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7. 已知矩形ABCD的边AB=5,AD=12.如果以点A为圆心作$\odot A$,使B,C,D三点中有一个点在圆内,有两个点在圆外,那么$\odot A$的半径r的取值范围是（）
A.$5＜r＜12$
B.$12＜r＜13$
C.$5＜r≤12$
D.$12＜r≤13$
A.$5＜r＜12$
B.$12＜r＜13$
C.$5＜r≤12$
D.$12＜r≤13$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要掌握点和圆的位置关系判定规则：设点到圆心的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外。解题步骤如下：第一步先利用矩形的性质和勾股定理，算出点A到B、C、D三个点的距离；第二步将三个距离按从小到大排序，结合“一个点在圆内、两个点在圆外”的要求，确定半径r需要满足的不等式，最终得到r的取值范围。
【解析】
在矩形ABCD中，∠BAD=90°，已知AB=5，AD=12：
1. 计算各点到圆心A的距离：
点B到A的距离：AB=5；
点D到A的距离：AD=12；
点C到A的距离为矩形对角线AC，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$。
2. 对三个距离排序得：$5＜12＜13$。
3. 结合题意分析r的范围：
要满足仅有1个点在圆内，只能是距离最小的点B在圆内，因此需$r＞5$；
要满足剩余2个点（D、C）都在圆外，需r小于这两个点到A距离的最小值，即$r＜12$（若$r≥12$，则点D会在圆上或圆内，不符合“两个点在圆外”的要求）。
综上，r的取值范围是$5＜r＜12$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题的核心是先求出各点到圆心的距离，再结合点和圆的位置关系规则确定半径的临界值，注意排除不符合题意的范围即可正确求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要掌握点和圆的位置关系判定规则：设点到圆心的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外。解题步骤如下：第一步先利用矩形的性质和勾股定理，算出点A到B、C、D三个点的距离；第二步将三个距离按从小到大排序，结合“一个点在圆内、两个点在圆外”的要求，确定半径r需要满足的不等式，最终得到r的取值范围。
【解析】
在矩形ABCD中，∠BAD=90°，已知AB=5，AD=12：
1. 计算各点到圆心A的距离：
点B到A的距离：AB=5；
点D到A的距离：AD=12；
点C到A的距离为矩形对角线AC，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$。
2. 对三个距离排序得：$5＜12＜13$。
3. 结合题意分析r的范围：
要满足仅有1个点在圆内，只能是距离最小的点B在圆内，因此需$r＞5$；
要满足剩余2个点（D、C）都在圆外，需r小于这两个点到A距离的最小值，即$r＜12$（若$r≥12$，则点D会在圆上或圆内，不符合“两个点在圆外”的要求）。
综上，r的取值范围是$5＜r＜12$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题的核心是先求出各点到圆心的距离，再结合点和圆的位置关系规则确定半径的临界值，注意排除不符合题意的范围即可正确求解。
【难度系数】
0.7
8. (2025·青海)如图5，AB是$\odot O$的直径，$∠ CAB=40°$，则$∠ ADC$的度数是（）
A.$80°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$
A.$80°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，AB为圆的直径，首先回忆直径所对圆周角的性质，可得∠ACB为直角；再结合已知∠CAB的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，即可得到∠ADC的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ CAB=40°$
∴$∠ ABC=90°-∠ CAB=90°-40°=50°$
又
∵$∠ ADC$和$∠ ABC$都是弧$AC$所对的圆周角
∴$∠ ADC=∠ ABC=50°$
故选B
【答案】
B
【知识点】
直径所对圆周角的性质；直角三角形两锐角互余；同弧所对圆周角相等
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题目，解题的核心是熟练掌握圆相关的基础性质，快速定位相等的圆周角即可求解，整体计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件，AB为圆的直径，首先回忆直径所对圆周角的性质，可得∠ACB为直角；再结合已知∠CAB的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，即可得到∠ADC的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ CAB=40°$
∴$∠ ABC=90°-∠ CAB=90°-40°=50°$
又
∵$∠ ADC$和$∠ ABC$都是弧$AC$所对的圆周角
∴$∠ ADC=∠ ABC=50°$
故选B
【答案】
B
【知识点】
直径所对圆周角的性质；直角三角形两锐角互余；同弧所对圆周角相等
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题目，解题的核心是熟练掌握圆相关的基础性质，快速定位相等的圆周角即可求解，整体计算量小。
【难度系数】
0.8
9. 如图6,一条公路的转弯处是一段圆弧($\overset{\frown}{AB}$),点O是这段弧所在圆的圆心,$AB=40\ \mathrm{m}$,点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,点D是AB的中点,且$CD=10\ \mathrm{m}$,则这段弯路所在圆的半径为 ()
