，竖直向上为y轴建立坐标系，如图4所示。
2. 确定关键点坐标：抛物线顶点（主缆最低处）坐标为$(0,0.0015)$；主塔处主缆固定点A的横坐标为$\frac{1.7}{2}=0.85$，纵坐标为$0.27-0.09=0.18$，即$A(0.85,0.18)$。
3. 设抛物线解析式：已知抛物线顶点为$(0,0.0015)$，因此设函数解析式为$y=ax^2+0.0015$（$a\ne0$）。
4. 代入点A求解参数：将$A(0.85,0.18)$代入解析式，得$0.18 = 0.85^2 a + 0.0015$，整理得$0.7225a=0.1785$，解得$a=\frac{21}{85}$。
5. 整理得到最终解析式：将$a=\frac{21}{85}$代入所设解析式即可。
【答案】
该抛物线对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{21}{85}x^2+0.0015}$
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；抛物线顶点式
【点评】
本题结合实际悬索桥场景考查二次函数的应用，解题关键是合理建立坐标系，准确从题干中提取长度信息得到抛物线上关键点的坐标，再通过待定系数法求解即可，侧重考察学生的信息提取能力和数学建模能力。
【难度系数】
0.7
解析 建立平面直角坐标系,如图4所示,则抛物线的顶点坐标为$(0,0.0015),A(\frac{1.7}{2},0.27-0.09)$,即$A(0.85,0.18)$.设该抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+0.0015$,将$A(0.85,0.18)$代入$y=ax^2+0.0015$,得$0.18=0.85^2a+0.0015$,解得$a=\frac{21}{85}$,$\therefore$该抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{21}{85}x^2+0.0015$.
考点3 变式
某景区大门上半部分的截面示意图如图5所示,顶部$L_1$,左、右门洞$L_2$,$L_3$均呈抛物线形,水平横梁$AC=16\ \mathrm{m}$,$L_1$的最高点$B$到$AC$的距离$BO=4\ \mathrm{m}$,$L_2$,$L_3$关于$BO$所在直线对称.$MN$,$MP$,$NQ$为框架,点$M$,$N$在$L_1$上,点$P$,$Q$分别在$L_2$,$L_3$上,$MN// AC$,$MP⊥ AC$,$NQ⊥ AC$.以$O$为原点,以$AC$所在直线为$x$轴,$BO$所在直线为$y$轴,建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线$L_1$的函数解析式;
(2)已知抛物线$L_3$的函数解析式为$y=-\frac{3}{16}(x-4)^2$,$NQ=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$,求$MN$的长.
考点3 变式
某景区大门上半部分的截面示意图如图5所示,顶部$L_1$,左、右门洞$L_2$,$L_3$均呈抛物线形,水平横梁$AC=16\ \mathrm{m}$,$L_1$的最高点$B$到$AC$的距离$BO=4\ \mathrm{m}$,$L_2$,$L_3$关于$BO$所在直线对称.$MN$,$MP$,$NQ$为框架,点$M$,$N$在$L_1$上,点$P$,$Q$分别在$L_2$,$L_3$上,$MN// AC$,$MP⊥ AC$,$NQ⊥ AC$.以$O$为原点,以$AC$所在直线为$x$轴,$BO$所在直线为$y$轴,建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线$L_1$的函数解析式;
(2)已知抛物线$L_3$的函数解析式为$y=-\frac{3}{16}(x-4)^2$,$NQ=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$,求$MN$的长.
答案
(1) $\because BO=4\ \mathrm{m}$,$\therefore$抛物线$L_1$的顶点$B$坐标为$(0,4)$.设抛物线$L_1$的函数解析式为$y=ax^2+4$,$\because AC=16\ \mathrm{m}$,结合二次函数的对称性得$A(-8,0),C(8,0)$,将$C(8,0)$代入$y=ax^2+4$,得$0=64a+4$,则$a=-\frac{1}{16}$,$\therefore y=-\frac{1}{16}x^2+4$
(2) 由(1)得抛物线$L_1$的函数解析式$y=-\frac{1}{16}x^2+4$,$\because MN// AC,MP⊥ AC,NQ⊥ AC$. $NQ=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$,且抛物线$L_3$的函数解析式为$y=-\frac{3}{16}(x-4)^2$,
$\therefore NQ=y_N-y_Q=-\frac{1}{16}x^2+4-[-\frac{3}{16}(x-4)^2]=\frac{5}{2}$,整理得$x^2-3(x-4)^2=24$,$\therefore x^2-3x^2+24x-48=24$,$\therefore x^2-12x+36=(x-6)^2=0$,解得$x_1=x_2=6$,$\therefore MN=2×6=12(\mathrm{m})$
(2) 由(1)得抛物线$L_1$的函数解析式$y=-\frac{1}{16}x^2+4$,$\because MN// AC,MP⊥ AC,NQ⊥ AC$. $NQ=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$,且抛物线$L_3$的函数解析式为$y=-\frac{3}{16}(x-4)^2$,
