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1. 一般地，形如
$y=\frac{k}{x}$
（k为常数，k≠0）的函数，叫作反比例函数。在理解概念时要注意：①常数k≠0
；②自变量x的取值范围是不等于0的一切实数；③函数值y的取值范围是y≠0
。答案
1. $y=\frac{k}{x}$ 0 0
解析
【分析】
本题考查反比例函数的基本概念，解题时需回忆反比例函数的定义内容及相关注意事项：首先明确反比例函数的标准表达形式，再结合分式有意义的条件和k的取值要求，推导自变量x和函数值y的取值限制即可完成填空。
【解析】
根据反比例函数的定义推导：
1. 反比例函数的一般形式为$\boldsymbol{y=\frac{k}{x}}$（k为常数，且$k≠0$）；
2. 若$k=0$，函数会变为$y=0$，属于常函数，不符合反比例函数的定义，因此常数$k≠0$；
3. 函数表达式为分式形式，分母$x$不能为0，因此自变量$x$的取值范围是$x≠0$；又因为$k≠0$、$x≠0$，所以$\frac{k}{x}≠0$，即函数值$y≠0$。
【答案】
$y=\frac{k}{x}$；0；0
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数自变量取值范围；反比例函数函数值取值范围
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对反比例函数基础定义的识记与理解，熟练掌握课本基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的基本概念，解题时需回忆反比例函数的定义内容及相关注意事项：首先明确反比例函数的标准表达形式，再结合分式有意义的条件和k的取值要求，推导自变量x和函数值y的取值限制即可完成填空。
【解析】
根据反比例函数的定义推导：
1. 反比例函数的一般形式为$\boldsymbol{y=\frac{k}{x}}$（k为常数，且$k≠0$）；
2. 若$k=0$，函数会变为$y=0$，属于常函数，不符合反比例函数的定义，因此常数$k≠0$；
3. 函数表达式为分式形式，分母$x$不能为0，因此自变量$x$的取值范围是$x≠0$；又因为$k≠0$、$x≠0$，所以$\frac{k}{x}≠0$，即函数值$y≠0$。
【答案】
$y=\frac{k}{x}$；0；0
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数自变量取值范围；反比例函数函数值取值范围
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对反比例函数基础定义的识记与理解，熟练掌握课本基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. 反比例函数解析式的确定:由定义$y=\frac{k}{x}$变形可得$k=$
$xy$
，因此只要将一个合适条件(如图象上一个点的坐标)代入即可。答案
2. xy
解析
【分析】
解题时我们的目标是将反比例函数一般式$y=\frac{k}{x}$中的$k$单独整理到等号的一侧，可利用等式的基本性质对原式做恒等变形：因为反比例函数的自变量$x\ne0$，所以可以在等式两边同时乘$x$，就能得到$k$的表达式。
【解析】
已知反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$，$x\ne0$），根据等式的基本性质，等式两边同时乘以不为0的$x$，可得：
$y× x=\frac{k}{x}× x$
化简后即$k=xy$。
【答案】
xy
【知识点】
反比例函数的定义、等式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，考查对反比例函数一般形式的变形掌握，$k=xy$是确定反比例函数解析式的核心结论，熟练掌握可提升后续求解反比例函数相关问题的效率。
【难度系数】
0.9
解题时我们的目标是将反比例函数一般式$y=\frac{k}{x}$中的$k$单独整理到等号的一侧，可利用等式的基本性质对原式做恒等变形：因为反比例函数的自变量$x\ne0$，所以可以在等式两边同时乘$x$，就能得到$k$的表达式。
【解析】
已知反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$，$x\ne0$），根据等式的基本性质，等式两边同时乘以不为0的$x$，可得：
$y× x=\frac{k}{x}× x$
化简后即$k=xy$。
【答案】
xy
【知识点】
反比例函数的定义、等式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，考查对反比例函数一般形式的变形掌握，$k=xy$是确定反比例函数解析式的核心结论，熟练掌握可提升后续求解反比例函数相关问题的效率。
【难度系数】
0.9
例 下列哪些关系式中的$y$是$x$的反比例函数？
(1)$y=\frac{x}{3}$；(2)$y=\frac{\sqrt{2}}{x}$；(3)$xy=21$；(4)$y=\frac{5}{x+2}$；(5)$y=\frac{3}{2x}$；(6)$y=\frac{1}{x}+3$；(7)$y=x-4$。
解 根据反比例函数的概念，看上面各式哪些可以写成$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的形式。(2)(3)(5)可以写成反比例函数的形式，(1)(7)是整式，(4)分母中不只单独含有$x$，(6)改写后为$y=\frac{1+3x}{x}$，分子不是常数$k$。故答案为(2)(3)(5)。
方法感悟 1. 反比例函数的形式主要是$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，除此以外还常以$xy=k(k≠0)$的形式出现。
2. 确定一个反比例函数解析式只需要一个点的坐标就可以了。
3. 反比例函数与成反比例关系不一样，后者更为广泛一些。
基础训练
(1)$y=\frac{x}{3}$；(2)$y=\frac{\sqrt{2}}{x}$；(3)$xy=21$；(4)$y=\frac{5}{x+2}$；(5)$y=\frac{3}{2x}$；(6)$y=\frac{1}{x}+3$；(7)$y=x-4$。
解 根据反比例函数的概念，看上面各式哪些可以写成$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的形式。(2)(3)(5)可以写成反比例函数的形式，(1)(7)是整式，(4)分母中不只单独含有$x$，(6)改写后为$y=\frac{1+3x}{x}$，分子不是常数$k$。故答案为(2)(3)(5)。
