20.(9分)如图17,在圆O中,弦AB=8,点C在圆O上(C与A,B不重合),连接CA,CB,过点O分别作OD⊥AC,OE⊥BC,垂足分别是点D,E.
(1)求线段DE的长;
(2)若点O到AB的距离为3,求圆O的半径.

解：
(1) ∵ OD⊥AC，OD经过圆心O，
由垂径定理得D是AC的中点，即AD=DC。
同理，OE⊥BC，OE经过圆心O，可得E是BC的中点，即CE=EB。
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AB。
∵ AB=8，
∴ DE = $\frac{1}{2} × 8 = 4$。
(2) 过点O作OH⊥AB于点H，
由题意知OH=3，
∵ OH⊥AB，OH经过圆心O，
由垂径定理得AH = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2} × 8 = 4$。
在Rt△AOH中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AH^2 + OH^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$，
即圆O的半径为5。

【分析】
(1) 要求线段DE的长，先观察已知条件：OD过圆心且垂直于AC，OE过圆心且垂直于BC，首先联想到垂径定理，可推出D是AC中点、E是BC中点，由此可得DE是△ABC的中位线，根据中位线性质即可求出DE的长度。
(2) 要求圆O的半径，已知点O到AB的距离为3，可过O作AB的垂线构造直角三角形，结合垂径定理得到AB一半的长度，再利用勾股定理即可求出半径OA的长度。
【解析】
(1)
∵ OD⊥AC，且OD经过圆心O，
根据垂径定理可得：D是AC的中点，即AD=DC。
同理，OE⊥BC，且OE经过圆心O，可得E是BC的中点，即CE=EB。
∴ DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线性质得：$DE = \frac{1}{2}AB$。
∵ AB=8，
∴ $DE = \frac{1}{2} × 8 = 4$。
(2) 过点O作OH⊥AB于点H，由题意知OH=3，
∵ OH⊥AB，且OH经过圆心O，
根据垂径定理得：$AH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4$。
在Rt△AOH中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AH^2 + OH^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$，
即圆O的半径为5。
【答案】
(1) $DE=4$；(2) 圆O的半径为$\boxed{5}$
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，主要考察垂径定理与三角形中位线、勾股定理的结合应用，解题关键是利用垂径定理得到线段的平分关系，再结合对应几何性质求解，是圆部分的常规得分题型。
【难度系数】
0.7

21. (10分)如图18，MB，MD是$\odot O$的两条弦，点A，C分别在$\overset{\frown}{MB}$，$\overset{\frown}{MD}$上，且$AB=CD$，M是$\overset{\frown}{AC}$的中点。
(1)求证：$MB=MD$；
(2)过点O作$OE ⊥ MB$于点E，当$OE=1$，$MD=4$时，求$\odot O$的半径。

(1) 证明：
∵ $AB=CD$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
∵ $M$是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CM}$，
∴ $\overset{\frown}{AM}+\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CM}+\overset{\frown}{CD}$，即$\overset{\frown}{MB}=\overset{\frown}{MD}$，
∴ $MB=MD$。
---
(2) 解：
连接$OM$，
由(1)得 $MB=MD=4$，
∵ $OE⊥ MB$，由垂径定理得：
$ME=\frac{1}{2}MB=2$，
在$\mathrm{Rt}△ OEM$中，$OE=1$，$ME=2$，
由勾股定理：
$OM=\sqrt{ME^2 + OE^2}=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$。
答：$\odot O$的半径为$\sqrt{5}$。

【分析】
(1) 要证明弦$MB=MD$，可转化为证明二者所对的弧相等。已知$AB=CD$，根据同圆中相等的弦对应相等的劣弧，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，再结合$M$是$\overset{\frown}{AC}$中点得到$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CM}$，将对应弧相加即可得到$\overset{\frown}{MB}=\overset{\frown}{MD}$，进而推出弦相等。
(2) 求$\odot O$的半径时，已知$OE⊥MB$，可利用垂径定理先求出$MB$的一半$ME$的长度，连接半径$OM$后，在直角三角形$OEM$中用勾股定理即可求出半径长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 在同圆中，相等的弦所对的劣弧相等，且$AB=CD$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
∵ $M$是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CM}$，
∴ $\overset{\frown}{AM}+\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CM}+\overset{\frown}{CD}$，即$\overset{\frown}{MB}=\overset{\frown}{MD}$，
∵ 同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴ $MB=MD$。
(2) 解：
连接$OM$，
由(1)得 $MB=MD=4$，
∵ $OE⊥ MB$，$OE$过圆心$O$，根据垂径定理可得：
$ME=\frac{1}{2}MB=\frac{1}{2}×4=2$，
在$\mathrm{Rt}△ OEM$中，$OE=1$，$ME=2$，
由勾股定理：
$OM=\sqrt{ME^2 + OE^2}=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\odot O$的半径为$\sqrt{5}$
【知识点】
弧弦的关系、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查圆的基本性质的应用，解题时要熟练掌握弧与弦的转化关系，以及垂径定理辅助线的构造方法，结合勾股定理即可完成求解。
【难度系数】
0.7