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2. 图3中有一座拱桥，图4是其抛物线形的示意图，某时测得水面宽20 m，拱顶离水面5 m，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求此抛物线的函数解析式.
(2)当该河段水位再涨1.8 m达到最高水位时，有一艘货船露出水面的高度为2.2 m，船体宽为8 m，需要从拱桥下通过，请通过计算判断该货船是否能顺利通行.
(3)为迎佳节，拟在图4桥洞前面的桥拱上悬挂0.4 m长的灯笼.如图5，为了安全，灯笼底部距离水面不小于1 m[此时水面是指(2)中最高水位的水面]；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布.请设计悬挂方案，并说明悬挂的灯笼数量最多可以是多少盏.
(1)求此抛物线的函数解析式.
(2)当该河段水位再涨1.8 m达到最高水位时，有一艘货船露出水面的高度为2.2 m，船体宽为8 m，需要从拱桥下通过，请通过计算判断该货船是否能顺利通行.
(3)为迎佳节，拟在图4桥洞前面的桥拱上悬挂0.4 m长的灯笼.如图5，为了安全，灯笼底部距离水面不小于1 m[此时水面是指(2)中最高水位的水面]；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布.请设计悬挂方案，并说明悬挂的灯笼数量最多可以是多少盏.
答案
1. 由题意可知点B的坐标为(10,-5)，设所求抛物线的函数解式为$y=ax^2$，代入得100a=-5，解得$a=-\frac{1}{20}$.
∴$y=-\frac{1}{20}x^2$
2. 能顺利通行.理由如下：水位再涨1.8 m时，水面的纵坐标为$-5+1.8=-3.2$.货船宽8 m，取x=4，代入$y=-\frac{1}{20}x^2$，得$y=-\frac{1}{20}×4^2=-0.8$，此处桥拱到水面的高度为$-0.8-(-3.2)=2.4(m)$.
∵2.4＞2.2，
∴货船能顺利通行
3. 由题意可得当悬挂点的纵坐标$y≥-5+1.8+1+0.4=-1.8$时，即悬挂点的纵坐标的最小值是-1.8 m，当y=-1.8时，$-\frac{1}{20}x^2=-1.8$，
∴$x=±6$.
∴悬挂点的横坐标的取值范围是$-6≤x≤6$.悬挂方案有两种.方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，
∵$-6≤x≤6$，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6，若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼.
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼.方案二：从距顶点0.8 m处开始挂灯笼，
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，$0.8+1.6×(5-1)＞6$，若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，$0.8+1.6×(4-1)＜6$，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼.
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼.综上所述，从距离顶点0.8 m处开始挂灯笼，一侧挂4盏，悬挂的灯笼数量最多可以是8盏
∴$y=-\frac{1}{20}x^2$
2. 能顺利通行.理由如下：水位再涨1.8 m时，水面的纵坐标为$-5+1.8=-3.2$.货船宽8 m，取x=4，代入$y=-\frac{1}{20}x^2$，得$y=-\frac{1}{20}×4^2=-0.8$，此处桥拱到水面的高度为$-0.8-(-3.2)=2.4(m)$.
∵2.4＞2.2，
∴货船能顺利通行
3. 由题意可得当悬挂点的纵坐标$y≥-5+1.8+1+0.4=-1.8$时，即悬挂点的纵坐标的最小值是-1.8 m，当y=-1.8时，$-\frac{1}{20}x^2=-1.8$，
∴$x=±6$.
∴悬挂点的横坐标的取值范围是$-6≤x≤6$.悬挂方案有两种.方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，
∵$-6≤x≤6$，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6，若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼.
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼.方案二：从距顶点0.8 m处开始挂灯笼，
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，$0.8+1.6×(5-1)＞6$，若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，$0.8+1.6×(4-1)＜6$，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼.