方法感悟 1. 反比例函数的形式主要是$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，除此以外还常以$xy=k(k≠0)$的形式出现。
2. 确定一个反比例函数解析式只需要一个点的坐标就可以了。
3. 反比例函数与成反比例关系不一样，后者更为广泛一些。
基础训练
答案
解析
【分析】
解题的核心是紧扣反比例函数的定义，首先回忆反比例函数的三种常见形式：①$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）；②$xy=k$（$k$为常数，且$k≠0$）；③$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$）。接下来逐一验证每个式子是否符合上述形式：先排除整式形式的一次函数、正比例函数，再对分式形式的式子，检查分母是否仅含自变量$x$、分子是否为非零常数，或者能否变形为$xy$等于非零常数的形式，不符合要求的直接排除，最终筛选出符合条件的关系式。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数，也可变形为$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式，据此逐个分析：
(1) $y=\frac{x}{3}$是正比例函数，属于一次函数，不符合反比例函数形式；
(2) $y=\frac{\sqrt{2}}{x}$符合$y=\frac{k}{x}$（$k=\sqrt{2}≠0$），是反比例函数；
(3) $xy=21$可变形为$y=\frac{21}{x}$，符合$xy=k$（$k=21≠0$），是反比例函数；
(4) $y=\frac{5}{x+2}$的分母是$x+2$，不是单独的自变量$x$，不符合反比例函数形式；
(5) $y=\frac{3}{2x}$可变形为$y=\frac{\frac{3}{2}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$（$k=\frac{3}{2}≠0$），是反比例函数；
(6) $y=\frac{1}{x}+3$通分后为$y=\frac{1+3x}{x}$，分子含有$x$，不是非零常数，不符合反比例函数形式；
(7) $y=x-4$是一次函数，不符合反比例函数形式。
综上，是反比例函数的为(2)(3)(5)。
【答案】
(2)(3)(5)
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的判定
【点评】
本题是基础的概念辨析题，主要考查对反比例函数定义的理解，需要熟练掌握反比例函数的几种常见表现形式，判断时要严格对照定义，注意避免将所有分母含$x$的式子都误认为是反比例函数。
【难度系数】
0.8
解题的核心是紧扣反比例函数的定义，首先回忆反比例函数的三种常见形式：①$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）；②$xy=k$（$k$为常数，且$k≠0$）；③$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$）。接下来逐一验证每个式子是否符合上述形式：先排除整式形式的一次函数、正比例函数，再对分式形式的式子，检查分母是否仅含自变量$x$、分子是否为非零常数，或者能否变形为$xy$等于非零常数的形式，不符合要求的直接排除，最终筛选出符合条件的关系式。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数，也可变形为$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式，据此逐个分析：
(1) $y=\frac{x}{3}$是正比例函数，属于一次函数，不符合反比例函数形式；
(2) $y=\frac{\sqrt{2}}{x}$符合$y=\frac{k}{x}$（$k=\sqrt{2}≠0$），是反比例函数；
(3) $xy=21$可变形为$y=\frac{21}{x}$，符合$xy=k$（$k=21≠0$），是反比例函数；
(4) $y=\frac{5}{x+2}$的分母是$x+2$，不是单独的自变量$x$，不符合反比例函数形式；
(5) $y=\frac{3}{2x}$可变形为$y=\frac{\frac{3}{2}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$（$k=\frac{3}{2}≠0$），是反比例函数；
(6) $y=\frac{1}{x}+3$通分后为$y=\frac{1+3x}{x}$，分子含有$x$，不是非零常数，不符合反比例函数形式；
(7) $y=x-4$是一次函数，不符合反比例函数形式。
综上，是反比例函数的为(2)(3)(5)。
【答案】
(2)(3)(5)
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的判定
【点评】
本题是基础的概念辨析题，主要考查对反比例函数定义的理解，需要熟练掌握反比例函数的几种常见表现形式，判断时要严格对照定义，注意避免将所有分母含$x$的式子都误认为是反比例函数。
【难度系数】
0.8
1. 下列函数中，$y$与$x$成反比例函数关系的是(
A.$y=-x-1$
B.$y=\dfrac{4}{x}$
C.$y=\dfrac{1}{x^2}$
D.$y=-\sqrt{2}x$
B
).A.$y=-x-1$
B.$y=\dfrac{4}{x}$
C.$y=\dfrac{1}{x^2}$
D.$y=-\sqrt{2}x$
答案
1. B
解析
【分析】
解题前需先明确反比例函数的定义，再将每个选项的函数形式与反比例函数的标准形式逐一对比，筛选出符合要求的选项。反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$），也可变形为$y=kx^{-1}$的形式，核心特征是自变量$x$的次数为$-1$，且$k$为不等于0的常数。
【解析】
首先回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做反比例函数。
对各选项逐一判断：
选项A：$y=-x-1$是一次函数，不符合反比例函数的形式，排除；
选项B：$y=\frac{4}{x}$符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=4\ne0$，属于反比例函数；
选项C：$y=\frac{1}{x^2}$中自变量$x$的次数为$-2$，不符合反比例函数自变量次数为$-1$的要求，排除；
选项D：$y=-\sqrt{2}x$是正比例函数，不符合反比例函数的形式，排除。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义；一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对不同类型初等函数形式的区分，只要熟练掌握反比例函数的核心特征，即可快速选出正确答案，是对基础知识点掌握程度的常规考查。
