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1. 2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了我国在该项目上的突破.已知网球比赛场地（如图1）长AB约为24 m（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度OC约为1 m.建立如图2所示的平面直角坐标系.运动员从点P(-9,1.5)处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点D(-3,2)处达到最高.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由；
(3)运动员在第二次击球时仍然在点P处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为$y=ax^2+2ax+n(a≠0)$，网球在距球网右侧水平距离2 m时，离地面的高度不低于4 m，且网球落在对方区域内（含边界），求a的最大值.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由；
(3)运动员在第二次击球时仍然在点P处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为$y=ax^2+2ax+n(a≠0)$，网球在距球网右侧水平距离2 m时，离地面的高度不低于4 m，且网球落在对方区域内（含边界），求a的最大值.
答案
1.
∵网球飞行过程中在点D(-3,2)处达到最高，
∴设抛物线的函数解析式为$y=a(x+3)^2+2$，把P(-9,1.5)代入，得$1.5=a(-9+3)^2+2$，解得$a=-\frac{1}{72}$，
∴抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$
2. 此次击球越过球网并落在对方区域内(含边界).理由如下：
∵$y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$，
∴当x=0时，$y=-\frac{1}{72}×9+2=\frac{15}{8}＞1$.
∴网球越过球网.当y=0时，$-\frac{1}{72}(x+3)^2+2=0$，解得$x_1=-15,x_2=9$.
∵AB=24，
∴OB=12.
∵9＜12，
∴网球落在对方区域.综上所述，此次击球越过球网并落在对方区域内
3. 把P(-9,1.5)代入$y=ax^2+2ax+n$，得$1.5=81a-18a+n$，
∴$n=\frac{3}{2}-63a$.当x=2时，$y=4a+4a+n=8a+n=8a+\frac{3}{2}-63a≥4$，解得$a≤-\frac{1}{22}$.当x=12时，$y=144a+24a+n=168a+n=168a+\frac{3}{2}-63a≤0$，解得$a≤-\frac{1}{70}$.
∴$a≤-\frac{1}{22}$.
∴a的最大值为$-\frac{1}{22}$
∵网球飞行过程中在点D(-3,2)处达到最高，
∴设抛物线的函数解析式为$y=a(x+3)^2+2$，把P(-9,1.5)代入，得$1.5=a(-9+3)^2+2$，解得$a=-\frac{1}{72}$，
∴抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$
2. 此次击球越过球网并落在对方区域内(含边界).理由如下：
∵$y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$，
∴当x=0时，$y=-\frac{1}{72}×9+2=\frac{15}{8}＞1$.
∴网球越过球网.当y=0时，$-\frac{1}{72}(x+3)^2+2=0$，解得$x_1=-15,x_2=9$.
∵AB=24，
∴OB=12.
∵9＜12，
∴网球落在对方区域.综上所述，此次击球越过球网并落在对方区域内
3. 把P(-9,1.5)代入$y=ax^2+2ax+n$，得$1.5=81a-18a+n$，
∴$n=\frac{3}{2}-63a$.当x=2时，$y=4a+4a+n=8a+n=8a+\frac{3}{2}-63a≥4$，解得$a≤-\frac{1}{22}$.当x=12时，$y=144a+24a+n=168a+n=168a+\frac{3}{2}-63a≤0$，解得$a≤-\frac{1}{70}$.
∴$a≤-\frac{1}{22}$.
