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4. 某段施工需运送土石方 $10^4 \, \mathrm{m}^3$，则土石方运送量 $y$（单位：$\mathrm{m}^3/\mathrm{天}$）与完成运送任务所需时间 $t$（单位：天）满足（
A.反比例函数关系
B.正比例函数关系
C.一次函数关系
D.二次函数关系
A
）。A.反比例函数关系
B.正比例函数关系
C.一次函数关系
D.二次函数关系
答案
4. A
解析
【分析】
解题时首先明确工程问题的基本数量关系：工作总量=工作效率×工作时间。本题中总土石方量（工作总量）是固定值$10^4 \, \mathrm{m}^3$，每天运送量y对应工作效率，运送时间t对应工作时间，先根据等量关系列出y与t的函数关系式，再对照各类函数的定义判断类型即可。
【解析】
解：由题意可知总土石方量为固定值$10^4 \, \mathrm{m}^3$，根据等量关系可得：
$y · t = 10^4$
整理得函数关系式：$y = \frac{10^4}{t}$
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，本题中$k=10^4≠0$，符合反比例函数的形式，因此y与t满足反比例函数关系。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数定义 2.工程问题数量关系
【点评】
本题属于基础题，考查从实际问题中抽象出函数关系的能力，解题关键是先结合实际场景的等量关系写出函数解析式，再对照对应函数的定义判定类型即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确工程问题的基本数量关系：工作总量=工作效率×工作时间。本题中总土石方量（工作总量）是固定值$10^4 \, \mathrm{m}^3$，每天运送量y对应工作效率，运送时间t对应工作时间，先根据等量关系列出y与t的函数关系式，再对照各类函数的定义判断类型即可。
【解析】
解：由题意可知总土石方量为固定值$10^4 \, \mathrm{m}^3$，根据等量关系可得：
$y · t = 10^4$
整理得函数关系式：$y = \frac{10^4}{t}$
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，本题中$k=10^4≠0$，符合反比例函数的形式，因此y与t满足反比例函数关系。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数定义 2.工程问题数量关系
【点评】
本题属于基础题，考查从实际问题中抽象出函数关系的能力，解题关键是先结合实际场景的等量关系写出函数解析式，再对照对应函数的定义判定类型即可。
【难度系数】
0.9
5. 若$x$与$y$成反比例关系，当$x$扩大到原来的4倍时，$y$将(
A.扩大到原来的4倍
B.缩小到原来的$\frac{1}{4}$
C.扩大到原来的2倍
D.缩小到原来的$\frac{1}{2}$
B
).A.扩大到原来的4倍
B.缩小到原来的$\frac{1}{4}$
C.扩大到原来的2倍
D.缩小到原来的$\frac{1}{2}$
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例关系的核心特征：成反比例的两个量，对应数值的乘积是固定不变的常数。第一步先写出反比例关系的表达式；第二步将扩大后的x代入表达式，结合乘积不变的特点推导新的y值；最后对比新旧y值即可得到变化情况。
【解析】
已知x与y成反比例关系，根据反比例的定义可得：
$xy = k$（$k$为常数，且$k ≠ 0$），变形得$y = \frac{k}{x}$。
当x扩大到原来的4倍时，新的x取值为$x' = 4x$，代入上式可得新的y值：
$y' = \frac{k}{x'} = \frac{k}{4x}$。
对比原式$y = \frac{k}{x}$，可得$y' = \frac{1}{4}y$，即y缩小到原来的$\frac{1}{4}$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例关系的定义；反比例量的变化规律
【点评】
本题考查反比例关系的基础应用，解题关键是抓住反比例中两个变量乘积为定值的本质，即可快速判断变量的变化趋势，属于基础类考题。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆反比例关系的核心特征：成反比例的两个量，对应数值的乘积是固定不变的常数。第一步先写出反比例关系的表达式；第二步将扩大后的x代入表达式，结合乘积不变的特点推导新的y值；最后对比新旧y值即可得到变化情况。
【解析】
已知x与y成反比例关系，根据反比例的定义可得：
$xy = k$（$k$为常数，且$k ≠ 0$），变形得$y = \frac{k}{x}$。
当x扩大到原来的4倍时，新的x取值为$x' = 4x$，代入上式可得新的y值：
$y' = \frac{k}{x'} = \frac{k}{4x}$。
对比原式$y = \frac{k}{x}$，可得$y' = \frac{1}{4}y$，即y缩小到原来的$\frac{1}{4}$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例关系的定义；反比例量的变化规律