A.25 m
B.24 m
C.30 m
D.60 m
A.25 m
B.24 m
C.30 m
D.60 m
答案
A
解析
【分析】
本题是圆的实际应用类题目，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形。已知C是弧AB的中点、D是弦AB的中点，根据垂径定理的推论可得OC垂直平分AB，且O、D、C三点共线，因此可得到直角三角形OAD。我们设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形的三边长，再结合勾股定理列方程求解，即可得到半径的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，点D是AB的中点，点O是弧AB所在圆的圆心，
∴O、D、C三点共线，且$OC⊥ AB$，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20\ \mathrm{m}$，
设这段弯路所在圆的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=OC=r\ \mathrm{m}$，
∵$CD=10\ \mathrm{m}$，
∴$OD=OC-CD=(r-10)\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA^2=OD^2+AD^2$，
代入数据得：$r^2=(r-10)^2+20^2$，
展开得：$r^2=r^2-20r+100+400$，
移项化简得：$20r=500$，
解得：$r=25$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关计算，解题关键是通过垂径定理构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，属于圆章节的基础常考题，熟练掌握垂径定理和勾股定理的结合应用即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题是圆的实际应用类题目，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形。已知C是弧AB的中点、D是弦AB的中点，根据垂径定理的推论可得OC垂直平分AB，且O、D、C三点共线，因此可得到直角三角形OAD。我们设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形的三边长，再结合勾股定理列方程求解，即可得到半径的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，点D是AB的中点，点O是弧AB所在圆的圆心，
∴O、D、C三点共线，且$OC⊥ AB$，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20\ \mathrm{m}$，
设这段弯路所在圆的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=OC=r\ \mathrm{m}$，
∵$CD=10\ \mathrm{m}$，
∴$OD=OC-CD=(r-10)\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA^2=OD^2+AD^2$，
代入数据得：$r^2=(r-10)^2+20^2$，
展开得：$r^2=r^2-20r+100+400$，
移项化简得：$20r=500$，
解得：$r=25$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关计算，解题关键是通过垂径定理构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，属于圆章节的基础常考题，熟练掌握垂径定理和勾股定理的结合应用即可快速解题。
【难度系数】
0.7
10. 如图7，AB是$\odot O$的弦，半径$OD ⊥ AB$于点$C$，$AE$为直径，$AB=8$，$CD=2$，则线段$CE$的长为（）
A.$2\sqrt{15}$
B.$8$
C.$2\sqrt{10}$
D.$2\sqrt{13}$
A.$2\sqrt{15}$
B.$8$
C.$2\sqrt{10}$
D.$2\sqrt{13}$
答案
D
解析
【分析】
解题时先由半径与弦垂直的条件联想到垂径定理，得到AB被平分的结论，求出AC的长度；再设圆的半径为r，用含r的式子表示OC，在直角三角形OAC中利用勾股定理列方程求出半径；接着连接BE，利用直径所对圆周角为直角得到直角三角形ABE，再结合中位线性质求出BE的长度；最后在直角三角形CBE中用勾股定理计算CE的长度即可。
【解析】
解：
∵ $OD ⊥ AB$，$AB=8$，根据垂径定理，
∴ $AC=CB=\frac{1}{2}AB=4$。
设$\odot O$的半径为r，则$OA=OD=r$，$OC=OD-CD=r-2$。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2=OC^2+AC^2$，即$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开得$r^2=r^2-4r+4+16$，
解得$r=5$。
∴ $OC=5-2=3$，$AE=2r=10$。
连接BE，
∵ AE是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ABE=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵ O是AE中点，C是AB中点，
∴ OC是$△ ABE$的中位线，
∴ $BE=2OC=6$。
