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15. 如图12，$\odot M$的半径为4，圆心$M$的坐标为$(6,8)$，点$P$是$\odot M$上的任意一点，$PA ⊥ PB$，且$PA$，$PB$与$x$轴分别交于$A$，$B$两点。若点$A$，$B$关于原点$O$对称，则当$AB$取最大值时，点$A$的坐标为。
答案
$\boldsymbol{(-14,0)}$
解析
【分析】
解题时先结合已知条件转化问题：由PA⊥PB，O是AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得OP=OA=OB，即AB=2OP，因此求AB的最大值等价于求OP的最大值。再根据点与圆的位置关系，圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加半径，先计算O到圆心M的距离，即可得到OP的最大值，进而求出A点坐标。
【解析】
∵ PA⊥PB，
∴ ∠APB=90°，
∵ 点A、B关于原点O对称，
∴ O为AB的中点，
在Rt△APB中，斜边上的中线等于斜边的一半，
∴ $ OP = OA = OB = \frac{1}{2}AB $，即 $ AB = 2OP $，
要使AB取最大值，只需OP取最大值即可。
已知圆心M的坐标为$(6,8)$，由勾股定理得：
$ OM = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 $，
∵ ⊙M的半径为4，点P是⊙M上的点，
∴ OP的最大值为$ OM + r = 10 + 4 = 14 $，
此时$ OA = OP = 14 $，
∵ 点A在x轴负半轴，
∴ 点A的坐标为$(-14,0)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-14,0)}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题考查了最值问题的转化求解，核心是利用直角三角形的性质将AB的最值转化为OP的最值，再结合点到圆上点的距离规律求解，很好地考查了转化思想的运用和几何性质的综合应用。
【难度系数】
0.6
解题时先结合已知条件转化问题：由PA⊥PB，O是AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得OP=OA=OB，即AB=2OP，因此求AB的最大值等价于求OP的最大值。再根据点与圆的位置关系，圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加半径，先计算O到圆心M的距离，即可得到OP的最大值，进而求出A点坐标。
【解析】
∵ PA⊥PB，
∴ ∠APB=90°，
∵ 点A、B关于原点O对称，
∴ O为AB的中点，
在Rt△APB中，斜边上的中线等于斜边的一半，
∴ $ OP = OA = OB = \frac{1}{2}AB $，即 $ AB = 2OP $，
要使AB取最大值，只需OP取最大值即可。
已知圆心M的坐标为$(6,8)$，由勾股定理得：
$ OM = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 $，
∵ ⊙M的半径为4，点P是⊙M上的点，
∴ OP的最大值为$ OM + r = 10 + 4 = 14 $，
此时$ OA = OP = 14 $，
∵ 点A在x轴负半轴，
∴ 点A的坐标为$(-14,0)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-14,0)}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题考查了最值问题的转化求解，核心是利用直角三角形的性质将AB的最值转化为OP的最值，再结合点到圆上点的距离规律求解，很好地考查了转化思想的运用和几何性质的综合应用。
【难度系数】
0.6
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16.(8分)已知:如图13,在$\odot O$中,AB为弦,C和D两点在AB上,且$AC=BD$.
求证:$△ OAC≌△ OBD$.
16.(8分)已知:如图13,在$\odot O$中,AB为弦,C和D两点在AB上,且$AC=BD$.
求证:$△ OAC≌△ OBD$.