【点评】
本题考查反比例关系的基础应用，解题关键是抓住反比例中两个变量乘积为定值的本质，即可快速判断变量的变化趋势，属于基础类考题。
【难度系数】
0.85
6. 甲地到乙地的高速公路主线长129 km，一辆汽车要行驶完全程，所需要的时间t(单位：h)关于平均速度v(单位：km/h)的函数解析式是
$t=\frac{129}{v}$
。答案
6. $t=\frac{129}{v}$
解析
【分析】
解题时首先回忆行程问题的核心等量关系：路程=速度×时间。本题中甲乙两地的高速公路主线长度是固定值129km，也就是路程为定值，要求写出时间t关于平均速度v的函数解析式，只需要对行程公式进行变形，将t用含v的代数式表示即可，同时要注意平均速度v是正数，不能为0。
【解析】
根据行程问题的基本公式：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，即$s=vt$。
已知路程$s=129\mathrm{km}$，将$s=129$代入公式得：$129=vt$，
将等式两边同时除以v（$v＞0$，速度为正数），可得$t=\frac{129}{v}$。
【答案】
$t=\frac{129}{v}$
【知识点】
1. 反比例函数应用 2. 行程问题等量关系
【点评】
本题属于基础应用题，核心是利用常见的行程问题数量关系列式变形，解题时要注意结合实际意义，明确自变量的取值范围为正数。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆行程问题的核心等量关系：路程=速度×时间。本题中甲乙两地的高速公路主线长度是固定值129km，也就是路程为定值，要求写出时间t关于平均速度v的函数解析式，只需要对行程公式进行变形，将t用含v的代数式表示即可，同时要注意平均速度v是正数，不能为0。
【解析】
根据行程问题的基本公式：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，即$s=vt$。
已知路程$s=129\mathrm{km}$，将$s=129$代入公式得：$129=vt$，
将等式两边同时除以v（$v＞0$，速度为正数），可得$t=\frac{129}{v}$。
【答案】
$t=\frac{129}{v}$
【知识点】
1. 反比例函数应用 2. 行程问题等量关系
【点评】
本题属于基础应用题，核心是利用常见的行程问题数量关系列式变形，解题时要注意结合实际意义，明确自变量的取值范围为正数。
【难度系数】
0.9
7. 已知三角形的面积为10，则它的底边a关于该边上的高h的函数解析式是
$a=\frac{20}{h}$
.答案
7. $a=\frac{20}{h}$
解析
【分析】
解题的核心依据是三角形的面积计算公式，我们的目标是推导出底边a关于高h的函数解析式：首先写出三角形面积与底、高的关系式，再将已知的面积值代入公式，最后通过等式变形把a单独放在等号一侧，即可得到所求的函数解析式，注意高h是正数，符合实际意义。
【解析】
根据三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ah$（S为三角形面积，a为底边长，h为该底边上的高），已知$S=10$，代入公式得：
$10=\frac{1}{2}ah$
对等式变形求解a：
等式两边同时乘2，得 $20=ah$，
再将等式两边同时除以h（$h＞0$，高为正数），得 $a=\frac{20}{h}$。
【答案】
$a=\frac{20}{h}$
【知识点】
三角形面积公式；根据实际问题列函数解析式
【点评】
本题是基础应用题，解题关键是熟练掌握三角形面积公式，代入已知条件变形即可得到结果，需要注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义，本题中高h必须大于0。
【难度系数】
0.9
解题的核心依据是三角形的面积计算公式，我们的目标是推导出底边a关于高h的函数解析式：首先写出三角形面积与底、高的关系式，再将已知的面积值代入公式，最后通过等式变形把a单独放在等号一侧，即可得到所求的函数解析式，注意高h是正数，符合实际意义。
【解析】
根据三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ah$（S为三角形面积，a为底边长，h为该底边上的高），已知$S=10$，代入公式得：
$10=\frac{1}{2}ah$
对等式变形求解a：
等式两边同时乘2，得 $20=ah$，
再将等式两边同时除以h（$h＞0$，高为正数），得 $a=\frac{20}{h}$。
【答案】
$a=\frac{20}{h}$
【知识点】
三角形面积公式；根据实际问题列函数解析式
【点评】
本题是基础应用题，解题关键是熟练掌握三角形面积公式，代入已知条件变形即可得到结果，需要注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义，本题中高h必须大于0。
【难度系数】
0.9
8. 已知 $ y $ 与 $ x+1 $ 成反比例，并且当 $ x=2 $ 时，$ y=3 $。