∴a的最大值为$-\frac{1}{22}$
解析
【分析】
(1) 已知抛物线的顶点为D(-3,2)，因此采用顶点式设抛物线解析式，再将点P的坐标代入求解参数a，即可得到抛物线的函数解析式。
(2) 判断是否越过球网：球网对应x=0的位置，计算x=0时的函数值，与球网高度1m比较，大于1m即可越过；判断是否落在对方区域：令y=0求解抛物线与x轴正半轴的交点横坐标，与OB的长度12m比较，小于等于12m则落在对方区域。
(3) 先将点P坐标代入新抛物线解析式，得到n与a的关系式；再根据“距球网右侧2m处高度不低于4m”，即x=2时y≥4，列关于a的不等式；最后根据“落在对方区域”，即x=12时y≤0，列第二个关于a的不等式，求解两个不等式取公共部分，即可得到a的最大值。
【解析】
(1)
∵抛物线的顶点为D(-3,2)
∴设抛物线的解析式为$y=a(x+3)^2+2(a≠0)$
将点P(-9,1.5)代入得：
$1.5=a×(-9+3)^2+2$
解得$a=-\frac{1}{72}$
∴抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$
(2) 此次击球越过球网并落在对方区域内，理由如下：
当x=0时，$y=-\frac{1}{72}×(0+3)^2+2=\frac{15}{8}=1.875$
∵$1.875＞1$，
∴网球越过球网。
令y=0，得$-\frac{1}{72}(x+3)^2+2=0$，解得$x_1=9,x_2=-15$（舍去）
∵AB长24m，O为AB中点，
∴$OB=12m$
∵$9＜12$，
∴网球落在对方区域内。
综上，此次击球越过球网并落在对方区域内。
(3) 将点P(-9,1.5)代入$y=ax^2+2ax+n$得：
$1.5=81a-18a+n$，即$n=\frac{3}{2}-63a$
① 距球网右侧2m对应x=2，此时$y≥4$：
代入得$8a+\frac{3}{2}-63a≥4$，解得$a≤-\frac{1}{22}$
② 落在对方区域即落地点不超过B点，x=12时$y≤0$：
代入得$168a+\frac{3}{2}-63a≤0$，解得$a≤-\frac{1}{70}$
取公共部分得$a≤-\frac{1}{22}$，故a的最大值为$-\frac{1}{22}$
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$
(2) 此次击球越过球网并落在对方区域内，理由见解析
(3) $-\frac{1}{22}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数实际应用
【点评】
本题结合真实体育场景命题，考查学生将实际问题转化为二次函数模型的建模能力，以及运用函数性质、不等式求解问题的运算能力，突出了数学知识的实践应用价值。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线的顶点为D(-3,2)，因此采用顶点式设抛物线解析式，再将点P的坐标代入求解参数a，即可得到抛物线的函数解析式。
(2) 判断是否越过球网：球网对应x=0的位置，计算x=0时的函数值，与球网高度1m比较，大于1m即可越过；判断是否落在对方区域：令y=0求解抛物线与x轴正半轴的交点横坐标，与OB的长度12m比较，小于等于12m则落在对方区域。
(3) 先将点P坐标代入新抛物线解析式，得到n与a的关系式；再根据“距球网右侧2m处高度不低于4m”，即x=2时y≥4，列关于a的不等式；最后根据“落在对方区域”，即x=12时y≤0，列第二个关于a的不等式，求解两个不等式取公共部分，即可得到a的最大值。
【解析】
(1)
∵抛物线的顶点为D(-3,2)
∴设抛物线的解析式为$y=a(x+3)^2+2(a≠0)$
将点P(-9,1.5)代入得：
$1.5=a×(-9+3)^2+2$
解得$a=-\frac{1}{72}$
∴抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$
(2) 此次击球越过球网并落在对方区域内，理由如下：
当x=0时，$y=-\frac{1}{72}×(0+3)^2+2=\frac{15}{8}=1.875$
∵$1.875＞1$，
∴网球越过球网。
令y=0，得$-\frac{1}{72}(x+3)^2+2=0$，解得$x_1=9,x_2=-15$（舍去）
∵AB长24m，O为AB中点，
∴$OB=12m$
∵$9＜12$，
∴网球落在对方区域内。
综上，此次击球越过球网并落在对方区域内。
(3) 将点P(-9,1.5)代入$y=ax^2+2ax+n$得：
$1.5=81a-18a+n$，即$n=\frac{3}{2}-63a$
① 距球网右侧2m对应x=2，此时$y≥4$：
代入得$8a+\frac{3}{2}-63a≥4$，解得$a≤-\frac{1}{22}$
② 落在对方区域即落地点不超过B点，x=12时$y≤0$：
代入得$168a+\frac{3}{2}-63a≤0$，解得$a≤-\frac{1}{70}$
取公共部分得$a≤-\frac{1}{22}$，故a的最大值为$-\frac{1}{22}$
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$
(2) 此次击球越过球网并落在对方区域内，理由见解析
(3) $-\frac{1}{22}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数实际应用
【点评】
本题结合真实体育场景命题，考查学生将实际问题转化为二次函数模型的建模能力，以及运用函数性质、不等式求解问题的运算能力，突出了数学知识的实践应用价值。
【难度系数】
0.6
