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3. 某农业公司指导菜农种植和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点，发现该蔬菜需求量$y_{\mathrm{需求}}$（单位：t）关于售价$x$（单位：元/kg）的函数图象可以看成抛物线（如图6），其解析式为$y_{\mathrm{需求}}=ax^2 + c$，部分对应值如下表：
②该蔬菜供给量$y_{\mathrm{供给}}$（单位：t）关于售价$x$的函数解析式为$y_{\mathrm{供给}}=x - 1$，函数图象见图6.
③1—7月份该蔬菜售价$x_{\mathrm{售价}}$（单位：元/kg），成本$x_{\mathrm{成本}}$（单位：元/kg）关于月份$t$的函数解析式分别为$x_{\mathrm{售价}}=\frac{1}{2}t + 2$，$x_{\mathrm{成本}}=\frac{1}{4}t^2 - \frac{3}{2}t + 3$，函数图象见图7.
请解答下列问题：
(1)求$a,c$的值.
(2)根据图7，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由.
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润.
①统计售价与需求量的数据，通过描点，发现该蔬菜需求量$y_{\mathrm{需求}}$（单位：t）关于售价$x$（单位：元/kg）的函数图象可以看成抛物线（如图6），其解析式为$y_{\mathrm{需求}}=ax^2 + c$，部分对应值如下表：
②该蔬菜供给量$y_{\mathrm{供给}}$（单位：t）关于售价$x$的函数解析式为$y_{\mathrm{供给}}=x - 1$，函数图象见图6.
③1—7月份该蔬菜售价$x_{\mathrm{售价}}$（单位：元/kg），成本$x_{\mathrm{成本}}$（单位：元/kg）关于月份$t$的函数解析式分别为$x_{\mathrm{售价}}=\frac{1}{2}t + 2$，$x_{\mathrm{成本}}=\frac{1}{4}t^2 - \frac{3}{2}t + 3$，函数图象见图7.
请解答下列问题：
(1)求$a,c$的值.
(2)根据图7，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由.
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润.
答案
1. 把(3,7.2),(4,5.8)代入$y_{需求}=ax^2+c$，得$\begin{cases}9a+c=7.2,\\16a+c=5.8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{5},\\c=9.\end{cases}$
∴a的值为$-\frac{1}{5}$，c的值为9
2. 4月份.理由如下：设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，$w=x_{售价}-x_{成本}=\frac{1}{2}t+2-(\frac{1}{4}t^2-\frac{3}{2}t+3)=-\frac{1}{4}(t-4)^2+3$，
∵$-\frac{1}{4}＜0$，且1≤t≤7，
∴当t=4时，w有最大值.
∴在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大
3. 当$y_{供给}=y_{需求}$时，$x-1=-\frac{1}{5}x^2+9$，解得$x_1=5,x_2=-10$(舍去)，
∴此时售价为5元/kg，则$y_{供给}=x-1=5-1=4(t)$，4 t=4 000 kg.令$\frac{1}{2}t+2=5$，解得t=6，
∴$w=-\frac{1}{4}×(t-4)^2+3=-\frac{1}{4}×(6-4)^2+3=2$.
∴总利润为$w·y=2×4000=8000$(元).
∴该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/kg，按此价格出售获得的总利润为8 000元
∴a的值为$-\frac{1}{5}$，c的值为9
2. 4月份.理由如下：设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，$w=x_{售价}-x_{成本}=\frac{1}{2}t+2-(\frac{1}{4}t^2-\frac{3}{2}t+3)=-\frac{1}{4}(t-4)^2+3$，
∵$-\frac{1}{4}＜0$，且1≤t≤7，
∴当t=4时，w有最大值.
∴在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大
3. 当$y_{供给}=y_{需求}$时，$x-1=-\frac{1}{5}x^2+9$，解得$x_1=5,x_2=-10$(舍去)，
∴此时售价为5元/kg，则$y_{供给}=x-1=5-1=4(t)$，4 t=4 000 kg.令$\frac{1}{2}t+2=5$，解得t=6，
∴$w=-\frac{1}{4}×(t-4)^2+3=-\frac{1}{4}×(6-4)^2+3=2$.
∴总利润为$w·y=2×4000=8000$(元).