(1)写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
(2)当 $ y=-3 $ 时，求 $ x $ 的值。
(1)写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
(2)当 $ y=-3 $ 时，求 $ x $ 的值。
答案
解：
(1) ∵ y与x+1成反比例，
∴ 设$y=\frac{k}{x+1}$（k为常数，$k≠0$）。
把$x=2$，$y=3$代入得：
$3=\frac{k}{2+1}$，
解得$k=9$。
∴ y关于x的函数解析式为$y=\frac{9}{x+1}$。
(2) 把$y=-3$代入$y=\frac{9}{x+1}$得：
$-3=\frac{9}{x+1}$，
两边同乘$(x+1)$得：$-3(x+1)=9$，
解得$x=-4$。
经检验，$x=-4$是原方程的解，
∴ 当$y=-3$时，$x=-4$。
(1) ∵ y与x+1成反比例，
∴ 设$y=\frac{k}{x+1}$（k为常数，$k≠0$）。
把$x=2$，$y=3$代入得：
$3=\frac{k}{2+1}$，
解得$k=9$。
∴ y关于x的函数解析式为$y=\frac{9}{x+1}$。
(2) 把$y=-3$代入$y=\frac{9}{x+1}$得：
$-3=\frac{9}{x+1}$，
两边同乘$(x+1)$得：$-3(x+1)=9$，
解得$x=-4$。
经检验，$x=-4$是原方程的解，
∴ 当$y=-3$时，$x=-4$。
解析
【分析】
(1) 首先回忆反比例关系的定义：若两个量成反比例，可表示为形如$y=\frac{k}{z}$（k为常数，$k\ne0$）的形式。本题中y与$x+1$成反比例，因此把z替换为$x+1$，先设出含参数k的函数解析式，再将已知的$x=2$、$y=3$代入解析式，即可求出k的值，进而得到y关于x的函数解析式。
(2) 第二问已经得到确定的函数解析式，求$y=-3$时的x值，只需将$y=-3$代入解析式得到关于x的分式方程，解方程后检验根是否符合要求，即可得到x的值。
【解析】
(1) $\because$ y与$x+1$成反比例，
$\therefore$ 设$y=\frac{k}{x+1}$（k为常数，$k\ne0$）。
把$x=2$，$y=3$代入得：
$3=\frac{k}{2+1}$，
解得$k=9$。
$\therefore$ y关于x的函数解析式为$y=\frac{9}{x+1}$。
(2) 把$y=-3$代入$y=\frac{9}{x+1}$得：
$-3=\frac{9}{x+1}$，
两边同乘$(x+1)$得：$-3(x+1)=9$，
解得$x=-4$。
经检验，$x=-4$是原方程的解，
$\therefore$ 当$y=-3$时，$x=-4$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{9}{x+1}$；(2) $x=-4$
【知识点】
反比例函数定义；待定系数法；解分式方程
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，重点考察对反比例关系的理解和待定系数法的应用，解分式方程时注意要检验根的有效性，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 首先回忆反比例关系的定义：若两个量成反比例，可表示为形如$y=\frac{k}{z}$（k为常数，$k\ne0$）的形式。本题中y与$x+1$成反比例，因此把z替换为$x+1$，先设出含参数k的函数解析式，再将已知的$x=2$、$y=3$代入解析式，即可求出k的值，进而得到y关于x的函数解析式。
(2) 第二问已经得到确定的函数解析式，求$y=-3$时的x值，只需将$y=-3$代入解析式得到关于x的分式方程，解方程后检验根是否符合要求，即可得到x的值。
【解析】
(1) $\because$ y与$x+1$成反比例，
$\therefore$ 设$y=\frac{k}{x+1}$（k为常数，$k\ne0$）。
把$x=2$，$y=3$代入得：
$3=\frac{k}{2+1}$，
解得$k=9$。
$\therefore$ y关于x的函数解析式为$y=\frac{9}{x+1}$。
(2) 把$y=-3$代入$y=\frac{9}{x+1}$得：
$-3=\frac{9}{x+1}$，
两边同乘$(x+1)$得：$-3(x+1)=9$，
解得$x=-4$。
经检验，$x=-4$是原方程的解，
$\therefore$ 当$y=-3$时，$x=-4$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{9}{x+1}$；(2) $x=-4$
【知识点】
反比例函数定义；待定系数法；解分式方程
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，重点考察对反比例关系的理解和待定系数法的应用，解分式方程时注意要检验根的有效性，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
9. 在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4 cm时，它的另一条对角线长为12 cm.