【难度系数】
0.8
解题前需先明确反比例函数的定义，再将每个选项的函数形式与反比例函数的标准形式逐一对比，筛选出符合要求的选项。反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$），也可变形为$y=kx^{-1}$的形式，核心特征是自变量$x$的次数为$-1$，且$k$为不等于0的常数。
【解析】
首先回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做反比例函数。
对各选项逐一判断：
选项A：$y=-x-1$是一次函数，不符合反比例函数的形式，排除；
选项B：$y=\frac{4}{x}$符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=4\ne0$，属于反比例函数；
选项C：$y=\frac{1}{x^2}$中自变量$x$的次数为$-2$，不符合反比例函数自变量次数为$-1$的要求，排除；
选项D：$y=-\sqrt{2}x$是正比例函数，不符合反比例函数的形式，排除。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义；一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对不同类型初等函数形式的区分，只要熟练掌握反比例函数的核心特征，即可快速选出正确答案，是对基础知识点掌握程度的常规考查。
【难度系数】
0.8
2. 如果反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点A(-1,2)，那么k的值是(
A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$-2$
D.$2$
C
).A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$-2$
D.$2$
答案
2. C
解析
【分析】
要确定反比例函数中k的值，可利用“函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式”这一规律，将已知点A的横、纵坐标代入反比例函数表达式，建立关于k的一元一次方程，求解方程即可得到k的值。
【解析】
已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(-1,2)$，将$x=-1$，$y=2$代入函数解析式得：
$2=\frac{k}{-1}$
等式两边同时乘$-1$，解得：$k=2×(-1)=-2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征
2.待定系数法求反比例函数系数
【点评】
本题属于基础题型，核心考察点是函数图象与函数解析式的对应关系，只要掌握“点在图象上则坐标满足解析式”的规律，即可快速计算得出结果，是反比例函数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.9
要确定反比例函数中k的值，可利用“函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式”这一规律，将已知点A的横、纵坐标代入反比例函数表达式，建立关于k的一元一次方程，求解方程即可得到k的值。
【解析】
已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(-1,2)$，将$x=-1$，$y=2$代入函数解析式得：
$2=\frac{k}{-1}$
等式两边同时乘$-1$，解得：$k=2×(-1)=-2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征
2.待定系数法求反比例函数系数
【点评】
本题属于基础题型，核心考察点是函数图象与函数解析式的对应关系，只要掌握“点在图象上则坐标满足解析式”的规律，即可快速计算得出结果，是反比例函数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.9
3. 若 $ x $ 与 $ y $ 成反比例关系，当 $ x $ 的值分别为2,3时，$ y $ 的值如下表所示，则表中 $ a $ 的值是(
A.2
B.4
C.6
D.8
C
).A.2
B.4
C.6
D.8
答案
3. C
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确反比例关系的核心性质：若两个量$x$、$y$成反比例关系，那么二者的乘积是固定不变的常数（即$xy=k$，$k$为非零定值）。解题时先利用已知的一组$x$、$y$的值求出定值$k$，再根据$k$不变的规律，代入$x=2$即可求出对应$y$的值也就是$a$。
【解析】
$\because x$与$y$成反比例关系
$\therefore xy$的乘积为定值，设为$k$，即$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）
将$x=3$，$y=4$代入得：$k=3×4=12$，即$xy=12$
当$x=2$时，$y=a$，代入$xy=12$可得：
$2× a=12$
解得$a=6$
【答案】
C
【知识点】
反比例关系的性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查反比例关系的实际应用，只要牢记成反比例的两个量乘积为定值的性质，就能快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确反比例关系的核心性质：若两个量$x$、$y$成反比例关系，那么二者的乘积是固定不变的常数（即$xy=k$，$k$为非零定值）。解题时先利用已知的一组$x$、$y$的值求出定值$k$，再根据$k$不变的规律，代入$x=2$即可求出对应$y$的值也就是$a$。
【解析】
$\because x$与$y$成反比例关系
$\therefore xy$的乘积为定值，设为$k$，即$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）
将$x=3$，$y=4$代入得：$k=3×4=12$，即$xy=12$
当$x=2$时，$y=a$，代入$xy=12$可得：
$2× a=12$
解得$a=6$
【答案】
C
【知识点】
反比例关系的性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查反比例关系的实际应用，只要牢记成反比例的两个量乘积为定值的性质，就能快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