∴该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/kg，按此价格出售获得的总利润为8 000元
解析
【分析】
(1) 已知需求量的函数解析式形式为$y_{\mathrm{需求}}=ax^2+c$，且给出了两组x与$y_{\mathrm{需求}}$的对应值，可使用待定系数法，将两组值代入解析式得到关于a、c的二元一次方程组，解方程组即可求出a、c的值。
(2) 每千克获利=每千克售价-每千克成本，将售价、成本关于月份t的解析式代入作差，即可得到利润w关于t的二次函数，结合t的取值范围（1≤t≤7），利用二次函数的最值性质即可求出获利最大的月份。
(3) 供给量与需求量相等时，联立两个函数解析式得到一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负解得到均衡售价；再根据售价求出对应的月份t，计算此时的每千克利润和总销售量（注意单位换算），总利润=每千克利润×总销售量，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 将$(3,7.2)$、$(4,5.8)$代入$y_{\mathrm{需求}}=ax^2+c$，得：
$\begin{cases}9a+c=7.2\\16a+c=5.8\end{cases}$
两式相减消去c得$7a=-1.4$，解得$a=-\frac{1}{5}$，将$a=-\frac{1}{5}$代入$9a+c=7.2$，得$c=9$。
(2) 4月份出售获利最大，理由如下：
设每千克获利为w元，根据题意得：
$w=x_{\mathrm{售价}}-x_{\mathrm{成本}}=(\frac{1}{2}t+2)-(\frac{1}{4}t^2-\frac{3}{2}t+3)$
整理得$w=-\frac{1}{4}(t-4)^2+3$
$\because -\frac{1}{4}＜0$，抛物线开口向下，且$1≤ t≤7$，
$\therefore$当$t=4$时，w取得最大值，即4月份出售这种蔬菜每千克获利最大。
(3) 当$y_{\mathrm{供给}}=y_{\mathrm{需求}}$时，$x-1=-\frac{1}{5}x^2+9$，整理得$x^2+5x-50=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-10$（售价不能为负，舍去），即此时售价为5元/kg。
此时供给量$y_{\mathrm{供给}}=x-1=5-1=4\ \mathrm{t}=4000\ \mathrm{kg}$，
将$x=5$代入$x_{\mathrm{售价}}=\frac{1}{2}t+2$，解得$t=6$，
将$t=6$代入利润公式得$w=-\frac{1}{4}×(6-4)^2+3=2$元/kg，
总利润为$2×4000=8000$元。
【答案】
(1) $a=-\frac{1}{5}$，$c=9$；
(2) 4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；
(3) 供给量与需求量相等时售价为5元/kg，按此价格出售获得的总利润为8000元。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际销售场景综合考查函数相关知识的应用，解题时需理清各数量之间的关系，注意自变量的实际意义和单位换算，避免出现不符合实际的错解。
【难度系数】
0.6
(1) 已知需求量的函数解析式形式为$y_{\mathrm{需求}}=ax^2+c$，且给出了两组x与$y_{\mathrm{需求}}$的对应值，可使用待定系数法，将两组值代入解析式得到关于a、c的二元一次方程组，解方程组即可求出a、c的值。
(2) 每千克获利=每千克售价-每千克成本，将售价、成本关于月份t的解析式代入作差，即可得到利润w关于t的二次函数，结合t的取值范围（1≤t≤7），利用二次函数的最值性质即可求出获利最大的月份。
(3) 供给量与需求量相等时，联立两个函数解析式得到一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负解得到均衡售价；再根据售价求出对应的月份t，计算此时的每千克利润和总销售量（注意单位换算），总利润=每千克利润×总销售量，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 将$(3,7.2)$、$(4,5.8)$代入$y_{\mathrm{需求}}=ax^2+c$，得：
$\begin{cases}9a+c=7.2\\16a+c=5.8\end{cases}$
两式相减消去c得$7a=-1.4$，解得$a=-\frac{1}{5}$，将$a=-\frac{1}{5}$代入$9a+c=7.2$，得$c=9$。
(2) 4月份出售获利最大，理由如下：
设每千克获利为w元，根据题意得：
$w=x_{\mathrm{售价}}-x_{\mathrm{成本}}=(\frac{1}{2}t+2)-(\frac{1}{4}t^2-\frac{3}{2}t+3)$
整理得$w=-\frac{1}{4}(t-4)^2+3$
$\because -\frac{1}{4}＜0$，抛物线开口向下，且$1≤ t≤7$，
$\therefore$当$t=4$时，w取得最大值，即4月份出售这种蔬菜每千克获利最大。
(3) 当$y_{\mathrm{供给}}=y_{\mathrm{需求}}$时，$x-1=-\frac{1}{5}x^2+9$，整理得$x^2+5x-50=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-10$（售价不能为负，舍去），即此时售价为5元/kg。
此时供给量$y_{\mathrm{供给}}=x-1=5-1=4\ \mathrm{t}=4000\ \mathrm{kg}$，
将$x=5$代入$x_{\mathrm{售价}}=\frac{1}{2}t+2$，解得$t=6$，
将$t=6$代入利润公式得$w=-\frac{1}{4}×(6-4)^2+3=2$元/kg，
总利润为$2×4000=8000$元。
【答案】
(1) $a=-\frac{1}{5}$，$c=9$；
(2) 4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；
(3) 供给量与需求量相等时售价为5元/kg，按此价格出售获得的总利润为8000元。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际销售场景综合考查函数相关知识的应用，解题时需理清各数量之间的关系，注意自变量的实际意义和单位换算，避免出现不符合实际的错解。
【难度系数】
0.6
