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知识梳理 2
二次函数的概念
1. 一般地，形如$y=\underline{\hspace{3cm}}$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数，叫作二次函数，其中$x$是$\underline{\hspace{2cm}}$，$a,b,c$分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和$\underline{\hspace{2cm}}$项.
二次函数的图象
2. 二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）可以通过配方的方法化成$y=a(x-\underline{\hspace{1cm}})^2+\underline{\hspace{1cm}}$的形式；它的图象是以（$\underline{\hspace{1cm}}$，$\underline{\hspace{1cm}}$）为顶点，以直线$x=\underline{\hspace{2cm}}$为对称轴的抛物线.
二次函数的性质
3. $|a|$越大，抛物线的开口越$\underline{\hspace{1cm}}$，图象越靠近对称轴；
$|a|$越小，抛物线的开口越$\underline{\hspace{1cm}}$，图象越远离对称轴.
4. $a＞0$时，抛物线开口向$\underline{\hspace{1cm}}$，图象有最低点，这个点的坐标为（$\underline{\hspace{1cm}}$，$\underline{\hspace{1cm}}$）；
当$x＜\underline{\hspace{1cm}}$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x＞\underline{\hspace{1cm}}$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x=\underline{\hspace{1cm}}$时，$y_{最小}=\underline{\hspace{2cm}}$.
5. $a＜0$时，抛物线开口向$\underline{\hspace{1cm}}$，图象有最高点，这个点的坐标为（$\underline{\hspace{1cm}}$，$\underline{\hspace{1cm}}$）；
当$x＜\underline{\hspace{1cm}}$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞\underline{\hspace{1cm}}$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x=\underline{\hspace{1cm}}$时，$y_{最大}=\underline{\hspace{2cm}}$.
6. 对称轴的位置：
（1）当$b=0$时，抛物线的对称轴为直线$x=\underline{\hspace{2cm}}$，即对称轴与$\underline{\hspace{1cm}}$轴重合；
（2）当$ab＞0$时，抛物线的对称轴在$y$轴$\underline{\hspace{1cm}}$侧；
（3）当$ab＜0$时，抛物线的对称轴在$y$轴$\underline{\hspace{1cm}}$侧.
二次函数与一元二次方程的关系
7. 若$b^2-4ac＞0$，则二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象与$x$轴有$\underline{\hspace{1cm}}$个公共点，这两个点为$A(x_1,0),B(x_2,0)$，此时$x_1,x_2$是一元二次方程$\underline{\hspace{3cm}}$的根.
8. 若$b^2-4ac=0$，则二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象与$x$轴有$\underline{\hspace{1cm}}$个公共点，该点为$A(\underline{\hspace{1cm}},0)$，此时一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）有两个$\underline{\hspace{1cm}}$的实数根，$x_1=x_2=\underline{\hspace{1cm}}$.
9. 若$b^2-4ac＜0$，则二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象与$x$轴$\underline{\hspace{1cm}}$公共点，此时一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）$\underline{\hspace{1cm}}$实数根.
10. 通过取$\underline{\hspace{2cm}}$的方法缩小根所在的范围，两端的值越来越$\underline{\hspace{1cm}}$根的值，因而可以作为根的近似值. 也可以通过观察图象，根在函数值$\underline{\hspace{1cm}}$号的两个自变量之间.
实际问题与二次函数
建立适当坐标系解决实际问题，如二次函数与几何图形面积的最值问题，二次函数与商品利润问题，二次函数与拱桥问题，二次函数与运动轨迹问题.
二次函数的概念
1. 一般地，形如$y=\underline{\hspace{3cm}}$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数，叫作二次函数，其中$x$是$\underline{\hspace{2cm}}$，$a,b,c$分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和$\underline{\hspace{2cm}}$项.
二次函数的图象
2. 二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）可以通过配方的方法化成$y=a(x-\underline{\hspace{1cm}})^2+\underline{\hspace{1cm}}$的形式；它的图象是以（$\underline{\hspace{1cm}}$，$\underline{\hspace{1cm}}$）为顶点，以直线$x=\underline{\hspace{2cm}}$为对称轴的抛物线.
二次函数的性质
3. $|a|$越大，抛物线的开口越$\underline{\hspace{1cm}}$，图象越靠近对称轴；
$|a|$越小，抛物线的开口越$\underline{\hspace{1cm}}$，图象越远离对称轴.
4. $a＞0$时，抛物线开口向$\underline{\hspace{1cm}}$，图象有最低点，这个点的坐标为（$\underline{\hspace{1cm}}$，$\underline{\hspace{1cm}}$）；
当$x＜\underline{\hspace{1cm}}$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x＞\underline{\hspace{1cm}}$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x=\underline{\hspace{1cm}}$时，$y_{最小}=\underline{\hspace{2cm}}$.