答案
证明：
∵ OA、OB是⊙O的半径，
∴ OA = OB，
∴ ∠A = ∠B。
在△OAC和△OBD中，
$\{\begin{array}{l}OA = OB \\∠A = ∠B \\AC = BD\end{array} $
∴ △OAC ≌ △OBD（SAS）。
∵ OA、OB是⊙O的半径，
∴ OA = OB，
∴ ∠A = ∠B。
在△OAC和△OBD中，
$\{\begin{array}{l}OA = OB \\∠A = ∠B \\AC = BD\end{array} $
∴ △OAC ≌ △OBD（SAS）。
解析
【分析】
要证明△OAC≌△OBD，首先回忆全等三角形的判定定理，已知条件给出一组对应边相等AC=BD，接下来寻找剩余判定条件：首先OA、OB都是⊙O的半径，根据圆的性质可得半径相等，即OA=OB；再由OA=OB可知△OAB是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得∠A=∠B。此时已经满足两边及其夹角对应相等的SAS判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ OA、OB是⊙O的半径，
∴ OA = OB，
∴ ∠A = ∠B。
在△OAC和△OBD中，
$\{\begin{array}{l}OA = OB \\∠A = ∠B \\AC = BD\end{array} $
∴ △OAC ≌ △OBD（SAS）。
【答案】
△OAC≌△OBD，证明过程如上。
【知识点】
圆的基本性质、等腰三角形的性质、全等三角形SAS判定
【点评】
本题是基础的几何证明题，将圆的性质和三角形全等的判定相结合，解题核心是熟练掌握相关基础性质与判定定理，梳理清楚条件对应关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要证明△OAC≌△OBD，首先回忆全等三角形的判定定理，已知条件给出一组对应边相等AC=BD，接下来寻找剩余判定条件：首先OA、OB都是⊙O的半径，根据圆的性质可得半径相等，即OA=OB；再由OA=OB可知△OAB是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得∠A=∠B。此时已经满足两边及其夹角对应相等的SAS判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ OA、OB是⊙O的半径，
∴ OA = OB，
∴ ∠A = ∠B。
在△OAC和△OBD中，
$\{\begin{array}{l}OA = OB \\∠A = ∠B \\AC = BD\end{array} $
∴ △OAC ≌ △OBD（SAS）。
【答案】
△OAC≌△OBD，证明过程如上。
【知识点】
圆的基本性质、等腰三角形的性质、全等三角形SAS判定
【点评】
本题是基础的几何证明题，将圆的性质和三角形全等的判定相结合，解题核心是熟练掌握相关基础性质与判定定理，梳理清楚条件对应关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
17. (9分)如图14所示的拱桥,用$\overset{\frown}{AB}$表示桥拱.
(1)若$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O,EF是弦CD的垂直平分线,请你利用尺规作图,找出圆心O.(不写作法,但要保留作图痕迹)
(2)若拱桥的跨度(弦AB的长)为16 m,拱高($\overset{\frown}{AB}$的中点到弦AB的距离)为4 m,求拱桥的半径R.
(1)若$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O,EF是弦CD的垂直平分线,请你利用尺规作图,找出圆心O.(不写作法,但要保留作图痕迹)
(2)若拱桥的跨度(弦AB的长)为16 m,拱高($\overset{\frown}{AB}$的中点到弦AB的距离)为4 m,求拱桥的半径R.
答案
解：
(1) 作弦AB的垂直平分线，该垂直平分线与直线EF的交点即为所求圆心O，保留尺规作图痕迹。
(2) 设$\overset{\frown}{AB}$的中点为M，连接OM，交AB于点N，连接OA。
由垂径定理得$OM⊥ AB$，
$\therefore AN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 16 = 8\ \mathrm{m}$。
由题意得拱高$MN=4\ \mathrm{m}$，且$OA=OM=R$，
$\therefore ON = OM - MN = R - 4$。
在$\mathrm{Rt}△ AON$中，由勾股定理：
$AN^2 + ON^2 = OA^2$
代入数据得：
$8^2 + (R-4)^2 = R^2$
展开整理：
$64 + R^2 -8R +16 = R^2$
$8R = 80$
解得$R=10$。
答：拱桥的半径$R$为$10\ \mathrm{m}$。
(1) 作弦AB的垂直平分线，该垂直平分线与直线EF的交点即为所求圆心O，保留尺规作图痕迹。