(1)设菱形的两条对角线的长分别为x(单位:cm),y(单位:cm),求y关于x的函数解析式.这个函数是反比例函数吗?
(2)若其中一个菱形的一条对角线长为6 cm,求这个菱形的边长.
(1)设菱形的两条对角线的长分别为x(单位:cm),y(单位:cm),求y关于x的函数解析式.这个函数是反比例函数吗?
(2)若其中一个菱形的一条对角线长为6 cm,求这个菱形的边长.
答案
9.(1)
∵在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4 cm时，它的另一条对角线长为12 cm，
∴S菱形=1/2×4×12=24(cm²).
∵菱形的两条对角线的长分别为x,y，
∴S菱形=1/2xy=24.
∴y关于x的函数解析式为y=48/x，这个函数是反比例函数
(2)
∵其中一个菱形的一条对角线长为6 cm，
∴另一条对角线长为48/6=8(cm).
∵√((6/2)²+(8/2)²)=5(cm)，
∴这个菱形的边长为5 cm
∵在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4 cm时，它的另一条对角线长为12 cm，
∴S菱形=1/2×4×12=24(cm²).
∵菱形的两条对角线的长分别为x,y，
∴S菱形=1/2xy=24.
∴y关于x的函数解析式为y=48/x，这个函数是反比例函数
(2)
∵其中一个菱形的一条对角线长为6 cm，
∴另一条对角线长为48/6=8(cm).
∵√((6/2)²+(8/2)²)=5(cm)，
∴这个菱形的边长为5 cm
解析
【分析】
解题时先回忆相关核心知识点：菱形面积等于两条对角线乘积的一半，反比例函数的定义为形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数，菱形对角线互相垂直平分，直角三角形可通过勾股定理求边长。
对于第(1)问：首先利用题目给出的一组对角线长度算出定值面积，再根据菱形面积公式建立$x$和$y$的等量关系，整理得到函数解析式后，对照反比例函数定义判断即可。
对于第(2)问：先将已知的对角线长代入第(1)问的函数解析式，求出另一条对角线的长度，再根据菱形对角线的性质，结合勾股定理计算边长即可。
【解析】
(1) 计算菱形的定值面积：
根据菱形面积公式$S_{菱形}=\frac{1}{2}×对角线1×对角线2$，代入已知对角线长4cm、12cm可得：
$S_{菱形}=\frac{1}{2}×4×12=24\ \mathrm{cm}^2$
设两条对角线长为$x$、$y$，则$\frac{1}{2}xy=24$，整理得：
$y=\frac{48}{x}$（$x＞0$）
符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k=48≠0$，为常数）的形式，因此该函数是反比例函数。
(2) 将已知对角线长$x=6\ \mathrm{cm}$代入$y=\frac{48}{x}$，得另一条对角线长：
$y=\frac{48}{6}=8\ \mathrm{cm}$
由于菱形对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半分别为$3\ \mathrm{cm}$、$4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得菱形边长：
$\sqrt{(\frac{6}{2})^2+(\frac{8}{2})^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1) $y=\frac{48}{x}$，这个函数是反比例函数；
(2) $5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
菱形的性质、反比例函数的定义、勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，结合了几何性质与函数知识，解题核心是先求出菱形的定值面积，再结合相关性质逐步推导，侧重考察基础知识的应用能力，计算难度较低。
【难度系数】
0.75
解题时先回忆相关核心知识点：菱形面积等于两条对角线乘积的一半，反比例函数的定义为形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数，菱形对角线互相垂直平分，直角三角形可通过勾股定理求边长。
对于第(1)问：首先利用题目给出的一组对角线长度算出定值面积，再根据菱形面积公式建立$x$和$y$的等量关系，整理得到函数解析式后，对照反比例函数定义判断即可。
对于第(2)问：先将已知的对角线长代入第(1)问的函数解析式，求出另一条对角线的长度，再根据菱形对角线的性质，结合勾股定理计算边长即可。
【解析】
(1) 计算菱形的定值面积：
根据菱形面积公式$S_{菱形}=\frac{1}{2}×对角线1×对角线2$，代入已知对角线长4cm、12cm可得：
$S_{菱形}=\frac{1}{2}×4×12=24\ \mathrm{cm}^2$
设两条对角线长为$x$、$y$，则$\frac{1}{2}xy=24$，整理得：
$y=\frac{48}{x}$（$x＞0$）
符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k=48≠0$，为常数）的形式，因此该函数是反比例函数。
(2) 将已知对角线长$x=6\ \mathrm{cm}$代入$y=\frac{48}{x}$，得另一条对角线长：
$y=\frac{48}{6}=8\ \mathrm{cm}$