$\therefore NQ=y_N-y_Q=-\frac{1}{16}x^2+4-[-\frac{3}{16}(x-4)^2]=\frac{5}{2}$,整理得$x^2-3(x-4)^2=24$,$\therefore x^2-3x^2+24x-48=24$,$\therefore x^2-12x+36=(x-6)^2=0$,解得$x_1=x_2=6$,$\therefore MN=2×6=12(\mathrm{m})$
解析
【分析】
(1) 求抛物线$L_1$的解析式时，首先根据坐标系设定确定$L_1$的顶点坐标为$(0,4)$，因此优先选顶点式设函数解析式；再结合$AC$的长度和抛物线的对称性，得到$L_1$过点$C(8,0)$，代入顶点式即可求出未知系数$a$，得到解析式。
(2) 求$MN$的长时，首先由$MN// AC$且$L_1$关于$y$轴对称，可知$M$、$N$关于$y$轴对称，只需求出$N$点的横坐标，$MN$长度就是横坐标的2倍；已知$NQ$是竖直线段，因此$N$和$Q$横坐标相同，$NQ$的长度等于$N$点纵坐标减去$Q$点纵坐标，据此列方程求解$N$点横坐标即可。
【解析】
(1) 由题意得抛物线$L_1$的顶点$B$坐标为$(0,4)$，设$L_1$的函数解析式为$y=ax^2+4$。
$\because AC=16\ \mathrm{m}$，抛物线$L_1$关于$y$轴对称，$\therefore$点$C$坐标为$(8,0)$。
将$C(8,0)$代入$y=ax^2+4$，得：
$0=64a+4$
解得$a=-\frac{1}{16}$
$\therefore$抛物线$L_1$的函数解析式为$y=-\frac{1}{16}x^2+4$。
(2) 设点$N$的横坐标为$x$，$\because NQ⊥ AC$，$\therefore$点$Q$的横坐标也为$x$。
点$N$在$L_1$上，纵坐标为$y_N=-\frac{1}{16}x^2+4$；点$Q$在$L_3$上，纵坐标为$y_Q=-\frac{3}{16}(x-4)^2$。
由$NQ=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$，可得$y_N-y_Q=\frac{5}{2}$，代入得：
$-\frac{1}{16}x^2+4-[-\frac{3}{16}(x-4)^2]=\frac{5}{2}$
两边同乘16去分母整理得：$x^2-12x+36=0$，即$(x-6)^2=0$
解得$x_1=x_2=6$
$\because MN// AC$且关于$y$轴对称，$\therefore MN=2×6=12(\mathrm{m})$
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{16}x^2+4$
(2) $12\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数对称性，二次函数实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题核心是结合坐标系梳理点的坐标关系，利用二次函数的性质列方程求解，能够有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线$L_1$的解析式时，首先根据坐标系设定确定$L_1$的顶点坐标为$(0,4)$，因此优先选顶点式设函数解析式；再结合$AC$的长度和抛物线的对称性，得到$L_1$过点$C(8,0)$，代入顶点式即可求出未知系数$a$，得到解析式。
(2) 求$MN$的长时，首先由$MN// AC$且$L_1$关于$y$轴对称，可知$M$、$N$关于$y$轴对称，只需求出$N$点的横坐标，$MN$长度就是横坐标的2倍；已知$NQ$是竖直线段，因此$N$和$Q$横坐标相同，$NQ$的长度等于$N$点纵坐标减去$Q$点纵坐标，据此列方程求解$N$点横坐标即可。
【解析】
(1) 由题意得抛物线$L_1$的顶点$B$坐标为$(0,4)$，设$L_1$的函数解析式为$y=ax^2+4$。
$\because AC=16\ \mathrm{m}$，抛物线$L_1$关于$y$轴对称，$\therefore$点$C$坐标为$(8,0)$。
将$C(8,0)$代入$y=ax^2+4$，得：
$0=64a+4$
解得$a=-\frac{1}{16}$
$\therefore$抛物线$L_1$的函数解析式为$y=-\frac{1}{16}x^2+4$。
(2) 设点$N$的横坐标为$x$，$\because NQ⊥ AC$，$\therefore$点$Q$的横坐标也为$x$。
点$N$在$L_1$上，纵坐标为$y_N=-\frac{1}{16}x^2+4$；点$Q$在$L_3$上，纵坐标为$y_Q=-\frac{3}{16}(x-4)^2$。
由$NQ=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$，可得$y_N-y_Q=\frac{5}{2}$，代入得：
$-\frac{1}{16}x^2+4-[-\frac{3}{16}(x-4)^2]=\frac{5}{2}$
两边同乘16去分母整理得：$x^2-12x+36=0$，即$(x-6)^2=0$
解得$x_1=x_2=6$
$\because MN// AC$且关于$y$轴对称，$\therefore MN=2×6=12(\mathrm{m})$
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{16}x^2+4$
(2) $12\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数对称性，二次函数实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题核心是结合坐标系梳理点的坐标关系，利用二次函数的性质列方程求解，能够有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