(2) 设$\overset{\frown}{AB}$的中点为M，连接OM，交AB于点N，连接OA。
由垂径定理得$OM⊥ AB$，
$\therefore AN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 16 = 8\ \mathrm{m}$。
由题意得拱高$MN=4\ \mathrm{m}$，且$OA=OM=R$，
$\therefore ON = OM - MN = R - 4$。
在$\mathrm{Rt}△ AON$中，由勾股定理：
$AN^2 + ON^2 = OA^2$
代入数据得：
$8^2 + (R-4)^2 = R^2$
展开整理：
$64 + R^2 -8R +16 = R^2$
$8R = 80$
解得$R=10$。
答：拱桥的半径$R$为$10\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 要确定弧AB所在圆的圆心，依据圆的性质：圆心在圆任意一条弦的垂直平分线上。已知EF是弦CD的垂直平分线，说明圆心必在EF上，只需再作出弦AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是所求圆心O。
(2) 已知弦长和拱高求半径，可结合垂径定理构造直角三角形：过圆心作弦的垂线，平分弦，将半径、弦长的一半、圆心到弦的距离放入同一个直角三角形中，再利用勾股定理列方程即可求解半径。
【解析】
(1) 用尺规作出弦AB的垂直平分线，该垂直平分线与直线EF的交点即为圆心O，保留尺规作图痕迹即可。
(2) 设$\overset{\frown}{AB}$的中点为M，连接OM，交AB于点N，连接OA。
由垂径定理得$OM⊥ AB$，因此N为AB中点，$\therefore AN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 16 = 8\ \mathrm{m}$。
由题意得拱高$MN=4\ \mathrm{m}$，设拱桥半径为R，则$OA=OM=R$，$\therefore ON = OM - MN = R - 4$。
在$\mathrm{Rt}△ AON$中，由勾股定理得$AN^2 + ON^2 = OA^2$，代入数据得：
$8^2 + (R-4)^2 = R^2$
展开整理：$64 + R^2 -8R +16 = R^2$，即$8R = 80$，解得$R=10$。
【答案】
(1) 作图所得交点O即为所求；
(2) $\boxed{10\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1. 垂径定理
2. 勾股定理
3. 垂直平分线性质
【点评】
本题结合生活中拱桥的实际场景，考查圆的基础性质的应用，第一问侧重尺规作图的基础操作，第二问侧重垂径定理和勾股定理结合解决实际问题的能力，是圆的应用类典型题型，掌握构造直角三角形列方程的思路是解题关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定弧AB所在圆的圆心，依据圆的性质：圆心在圆任意一条弦的垂直平分线上。已知EF是弦CD的垂直平分线，说明圆心必在EF上，只需再作出弦AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是所求圆心O。
(2) 已知弦长和拱高求半径，可结合垂径定理构造直角三角形：过圆心作弦的垂线，平分弦，将半径、弦长的一半、圆心到弦的距离放入同一个直角三角形中，再利用勾股定理列方程即可求解半径。
【解析】
(1) 用尺规作出弦AB的垂直平分线，该垂直平分线与直线EF的交点即为圆心O，保留尺规作图痕迹即可。
(2) 设$\overset{\frown}{AB}$的中点为M，连接OM，交AB于点N，连接OA。
由垂径定理得$OM⊥ AB$，因此N为AB中点，$\therefore AN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 16 = 8\ \mathrm{m}$。
由题意得拱高$MN=4\ \mathrm{m}$，设拱桥半径为R，则$OA=OM=R$，$\therefore ON = OM - MN = R - 4$。
在$\mathrm{Rt}△ AON$中，由勾股定理得$AN^2 + ON^2 = OA^2$，代入数据得：
$8^2 + (R-4)^2 = R^2$
展开整理：$64 + R^2 -8R +16 = R^2$，即$8R = 80$，解得$R=10$。
【答案】
(1) 作图所得交点O即为所求；
(2) $\boxed{10\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1. 垂径定理
2. 勾股定理
3. 垂直平分线性质
【点评】
本题结合生活中拱桥的实际场景，考查圆的基础性质的应用，第一问侧重尺规作图的基础操作，第二问侧重垂径定理和勾股定理结合解决实际问题的能力，是圆的应用类典型题型，掌握构造直角三角形列方程的思路是解题关键。
【难度系数】
0.7