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼.综上所述，从距离顶点0.8 m处开始挂灯笼，一侧挂4盏，悬挂的灯笼数量最多可以是8盏
解析
【分析】
(1) 已知抛物线顶点为坐标原点，对称轴为y轴，因此可设抛物线解析式为最简形式$y=ax^2$，结合水面宽20m、拱顶离水面5m的条件，可得到抛物线上已知点的坐标，代入即可求出参数a，得到解析式。
(2) 先计算水位上涨1.8m后的水面纵坐标，再结合货船宽度8m，取对应横坐标代入解析式，算出该位置桥拱的高度，和货船露出水面的高度对比，即可判断能否通行。
(3) 首先根据灯笼的安全要求，算出悬挂点的最低纵坐标，代入解析式求出悬挂点的横坐标取值范围；再结合轴对称分布、水平间距1.6m的要求，分“顶点处悬挂”和“顶点两侧对称悬挂”两种情况，分别计算最多可悬挂的数量，比较后得到最大值即可。
【解析】
(1) 由题意可知，水面宽20m，拱顶离水面5m，因此水面与抛物线的交点坐标为$(10,-5)$。设抛物线的函数解析式为$y=ax^2$，将$(10,-5)$代入解析式得：
$100a=-5$，解得$a=-\frac{1}{20}$
因此抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{20}x^2$。
(2) 水位上涨1.8m后，水面的纵坐标为$-5+1.8=-3.2$。
货船船体宽为8m，取$x=4$代入抛物线解析式，得：
$y=-\frac{1}{20}×4^2=-0.8$
此处桥拱到水面的高度为$-0.8-(-3.2)=2.4(m)$
∵$2.4＞2.2$，因此货船能顺利通行。
(3) 由题意，灯笼底部距离最高水位水面不小于1m，灯笼长0.4m，因此悬挂点的纵坐标需满足$y≥-3.2+1+0.4=-1.8$，即悬挂点纵坐标最小值为-1.8m。
将$y=-1.8$代入解析式得：$-\frac{1}{20}x^2=-1.8$，解得$x=±6$，因此悬挂点的横坐标取值范围为$-6≤x≤6$。
结合轴对称分布要求，有两种悬挂方案：
方案一：从顶点（$x=0$处）开始悬挂，相邻水平间距1.6m。顶点一侧悬挂3盏时，最外侧横坐标为$1.6×3=4.8＜6$；悬挂4盏时，$1.6×4=6.4＞6$，因此一侧最多挂3盏，总数量为$3×2+1=7$盏。
方案二：从距顶点0.8m处开始对称悬挂，相邻水平间距1.6m。顶点一侧悬挂4盏时，最外侧横坐标为$0.8+1.6×(4-1)=5.6＜6$；悬挂5盏时，$0.8+1.6×(5-1)=7.2＞6$，因此一侧最多挂4盏，总数量为$4×2=8$盏。
比较可知最多可挂8盏灯笼。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{20}x^2$
(2) 该货船能顺利通行
(3) 从距离顶点左右各0.8m处开始对称悬挂，相邻两盏水平间距1.6m，左右各挂4盏，最多可挂8盏
【知识点】
二次函数解析式确定；二次函数实际应用；轴对称性质应用
【点评】
本题结合拱桥通行、悬挂灯笼的生活场景，考查二次函数的综合应用，需要将实际问题转化为数学问题求解，第三问需要考虑轴对称的两种悬挂情况，结合取值范围分析才能得到最优方案，能有效考查知识迁移和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线顶点为坐标原点，对称轴为y轴，因此可设抛物线解析式为最简形式$y=ax^2$，结合水面宽20m、拱顶离水面5m的条件，可得到抛物线上已知点的坐标，代入即可求出参数a，得到解析式。
(2) 先计算水位上涨1.8m后的水面纵坐标，再结合货船宽度8m，取对应横坐标代入解析式，算出该位置桥拱的高度，和货船露出水面的高度对比，即可判断能否通行。
(3) 首先根据灯笼的安全要求，算出悬挂点的最低纵坐标，代入解析式求出悬挂点的横坐标取值范围；再结合轴对称分布、水平间距1.6m的要求，分“顶点处悬挂”和“顶点两侧对称悬挂”两种情况，分别计算最多可悬挂的数量，比较后得到最大值即可。
【解析】
(1) 由题意可知，水面宽20m，拱顶离水面5m，因此水面与抛物线的交点坐标为$(10,-5)$。设抛物线的函数解析式为$y=ax^2$，将$(10,-5)$代入解析式得：
$100a=-5$，解得$a=-\frac{1}{20}$
因此抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{20}x^2$。
(2) 水位上涨1.8m后，水面的纵坐标为$-5+1.8=-3.2$。
货船船体宽为8m，取$x=4$代入抛物线解析式，得：
$y=-\frac{1}{20}×4^2=-0.8$
此处桥拱到水面的高度为$-0.8-(-3.2)=2.4(m)$
∵$2.4＞2.2$，因此货船能顺利通行。
(3) 由题意，灯笼底部距离最高水位水面不小于1m，灯笼长0.4m，因此悬挂点的纵坐标需满足$y≥-3.2+1+0.4=-1.8$，即悬挂点纵坐标最小值为-1.8m。
将$y=-1.8$代入解析式得：$-\frac{1}{20}x^2=-1.8$，解得$x=±6$，因此悬挂点的横坐标取值范围为$-6≤x≤6$。
结合轴对称分布要求，有两种悬挂方案：
方案一：从顶点（$x=0$处）开始悬挂，相邻水平间距1.6m。顶点一侧悬挂3盏时，最外侧横坐标为$1.6×3=4.8＜6$；悬挂4盏时，$1.6×4=6.4＞6$，因此一侧最多挂3盏，总数量为$3×2+1=7$盏。
方案二：从距顶点0.8m处开始对称悬挂，相邻水平间距1.6m。顶点一侧悬挂4盏时，最外侧横坐标为$0.8+1.6×(4-1)=5.6＜6$；悬挂5盏时，$0.8+1.6×(5-1)=7.2＞6$，因此一侧最多挂4盏，总数量为$4×2=8$盏。
比较可知最多可挂8盏灯笼。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{20}x^2$
(2) 该货船能顺利通行
(3) 从距离顶点左右各0.8m处开始对称悬挂，相邻两盏水平间距1.6m，左右各挂4盏，最多可挂8盏
【知识点】
二次函数解析式确定；二次函数实际应用；轴对称性质应用
【点评】
本题结合拱桥通行、悬挂灯笼的生活场景，考查二次函数的综合应用，需要将实际问题转化为数学问题求解，第三问需要考虑轴对称的两种悬挂情况，结合取值范围分析才能得到最优方案，能有效考查知识迁移和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.6