5. $a＜0$时，抛物线开口向$\underline{\hspace{1cm}}$，图象有最高点，这个点的坐标为（$\underline{\hspace{1cm}}$，$\underline{\hspace{1cm}}$）；
当$x＜\underline{\hspace{1cm}}$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞\underline{\hspace{1cm}}$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x=\underline{\hspace{1cm}}$时，$y_{最大}=\underline{\hspace{2cm}}$.
6. 对称轴的位置：
（1）当$b=0$时，抛物线的对称轴为直线$x=\underline{\hspace{2cm}}$，即对称轴与$\underline{\hspace{1cm}}$轴重合；
（2）当$ab＞0$时，抛物线的对称轴在$y$轴$\underline{\hspace{1cm}}$侧；
（3）当$ab＜0$时，抛物线的对称轴在$y$轴$\underline{\hspace{1cm}}$侧.
二次函数与一元二次方程的关系
7. 若$b^2-4ac＞0$，则二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象与$x$轴有$\underline{\hspace{1cm}}$个公共点，这两个点为$A(x_1,0),B(x_2,0)$，此时$x_1,x_2$是一元二次方程$\underline{\hspace{3cm}}$的根.
8. 若$b^2-4ac=0$，则二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象与$x$轴有$\underline{\hspace{1cm}}$个公共点，该点为$A(\underline{\hspace{1cm}},0)$，此时一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）有两个$\underline{\hspace{1cm}}$的实数根，$x_1=x_2=\underline{\hspace{1cm}}$.
9. 若$b^2-4ac＜0$，则二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象与$x$轴$\underline{\hspace{1cm}}$公共点，此时一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）$\underline{\hspace{1cm}}$实数根.
10. 通过取$\underline{\hspace{2cm}}$的方法缩小根所在的范围，两端的值越来越$\underline{\hspace{1cm}}$根的值，因而可以作为根的近似值. 也可以通过观察图象，根在函数值$\underline{\hspace{1cm}}$号的两个自变量之间.
实际问题与二次函数
建立适当坐标系解决实际问题，如二次函数与几何图形面积的最值问题，二次函数与商品利润问题，二次函数与拱桥问题，二次函数与运动轨迹问题.
答案
1. $ax^2+bx+c$ 自变量 常数
2. $h$ $k$ $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$ $-\frac{b}{2a}$
3. 小 大
4. 上 $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$ $-\frac{b}{2a}$ $-\frac{b}{2a}$ $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$
5. 下 $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$ $-\frac{b}{2a}$ $-\frac{b}{2a}$ $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$
6. 0 $y$ 左 右
7. 两 $ax^2+bx+c=0$
8. 一 $-\frac{b}{2a}$ 相等 $-\frac{b}{2a}$
9. 没有 无
10. 平均数 接近 异
2. $h$ $k$ $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$ $-\frac{b}{2a}$
3. 小 大
4. 上 $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$ $-\frac{b}{2a}$ $-\frac{b}{2a}$ $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$
5. 下 $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$ $-\frac{b}{2a}$ $-\frac{b}{2a}$ $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$
6. 0 $y$ 左 右
7. 两 $ax^2+bx+c=0$
8. 一 $-\frac{b}{2a}$ 相等 $-\frac{b}{2a}$
9. 没有 无
10. 平均数 接近 异
解析
【分析】
本题是二次函数模块基础知识点的识记类填空题，覆盖二次函数的定义、图象性质、与一元二次方程的关系及近似根求法等核心基础内容。解题时只需回忆课本对应知识点，逐空匹配填写即可，核心要求是对基础概念、性质的记忆准确无误，不需要复杂推导。
【解析】
1. 根据二次函数的定义，一般形式为$\boldsymbol{y=ax^2+bx+c}$（$a,b,c$是常数，$a≠0$），其中$x$是自变量，$a$为二次项系数、$b$为一次项系数、$c$为常数项。
2. 对一般式配方：$y=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，即顶点式为$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
3. 二次项系数$a$决定开口大小：$|a|$越大，抛物线开口越小，图象越靠近对称轴；$|a|$越小，抛物线开口越大。
4. $a＞0$时抛物线开口向上，顶点为图象最低点，坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；增减性规律为：当$x＜-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$增大而减小；当$x＞-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$增大而增大；当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取最小值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
5. $a＜0$时抛物线开口向下，顶点为图象最高点，坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；增减性规律为：当$x＜-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$增大而增大；当$x＞-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$增大而减小；当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取最大值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
6. 对称轴位置规律（左同右异）：