在$Rt△ CBE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{CB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆的综合计算类基础题，将圆的性质与三角形的勾股定理、中位线性质结合考查，解题突破口是利用垂径定理和勾股定理求出圆的半径，熟练掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先由半径与弦垂直的条件联想到垂径定理，得到AB被平分的结论，求出AC的长度；再设圆的半径为r，用含r的式子表示OC，在直角三角形OAC中利用勾股定理列方程求出半径；接着连接BE，利用直径所对圆周角为直角得到直角三角形ABE，再结合中位线性质求出BE的长度；最后在直角三角形CBE中用勾股定理计算CE的长度即可。
【解析】
解：
∵ $OD ⊥ AB$，$AB=8$，根据垂径定理，
∴ $AC=CB=\frac{1}{2}AB=4$。
设$\odot O$的半径为r，则$OA=OD=r$，$OC=OD-CD=r-2$。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2=OC^2+AC^2$，即$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开得$r^2=r^2-4r+4+16$，
解得$r=5$。
∴ $OC=5-2=3$，$AE=2r=10$。
连接BE，
∵ AE是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ABE=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵ O是AE中点，C是AB中点，
∴ OC是$△ ABE$的中位线，
∴ $BE=2OC=6$。
在$Rt△ CBE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{CB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆的综合计算类基础题，将圆的性质与三角形的勾股定理、中位线性质结合考查，解题突破口是利用垂径定理和勾股定理求出圆的半径，熟练掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(2025·连云港)如图8,$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形,$∠ BAC=45°$.若$\odot O$的半径为2,则劣弧$\overset{\frown}{BC}$的长为.
11.(2025·连云港)如图8,$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形,$∠ BAC=45°$.若$\odot O$的半径为2,则劣弧$\overset{\frown}{BC}$的长为.
答案
$π$
解析
【分析】
要计算劣弧$\overset{\frown}{BC}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径）。已知$\odot O$的半径$r=2$，因此只需要求出劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角的度数即可。根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，结合已知的圆周角$∠ BAC=45°$，即可求出对应的圆心角度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
连接$OB$、$OC$。
∵$∠ BAC$是劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角
∴根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ BAC=2×45°=90°$
已知$\odot O$的半径$r=2$，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{90×π×2}{180}=π$
【答案】
$π$
【知识点】
圆周角定理；弧长计算公式
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握圆周角定理和弧长计算公式，先通过圆周角求出对应圆心角的度数，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
要计算劣弧$\overset{\frown}{BC}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径）。已知$\odot O$的半径$r=2$，因此只需要求出劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角的度数即可。根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，结合已知的圆周角$∠ BAC=45°$，即可求出对应的圆心角度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
连接$OB$、$OC$。
∵$∠ BAC$是劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角
∴根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ BAC=2×45°=90°$
已知$\odot O$的半径$r=2$，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{90×π×2}{180}=π$
【答案】
$π$
【知识点】
圆周角定理；弧长计算公式
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握圆周角定理和弧长计算公式，先通过圆周角求出对应圆心角的度数，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
12. 如图9,AB是$\odot O$的直径,点C是$\odot O$上的一点.若$BC=6$,$AB=10$,$OD⊥ BC$于点D,则OD的长为.
