18. (9分)如图15①中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥(如图15②),制作这种外包装需要用如图15③所示的等腰三角形材料,其中AB=AC,AD⊥BC.将扇形EAF围成圆锥时,AE,AF恰好重合.已知这种加工材料的顶角∠BAC=90°.
(1)求图15②中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；
(2)若圆锥底面圆的直径ED为5 cm,求加工材料剩余部分(图15③中阴影部分)的面积.(结果保留π)

解：
(1) 设圆锥的母线AD长为$l$，圆锥底面圆的直径$ED=d$。
由题意，扇形EAF的弧长等于圆锥底面圆的周长，
已知$∠ BAC=90°$，扇形EAF的弧长为$\frac{90π l}{180}=\frac{π l}{2}$，
圆锥底面圆的周长为$π d$，
因此$π d = \frac{π l}{2}$，
化简得$d=\frac{l}{2}$，即$\frac{d}{l}=\frac{1}{2}$，
所以圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值为$\frac{1}{2}$。
(2) 已知$ED=5\ \mathrm{cm}$，由(1)的结论得$AD=2ED=10\ \mathrm{cm}$。
因为$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，
所以$△ ABC$是等腰直角三角形，$AD=BD=DC=10\ \mathrm{cm}$，$BC=2AD=20\ \mathrm{cm}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=\frac{1}{2}×20×10=100\ \mathrm{cm}^2$，
扇形EAF的面积$S_{\mathrm{扇形}EAF}=\frac{90π · AD^2}{360}=\frac{90π × 10^2}{360}=25π\ \mathrm{cm}^2$，
因此阴影部分的面积为$S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}EAF}=(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$。
答：加工材料剩余部分的面积为$(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$。

【分析】
(1) 解决第一问的核心是利用圆锥侧面展开图的性质：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们可以设母线AD长为$l$，底面直径ED为$d$，先根据圆心角$90°$求出扇形EAF的弧长，再写出底面圆的周长，列等式化简即可得到二者的比值。
(2) 第二问求阴影部分面积，阴影是不规则图形，采用“割补法”：阴影面积等于等腰直角三角形ABC的面积减去扇形EAF的面积。首先根据第一问的比值求出AD的长度，再结合等腰直角三角形的性质求出BC的长度，计算出三角形面积，再代入扇形面积公式求出扇形面积，二者作差即可得到结果。
【解析】
(1) 设圆锥的母线AD长为$l$，圆锥底面圆的直径$ED=d$。
由圆锥侧面展开图的性质可知，扇形EAF的弧长等于圆锥底面圆的周长。
已知$∠BAC=90°$，根据弧长公式，扇形EAF的弧长为$\frac{90π l}{180}=\frac{π l}{2}$，
圆锥底面圆的周长为$π d$，
因此列等式：$π d = \frac{π l}{2}$，
化简得$d=\frac{l}{2}$，即$\frac{d}{l}=\frac{1}{2}$。
(2) 已知$ED=5\ \mathrm{cm}$，由(1)的结论$\frac{ED}{AD}=\frac{1}{2}$，得$AD=2ED=10\ \mathrm{cm}$。
因为$AB=AC$，$∠BAC=90°$，$AD⊥BC$，
所以$△ ABC$是等腰直角三角形，$AD=BD=DC=10\ \mathrm{cm}$，$BC=BD+DC=20\ \mathrm{cm}$，
$△ ABC$的面积：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=\frac{1}{2}×20×10=100\ \mathrm{cm}^2$，
扇形EAF的面积：$S_{\mathrm{扇形}EAF}=\frac{90π · AD^2}{360}=\frac{90π × 10^2}{360}=25π\ \mathrm{cm}^2$，
因此阴影部分的面积为$S_{△ABC}-S_{\mathrm{扇形}EAF}=(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$
(2) $(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆锥的展开与计算；扇形弧长及面积计算；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何综合计算，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图弧长等于底面周长这一核心等量关系，不规则图形面积计算常用割补法转化为规则图形面积的和差，需要熟练掌握相关公式。
【难度系数】
0.7

19. (9分)如图16,四边形ABCD内接于$\odot O$,AC为$\odot O$的直径,$∠ ADB=∠ CDB$.
(1)试判断$△ ABC$的形状,并给出证明;
(2)若$AB=\sqrt{2},AD=1$,求$CD$的长度.

(1) $△ ABC$是等腰直角三角形，证明如下：
∵ $AC$为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ABC=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵ $∠ ADB=∠ ACB$，$∠ CDB=∠ CAB$（同弧所对的圆周角相等），
又∵ $∠ ADB=∠ CDB$，
∴ $∠ ACB=∠ CAB$，
∴ $AB=BC$，
∴ $△ ABC$是等腰直角三角形。
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(2) 求$CD$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=BC=\sqrt{2}$，$∠ ABC=90°$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$
∵ $AC$为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADC=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD=1$，$AC=2$，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
答：$CD$的长度为$\sqrt{3}$。

【分析】
（1）判断△ABC的形状时，首先由AC是圆的直径，可联想到直径所对的圆周角为直角，得到∠ABC=90°；再结合已知∠ADB=∠CDB，利用同弧所对的圆周角相等，将两个角转化为△ABC的内角∠ACB和∠CAB，推出两角相等后可得边相等，即可确定三角形形状。
（2）求CD长度时，先借助（1）的等腰直角三角形结论，用勾股定理算出直径AC的长度；再根据直径所对圆周角为直角，得到△ADC是直角三角形，最后用勾股定理计算CD的长度即可。
【解析】
(1) △ABC是等腰直角三角形，证明如下：
∵ AC为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ABC=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵ $∠ ADB=∠ ACB$，$∠ CDB=∠ CAB$（同弧所对的圆周角相等），
又
∵ $∠ ADB=∠ CDB$，
∴ $∠ ACB=∠ CAB$，
∴ $AB=BC$，
∴ $△ ABC$是等腰直角三角形。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=BC=\sqrt{2}$，$∠ ABC=90°$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$
∵ $AC$为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADC=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD=1$，$AC=2$，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
【答案】
(1) $△ ABC$是等腰直角三角形；(2) $CD$的长度为$\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理、等腰直角三角形判定、勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的基础综合题，核心考查圆周角定理推论和勾股定理的应用，解题关键是能熟练将圆的角的条件转化为三角形的边角关系，侧重对基础知识的综合运用考查。
【难度系数】
0.7