（1）$b=0$时，对称轴为直线$x=0$，即与$y$轴重合；
（2）$ab＞0$时$a、b$同号，对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$，在$y$轴左侧；
（3）$ab＜0$时$a、b$异号，对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，在$y$轴右侧。
7. 二次函数图象与$x$轴交点个数和判别式$\Delta=b^2-4ac$的关系：$\Delta＞0$时，图象与$x$轴有2个公共点，对应交点横坐标是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个不等实根。
8. $\Delta=0$时，图象与$x$轴有1个公共点，横坐标为$-\frac{b}{2a}$，对应方程有两个相等的实数根，$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$。
9. $\Delta＜0$时，图象与$x$轴没有公共点，对应方程无实数根。
10. 求一元二次方程近似根时，可通过取平均数的方法缩小根所在范围，两端值越来越接近根的准确值；从图象上看，根在函数值异号的两个自变量之间。
【答案】
1. $ax^2+bx+c$ 自变量 常数
2. $h$ $k$ $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$ $-\frac{b}{2a}$
3. 小 大
4. 上 $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$ $-\frac{b}{2a}$ $-\frac{b}{2a}$ $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$
5. 下 $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$ $-\frac{b}{2a}$ $-\frac{b}{2a}$ $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$
6. 0 $y$ 左 右
7. 两 $ax^2+bx+c=0$
8. 一 $-\frac{b}{2a}$ 相等 $-\frac{b}{2a}$
9. 没有 无
10. 平均数 接近 异
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题聚焦二次函数模块最基础的核心知识点考查，都是后续解决二次函数综合应用类题目的必备基础，要求学生能准确记忆、熟练运用这些性质，为后续学习打好扎实基础。
【难度系数】
0.85
本题是二次函数模块基础知识点的识记类填空题，覆盖二次函数的定义、图象性质、与一元二次方程的关系及近似根求法等核心基础内容。解题时只需回忆课本对应知识点，逐空匹配填写即可，核心要求是对基础概念、性质的记忆准确无误，不需要复杂推导。
【解析】
1. 根据二次函数的定义，一般形式为$\boldsymbol{y=ax^2+bx+c}$（$a,b,c$是常数，$a≠0$），其中$x$是自变量，$a$为二次项系数、$b$为一次项系数、$c$为常数项。
2. 对一般式配方：$y=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，即顶点式为$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
3. 二次项系数$a$决定开口大小：$|a|$越大，抛物线开口越小，图象越靠近对称轴；$|a|$越小，抛物线开口越大。
4. $a＞0$时抛物线开口向上，顶点为图象最低点，坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；增减性规律为：当$x＜-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$增大而减小；当$x＞-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$增大而增大；当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取最小值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
5. $a＜0$时抛物线开口向下，顶点为图象最高点，坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；增减性规律为：当$x＜-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$增大而增大；当$x＞-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$增大而减小；当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取最大值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
6. 对称轴位置规律（左同右异）：
（1）$b=0$时，对称轴为直线$x=0$，即与$y$轴重合；
（2）$ab＞0$时$a、b$同号，对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$，在$y$轴左侧；
（3）$ab＜0$时$a、b$异号，对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，在$y$轴右侧。
7. 二次函数图象与$x$轴交点个数和判别式$\Delta=b^2-4ac$的关系：$\Delta＞0$时，图象与$x$轴有2个公共点，对应交点横坐标是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个不等实根。
8. $\Delta=0$时，图象与$x$轴有1个公共点，横坐标为$-\frac{b}{2a}$，对应方程有两个相等的实数根，$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$。
9. $\Delta＜0$时，图象与$x$轴没有公共点，对应方程无实数根。
10. 求一元二次方程近似根时，可通过取平均数的方法缩小根所在范围，两端值越来越接近根的准确值；从图象上看，根在函数值异号的两个自变量之间。
【答案】
1. $ax^2+bx+c$ 自变量 常数
2. $h$ $k$ $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$ $-\frac{b}{2a}$
3. 小 大
4. 上 $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$ $-\frac{b}{2a}$ $-\frac{b}{2a}$ $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$
5. 下 $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$ $-\frac{b}{2a}$ $-\frac{b}{2a}$ $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$
6. 0 $y$ 左 右
7. 两 $ax^2+bx+c=0$
8. 一 $-\frac{b}{2a}$ 相等 $-\frac{b}{2a}$
9. 没有 无
10. 平均数 接近 异
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题聚焦二次函数模块最基础的核心知识点考查，都是后续解决二次函数综合应用类题目的必备基础，要求学生能准确记忆、熟练运用这些性质，为后续学习打好扎实基础。
【难度系数】
0.85
