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例1 在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2 - 2ax + a - 3(a≠0)$的图象与x轴有两个公共点,且这两个公共点分别位于y轴两侧,则下列关于该函数的结论正确的是(
A.图象的开口向下
B.当$x＞0$时,y的值随x值的增大而增大
C.函数的最小值小于$-3$
D.当$x=2$时,$y＜0$
D
).A.图象的开口向下
B.当$x＞0$时,y的值随x值的增大而增大
C.函数的最小值小于$-3$
D.当$x=2$时,$y＜0$
答案
由题意可得，
∵方程$ax^2 - 2ax + a - 3 = 0(a≠0)$的两根异号，
∴$x_1x_2=\frac{a - 3}{a}＜0$，解得$0＜a＜3$。
∴二次项系数$a＞0$，开口向上，故A不符合题意。
∵$y=ax^2 - 2ax + a - 3(a≠0)$的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，
∴当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，故B不符合题意。
∵当$x=1$时，$y=-3$，
∴最小值为$-3$，故C不符合题意。当$x=2$时，$y=4a - 4a + a - 3 = a - 3$，
∵$0＜a＜3$，
∴此时$y＜0$，故D符合题意。故选D。
∵方程$ax^2 - 2ax + a - 3 = 0(a≠0)$的两根异号，
∴$x_1x_2=\frac{a - 3}{a}＜0$，解得$0＜a＜3$。
∴二次项系数$a＞0$，开口向上，故A不符合题意。
∵$y=ax^2 - 2ax + a - 3(a≠0)$的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，
∴当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，故B不符合题意。
∵当$x=1$时，$y=-3$，
∴最小值为$-3$，故C不符合题意。当$x=2$时，$y=4a - 4a + a - 3 = a - 3$，
∵$0＜a＜3$，
∴此时$y＜0$，故D符合题意。故选D。
解析
【分析】
解题时首先根据二次函数图象与x轴的交点特征，转化为对应一元二次方程的根的分布问题：两个交点在y轴两侧即方程两根异号，利用根与系数的关系求出参数a的取值范围；再结合二次函数的开口方向、对称轴、最值、函数值计算等性质，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
解：由题意得，二次函数对应的一元二次方程为$ax^2 - 2ax + a - 3 = 0(a≠0)$，
∵方程两根异号，
∴两根之积$x_1x_2=\frac{a - 3}{a}＜0$，解得$0＜a＜3$。
A选项：
∵$a＞0$，
∴二次函数图象开口向上，A不符合题意；
B选项：二次函数对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，开口向上时，仅当$x＞1$时y随x增大而增大，$0＜x＜1$时y随x增大而减小，故B不符合题意；
C选项：将$x=1$代入解析式得$y=a - 2a + a - 3=-3$，
∵开口向上，
∴函数最小值为$-3$，不是小于$-3$，故C不符合题意；
D选项：将$x=2$代入解析式得$y=4a - 4a + a - 3=a - 3$，
∵$0＜a＜3$，
∴$y=a-3＜0$，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；一元二次方程根与系数的关系；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数的综合基础题，解题的核心是先根据交点的位置特征求出参数的取值范围，再结合二次函数的基本性质逐一验证选项，是二次函数模块的典型考法，能有效考查对函数与方程关系的理解。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据二次函数图象与x轴的交点特征，转化为对应一元二次方程的根的分布问题：两个交点在y轴两侧即方程两根异号，利用根与系数的关系求出参数a的取值范围；再结合二次函数的开口方向、对称轴、最值、函数值计算等性质，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
解：由题意得，二次函数对应的一元二次方程为$ax^2 - 2ax + a - 3 = 0(a≠0)$，
∵方程两根异号，
∴两根之积$x_1x_2=\frac{a - 3}{a}＜0$，解得$0＜a＜3$。
A选项：
∵$a＞0$，
∴二次函数图象开口向上，A不符合题意；
B选项：二次函数对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，开口向上时，仅当$x＞1$时y随x增大而增大，$0＜x＜1$时y随x增大而减小，故B不符合题意；
C选项：将$x=1$代入解析式得$y=a - 2a + a - 3=-3$，
∵开口向上，
∴函数最小值为$-3$，不是小于$-3$，故C不符合题意；
D选项：将$x=2$代入解析式得$y=4a - 4a + a - 3=a - 3$，
∵$0＜a＜3$，
∴$y=a-3＜0$，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；一元二次方程根与系数的关系；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数的综合基础题，解题的核心是先根据交点的位置特征求出参数的取值范围，再结合二次函数的基本性质逐一验证选项，是二次函数模块的典型考法，能有效考查对函数与方程关系的理解。
【难度系数】
0.6
例2 已知点$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$都在二次函数$y=-(x-2)^2 + c$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