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件“AB是$\odot O$的直径”，利用直径所对的圆周角是直角，可得到Rt$△ ABC$，先通过勾股定理计算出AC的长度；再根据$OD⊥ BC$、$AC⊥ BC$可推出OD与AC平行，结合O是AB中点，可判断OD是$△ ABC$的中位线，最后利用中位线的性质即可求出OD的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt$△ ABC$中，$AB=10$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
∵$OD⊥ BC$，$∠ ACB=90°$，即$AC⊥ BC$，
∴$OD// AC$（垂直于同一直线的两条直线互相平行）。
又
∵O是AB的中点，
∴OD是$△ ABC$的中位线，
∴$OD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，解题的核心是熟练运用直径的圆周角性质构造直角三角形，再结合平行线判定和中位线性质计算，考查对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件“AB是$\odot O$的直径”，利用直径所对的圆周角是直角，可得到Rt$△ ABC$，先通过勾股定理计算出AC的长度；再根据$OD⊥ BC$、$AC⊥ BC$可推出OD与AC平行，结合O是AB中点，可判断OD是$△ ABC$的中位线，最后利用中位线的性质即可求出OD的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt$△ ABC$中，$AB=10$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
∵$OD⊥ BC$，$∠ ACB=90°$，即$AC⊥ BC$，
∴$OD// AC$（垂直于同一直线的两条直线互相平行）。
又
∵O是AB的中点，
∴OD是$△ ABC$的中位线，
∴$OD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，解题的核心是熟练运用直径的圆周角性质构造直角三角形，再结合平行线判定和中位线性质计算，考查对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图10,BD是$\odot O$的直径,C是$\overset{\frown}{AB}$的中点.若$∠ AOC=70°$,则$∠ AOD$的度数为.
答案
$\boldsymbol{40°}$
解析
【分析】
解题时先回忆圆中弧与圆心角的对应关系：在同圆或等圆中，相等的弧对应的圆心角相等。首先根据C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，可得$∠ BOC=∠ AOC$，算出$∠ AOB$的度数；再结合BD是圆的直径，$∠ BOD$是平角为$180°$，利用邻补角的关系即可求出$∠ AOD$的度数。
【解析】
$\because$ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ BOC=∠ AOC=70°$，
$\therefore ∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=70°+70°=140°$，
又$\because$ BD是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BOD=180°$，
$\therefore ∠ AOD=180°-∠ AOB=180°-140°=40°$。
【答案】
$\boldsymbol{40°}$
【知识点】
等弧对等圆心角；平角的定义；邻补角计算
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题的核心是掌握同圆中等弧对应的圆心角相等的性质，结合平角的特征即可快速求解，整体计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆圆中弧与圆心角的对应关系：在同圆或等圆中，相等的弧对应的圆心角相等。首先根据C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，可得$∠ BOC=∠ AOC$，算出$∠ AOB$的度数；再结合BD是圆的直径，$∠ BOD$是平角为$180°$，利用邻补角的关系即可求出$∠ AOD$的度数。
【解析】
$\because$ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ BOC=∠ AOC=70°$，
$\therefore ∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=70°+70°=140°$，
又$\because$ BD是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BOD=180°$，
$\therefore ∠ AOD=180°-∠ AOB=180°-140°=40°$。
【答案】
$\boldsymbol{40°}$
【知识点】
等弧对等圆心角；平角的定义；邻补角计算
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题的核心是掌握同圆中等弧对应的圆心角相等的性质，结合平角的特征即可快速求解，整体计算量小。
【难度系数】
0.8
14. (2025·青岛)如图11,在扇形AOB中,∠AOB=30°,OA=2√3,点C在OB上,且OC=AC.延长CB到D,使CD=CA.以CA,CD为邻边作平行四边形ACDE,则图中阴影部分的面积为(结果保留π).