由于菱形对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半分别为$3\ \mathrm{cm}$、$4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得菱形边长：
$\sqrt{(\frac{6}{2})^2+(\frac{8}{2})^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1) $y=\frac{48}{x}$，这个函数是反比例函数；
(2) $5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
菱形的性质、反比例函数的定义、勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，结合了几何性质与函数知识，解题核心是先求出菱形的定值面积，再结合相关性质逐步推导，侧重考察基础知识的应用能力，计算难度较低。
【难度系数】
0.75
10. 反比例函数$y=-\frac{10}{x}$的图象一定经过的点是(
A.(1,10)
B.(-2,5)
C.(2,5)
D.(2,8)
B
).A.(1,10)
B.(-2,5)
C.(2,5)
D.(2,8)
答案
10. B
解析
【分析】
要判断点是否在反比例函数图象上，可利用反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），变形可得$xy=k$，即图象上任意点的横、纵坐标的乘积等于比例系数$k$。本题中反比例函数的$k=-10$，我们只需计算各选项中点的横纵坐标乘积，筛选出乘积为$-10$的选项即可。
【解析】
将反比例函数$y=-\frac{10}{x}$变形，可得$xy=-10$，即该函数图象上任意点的横、纵坐标乘积为$-10$。
选项A：$1×10=10\ne-10$，该点不在函数图象上；
选项B：$(-2)×5=-10$，符合要求，该点在函数图象上；
选项C：$2×5=10\ne-10$，该点不在函数图象上；
选项D：$2×8=16\ne-10$，该点不在函数图象上。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查反比例函数图象上点的坐标规律，牢记横纵坐标乘积等于比例系数的规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断点是否在反比例函数图象上，可利用反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），变形可得$xy=k$，即图象上任意点的横、纵坐标的乘积等于比例系数$k$。本题中反比例函数的$k=-10$，我们只需计算各选项中点的横纵坐标乘积，筛选出乘积为$-10$的选项即可。
【解析】
将反比例函数$y=-\frac{10}{x}$变形，可得$xy=-10$，即该函数图象上任意点的横、纵坐标乘积为$-10$。
选项A：$1×10=10\ne-10$，该点不在函数图象上；
选项B：$(-2)×5=-10$，符合要求，该点在函数图象上；
选项C：$2×5=10\ne-10$，该点不在函数图象上；
选项D：$2×8=16\ne-10$，该点不在函数图象上。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查反比例函数图象上点的坐标规律，牢记横纵坐标乘积等于比例系数的规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率$f$与弦长$l$成反比例关系，即$f=\frac{k}{l}$（$k$为常数，$k≠0$）。若某乐器的弦长$l$为$0.9\ \mathrm{m}$，振动频率$f$为$200\ \mathrm{Hz}$，则$k$的值为
180
。答案
11. 180
解析
【分析】
本题考查反比例函数的基础应用，解题思路清晰：题目已直接给出弦振动频率$f$与弦长$l$的反比例函数关系式，同时给出了一组对应的$l$、$f$的数值，我们只需将已知数值代入函数表达式，通过简单乘法运算就能求出常数$k$的值。
【解析】
已知反比例函数关系式为$f=\frac{k}{l}$，
将$l=0.9\ \mathrm{m}$，$f=200\ \mathrm{Hz}$代入关系式，可得：
$200=\frac{k}{0.9}$
等式两边同时乘以$0.9$，解得：
$k=200×0.9=180$
【答案】
180
【知识点】
反比例函数的概念；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握反比例函数的基本形式，解题时只需准确代入已知数值计算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的基础应用，解题思路清晰：题目已直接给出弦振动频率$f$与弦长$l$的反比例函数关系式，同时给出了一组对应的$l$、$f$的数值，我们只需将已知数值代入函数表达式，通过简单乘法运算就能求出常数$k$的值。
【解析】
已知反比例函数关系式为$f=\frac{k}{l}$，
将$l=0.9\ \mathrm{m}$，$f=200\ \mathrm{Hz}$代入关系式，可得：
$200=\frac{k}{0.9}$
等式两边同时乘以$0.9$，解得：
$k=200×0.9=180$
【答案】
180
【知识点】
反比例函数的概念；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握反比例函数的基本形式，解题时只需准确代入已知数值计算即可得分。
【难度系数】
0.9