解析 ∵抛物线$y=-(x-2)^2 + c$，∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$。∵三点为$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$，∴与对称轴的距离分别为$|-2-2|=4$，$|3-2|=1$，$|7-2|=5$，∴$1＜4＜5$。∴$y_2＞y_1＞y_3$。故选C。
C
）。A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
解析 ∵抛物线$y=-(x-2)^2 + c$，∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$。∵三点为$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$，∴与对称轴的距离分别为$|-2-2|=4$，$|3-2|=1$，$|7-2|=5$，∴$1＜4＜5$。∴$y_2＞y_1＞y_3$。故选C。
答案
∵抛物线$y=-(x-2)^2 + c$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$。
∵三点为$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$，
∴与对称轴的距离分别为$|-2-2|=4$，$|3-2|=1$，$|7-2|=5$，
∴$1＜4＜5$。
∴$y_2＞y_1＞y_3$。故选C。
解析
【分析】
要比较二次函数图象上多个点的函数值大小，可按以下思路推导：首先从给定的二次函数顶点式入手，先确定抛物线的开口方向和对称轴，开口方向决定了函数值随点到对称轴距离的变化规律（开口向下时，点离对称轴越近，函数值越大；开口向上时规律相反）；接着分别计算三个点的横坐标到对称轴的水平距离（用横坐标与对称轴作差取绝对值即可）；最后根据距离大小结合开口方向，就能对应得到三个函数值的大小关系。
【解析】
∵抛物线$y=-(x-2)^2 + c$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$。
∵三点为$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$，
∴与对称轴的距离分别为$|-2-2|=4$，$|3-2|=1$，$|7-2|=5$，
∴$1＜4＜5$。
∴$y_2＞y_1＞y_3$。故选C。
【答案】C
【知识点】
1.二次函数的性质
2.二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数比较函数值的典型基础题，无需代入计算具体数值，只需通过顶点式快速判断开口方向、对称轴，再比较各点到对称轴的距离即可得出结果，属于对二次函数图象性质的基础应用考察。
【难度系数】
0.7
要比较二次函数图象上多个点的函数值大小，可按以下思路推导：首先从给定的二次函数顶点式入手，先确定抛物线的开口方向和对称轴，开口方向决定了函数值随点到对称轴距离的变化规律（开口向下时，点离对称轴越近，函数值越大；开口向上时规律相反）；接着分别计算三个点的横坐标到对称轴的水平距离（用横坐标与对称轴作差取绝对值即可）；最后根据距离大小结合开口方向，就能对应得到三个函数值的大小关系。
【解析】
∵抛物线$y=-(x-2)^2 + c$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$。
∵三点为$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$，
∴与对称轴的距离分别为$|-2-2|=4$，$|3-2|=1$，$|7-2|=5$，
∴$1＜4＜5$。
∴$y_2＞y_1＞y_3$。故选C。
【答案】C
【知识点】
1.二次函数的性质
2.二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数比较函数值的典型基础题，无需代入计算具体数值，只需通过顶点式快速判断开口方向、对称轴，再比较各点到对称轴的距离即可得出结果，属于对二次函数图象性质的基础应用考察。
【难度系数】
0.7
如图1,二次函数$y=ax^2+bx+c(a,b,c$为常数,$a≠0)$的图象交$x$轴于$A,B$两点,点$A$的坐标是$(-1,0)$,点$B$的坐标是$(n,0)$.有下列结论:①$abc＜0$;②$4a+c＞2b$;③关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的解是$x_1=-1,x_2=n$;④$-\frac{b}{2a}=\frac{n-1}{2}$.其中正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
).A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
解题时先根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置确定a、b、c的符号，再逐一判断四个结论：
1. 结合a、b、c的符号可直接判断结论①；
2. 将结论②变形为x=-2时的函数值形式，结合图象上x＜-1时函数值的符号判断；
3. 根据二次函数图象与x轴交点的横坐标对应一元二次方程的解，判断结论③；
4. 利用抛物线的对称性，两个交点关于对称轴对称，结合对称轴公式判断结论④。
【解析】
步骤1：判断a、b、c的符号
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
∵对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$，可得$b＞0$；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$；
∴$abc＜0$，结论①正确。
步骤2：判断结论②
将$4a+c＞2b$移项得$4a-2b+c＞0$，$4a-2b+c$是$x=-2$时的函数值。
由图象可知，当$x＜-1$时，抛物线在x轴下方，函数值$y＜0$，
∵$-2＜-1$，
∴$x=-2$时$y=4a-2b+c＜0$，即$4a+c＜2b$，结论②错误。
步骤3：判断结论③
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+c=0$的解，
已知图象与x轴交于$A(-1,0)$、$B(n,0)$，
∴方程的解为$x_1=-1,x_2=n$，结论③正确。
步骤4：判断结论④
抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均值，即对称轴$x=\frac{-1+n}{2}=\frac{n-1}{2}$，
又二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，
∴$-\frac{b}{2a}=\frac{n-1}{2}$，结论④正确。
综上，正确的结论为①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程的联系，解题关键是熟练掌握二次函数的开口、对称轴、交点等性质，能将代数式转化为对应x值的函数值结合图象判断，属于二次函数的基础常考题。
【难度系数】
0.7
解题时先根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置确定a、b、c的符号，再逐一判断四个结论：
1. 结合a、b、c的符号可直接判断结论①；
2. 将结论②变形为x=-2时的函数值形式，结合图象上x＜-1时函数值的符号判断；
3. 根据二次函数图象与x轴交点的横坐标对应一元二次方程的解，判断结论③；
4. 利用抛物线的对称性，两个交点关于对称轴对称，结合对称轴公式判断结论④。
【解析】
步骤1：判断a、b、c的符号
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
∵对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$，可得$b＞0$；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$；
∴$abc＜0$，结论①正确。
步骤2：判断结论②
将$4a+c＞2b$移项得$4a-2b+c＞0$，$4a-2b+c$是$x=-2$时的函数值。
由图象可知，当$x＜-1$时，抛物线在x轴下方，函数值$y＜0$，
∵$-2＜-1$，
∴$x=-2$时$y=4a-2b+c＜0$，即$4a+c＜2b$，结论②错误。
步骤3：判断结论③
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+c=0$的解，
已知图象与x轴交于$A(-1,0)$、$B(n,0)$，
∴方程的解为$x_1=-1,x_2=n$，结论③正确。
步骤4：判断结论④
抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均值，即对称轴$x=\frac{-1+n}{2}=\frac{n-1}{2}$，
又二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，
∴$-\frac{b}{2a}=\frac{n-1}{2}$，结论④正确。
综上，正确的结论为①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程的联系，解题关键是熟练掌握二次函数的开口、对称轴、交点等性质，能将代数式转化为对应x值的函数值结合图象判断，属于二次函数的基础常考题。
【难度系数】
0.7
已知点$A(-2,y_1)$，$B(1,y_2)$在抛物线$y=3x^2+bx+1$上，若$3＜b＜4$，则下列判断正确的是(
A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$
A
).A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$
答案
A
解析
【分析】
要判断y₁、y₂和1的大小关系，首先将点A、B的横坐标分别代入抛物线解析式，得到y₁、y₂关于参数b的表达式，再结合已知的b的取值范围，利用不等式的性质分别求出y₁、y₂的取值范围，最后比较三者大小即可得到正确选项。
【解析】
将点A(-2,y₁)代入抛物线$y=3x^2+bx+1$得：
$y_1=3×(-2)^2 + b×(-2) + 1 = 12 - 2b + 1 = 13 - 2b$
将点B(1,y₂)代入抛物线解析式得：
$y_2=3×1^2 + b×1 + 1 = 3 + b + 1 = 4 + b$
已知$3＜b＜4$，先求$y_2$的取值范围：
不等式三边同时加4，得$3+4 ＜ 4+b ＜ 4+4$，即$7 ＜ y_2 ＜ 8$
再求$y_1$的取值范围：
先对$3＜b＜4$三边同乘2，得$6 ＜ 2b ＜ 8$，三边同乘-1得$-8 ＜ -2b ＜ -6$，再三边加13得$13-8 ＜ 13-2b ＜13-6$，即$5 ＜ y_1 ＜7$
又因为$1 ＜ 5$，因此可得大小关系：$1 ＜ y_1 ＜ y_2$
【答案】
A
【知识点】
二次函数函数值求解、不等式的性质
【点评】
本题核心考查二次函数图象上点的坐标满足解析式的特征，通过代入法转化为含参数的代数式，再结合参数范围求解代数式的取值范围即可判断大小，解题思路清晰，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
要判断y₁、y₂和1的大小关系，首先将点A、B的横坐标分别代入抛物线解析式，得到y₁、y₂关于参数b的表达式，再结合已知的b的取值范围，利用不等式的性质分别求出y₁、y₂的取值范围，最后比较三者大小即可得到正确选项。
【解析】
将点A(-2,y₁)代入抛物线$y=3x^2+bx+1$得：
$y_1=3×(-2)^2 + b×(-2) + 1 = 12 - 2b + 1 = 13 - 2b$
将点B(1,y₂)代入抛物线解析式得：
$y_2=3×1^2 + b×1 + 1 = 3 + b + 1 = 4 + b$
已知$3＜b＜4$，先求$y_2$的取值范围：
不等式三边同时加4，得$3+4 ＜ 4+b ＜ 4+4$，即$7 ＜ y_2 ＜ 8$
再求$y_1$的取值范围：
先对$3＜b＜4$三边同乘2，得$6 ＜ 2b ＜ 8$，三边同乘-1得$-8 ＜ -2b ＜ -6$，再三边加13得$13-8 ＜ 13-2b ＜13-6$，即$5 ＜ y_1 ＜7$
又因为$1 ＜ 5$，因此可得大小关系：$1 ＜ y_1 ＜ y_2$
【答案】
A
【知识点】
二次函数函数值求解、不等式的性质
【点评】
本题核心考查二次函数图象上点的坐标满足解析式的特征，通过代入法转化为含参数的代数式，再结合参数范围求解代数式的取值范围即可判断大小，解题思路清晰，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