答案
$\boldsymbol{3\sqrt{3}-π}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可将其转化为规则图形面积的和差来计算：首先根据等腰三角形的性质求出相关角度，结合勾股定理求出AC的长度；再分别计算平行四边形ACDE、△OAC的面积和，以及扇形OAB的面积；最后用平行四边形与三角形的面积和减去扇形面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 求AC的长度：
∵ OC=AC，∠AOB=30°，
∴ ∠OAC=∠AOB=30°，
∴ ∠ACB=∠O + ∠OAC=60°。
过点A作AF⊥OB于点F，
在Rt△OAF中，OA=2√3，∠O=30°，
∴ AF=OA·sin30°=2√3 × 1/2 = √3，
OF=OA·cos30°=2√3 × √3/2 = 3。
设OC=AC=x，则CF=OF - OC=3 - x，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：AF² + CF² = AC²，
即$(\sqrt{3})^2 + (3 - x)^2 = x^2$，
解得x=2，即AC=2，
∴ CD=AC=2。
2. 计算平行四边形ACDE与△OAC的面积和：
平行四边形ACDE的面积=底×高=CD×AF=2×√3=2√3，
△OAC的面积=$\frac{1}{2}$×OC×AF=$\frac{1}{2}$×2×√3=√3，
∴ 两者面积和=2√3 + √3=3√3。
3. 计算扇形OAB的面积：
扇形OAB的圆心角为30°，半径OA=2√3，
∴ 扇形面积=$\frac{30°}{360°}×π×OA^2$=$\frac{1}{12}×π×(2\sqrt{3})^2$=π。
4. 阴影部分面积=面积和 - 扇形面积=$3\sqrt{3} - π$。
【答案】
$\boldsymbol{3\sqrt{3}-π}$
【知识点】
等腰三角形性质，平行四边形面积计算，扇形面积计算
【点评】
本题属于不规则图形面积的综合计算题，解题核心是将阴影面积转化为熟悉的规则图形面积的和差，需要学生熟练掌握勾股定理、特殊角的三角函数值以及平行四边形、扇形的面积公式。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，可将其转化为规则图形面积的和差来计算：首先根据等腰三角形的性质求出相关角度，结合勾股定理求出AC的长度；再分别计算平行四边形ACDE、△OAC的面积和，以及扇形OAB的面积；最后用平行四边形与三角形的面积和减去扇形面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 求AC的长度：
∵ OC=AC，∠AOB=30°，
∴ ∠OAC=∠AOB=30°，
∴ ∠ACB=∠O + ∠OAC=60°。
过点A作AF⊥OB于点F，
在Rt△OAF中，OA=2√3，∠O=30°，
∴ AF=OA·sin30°=2√3 × 1/2 = √3，
OF=OA·cos30°=2√3 × √3/2 = 3。
设OC=AC=x，则CF=OF - OC=3 - x，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：AF² + CF² = AC²，
即$(\sqrt{3})^2 + (3 - x)^2 = x^2$，
解得x=2，即AC=2，
∴ CD=AC=2。
2. 计算平行四边形ACDE与△OAC的面积和：
平行四边形ACDE的面积=底×高=CD×AF=2×√3=2√3，
△OAC的面积=$\frac{1}{2}$×OC×AF=$\frac{1}{2}$×2×√3=√3，
∴ 两者面积和=2√3 + √3=3√3。
3. 计算扇形OAB的面积：
扇形OAB的圆心角为30°，半径OA=2√3，
∴ 扇形面积=$\frac{30°}{360°}×π×OA^2$=$\frac{1}{12}×π×(2\sqrt{3})^2$=π。
4. 阴影部分面积=面积和 - 扇形面积=$3\sqrt{3} - π$。
【答案】
$\boldsymbol{3\sqrt{3}-π}$
【知识点】
等腰三角形性质，平行四边形面积计算，扇形面积计算
【点评】
本题属于不规则图形面积的综合计算题，解题核心是将阴影面积转化为熟悉的规则图形面积的和差，需要学生熟练掌握勾股定理、特殊角的三角函数值以及平行四边形、扇形的面积公式。
【难度系数】
0.6
