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22.(10分)如图19，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC.
(1)求证:∠AOB=2∠BOC;
(2)若$AB=4,BC=\sqrt{5},$求⊙O的半径.
(1)求证:∠AOB=2∠BOC;
(2)若$AB=4,BC=\sqrt{5},$求⊙O的半径.
答案
(1) 证明：
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
可得：$∠ AOB = 2∠ ACB$，$∠ BOC = 2∠ BAC$。
已知$∠ ACB = 2∠ BAC$，
代入得：$∠ AOB = 2× 2∠ BAC = 2∠ BOC$，
即$∠ AOB = 2∠ BOC$。
---
(2) 解：
过点$O$作$OD⊥ AB$于点$D$，
由垂径定理得：$AD = BD = \frac{1}{2}AB = 2$。
$\because OA=OB$，$\therefore OD$平分$∠ AOB$，即$∠ DOB = \frac{1}{2}∠ AOB$。
由(1)知$∠ AOB = 2∠ BOC$，$\therefore ∠ DOB = ∠ BOC$。
设$\odot O$的半径为$r$，在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，由勾股定理得：
$OD^2 + BD^2 = OB^2$，即$OD^2 + 2^2 = r^2$，$OD = \sqrt{r^2 - 4}$。
在等腰$△ BOC$中，$OB=OC=r$，$BC=\sqrt{5}$，过点$O$作$OE⊥ BC$于$E$，则$BE=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
$\cos∠ BOC = \frac{OB^2 + OC^2 - BC^2}{2· OB· OC} = \frac{2r^2 - 5}{2r^2}$。
又在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$\cos∠ DOB = \frac{OD}{OB} = \frac{\sqrt{r^2 - 4}}{r}$，
结合$∠ DOB=∠ BOC$，得：
$\frac{\sqrt{r^2 - 4}}{r} = \frac{2r^2 - 5}{2r^2}$
两边同乘$2r^2$化简：
$2r\sqrt{r^2 - 4} = 2r^2 - 5$
两边平方整理得：$4r^2 = 25$，
$\because r＞0$，$\therefore r=\frac{5}{2}$。
答：$\odot O$的半径为$\frac{5}{2}$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
可得：$∠ AOB = 2∠ ACB$，$∠ BOC = 2∠ BAC$。
已知$∠ ACB = 2∠ BAC$，
代入得：$∠ AOB = 2× 2∠ BAC = 2∠ BOC$，
即$∠ AOB = 2∠ BOC$。
---
(2) 解：
过点$O$作$OD⊥ AB$于点$D$，
由垂径定理得：$AD = BD = \frac{1}{2}AB = 2$。
$\because OA=OB$，$\therefore OD$平分$∠ AOB$，即$∠ DOB = \frac{1}{2}∠ AOB$。
由(1)知$∠ AOB = 2∠ BOC$，$\therefore ∠ DOB = ∠ BOC$。
设$\odot O$的半径为$r$，在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，由勾股定理得：
$OD^2 + BD^2 = OB^2$，即$OD^2 + 2^2 = r^2$，$OD = \sqrt{r^2 - 4}$。
在等腰$△ BOC$中，$OB=OC=r$，$BC=\sqrt{5}$，过点$O$作$OE⊥ BC$于$E$，则$BE=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
$\cos∠ BOC = \frac{OB^2 + OC^2 - BC^2}{2· OB· OC} = \frac{2r^2 - 5}{2r^2}$。
又在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$\cos∠ DOB = \frac{OD}{OB} = \frac{\sqrt{r^2 - 4}}{r}$，
结合$∠ DOB=∠ BOC$，得：
$\frac{\sqrt{r^2 - 4}}{r} = \frac{2r^2 - 5}{2r^2}$
两边同乘$2r^2$化简：
$2r\sqrt{r^2 - 4} = 2r^2 - 5$
两边平方整理得：$4r^2 = 25$，
$\because r＞0$，$\therefore r=\frac{5}{2}$。
答：$\odot O$的半径为$\frac{5}{2}$。
解析
【分析】
（1）第一问可利用圆周角定理建立圆心角和对应圆周角的数量关系：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，分别将∠AOB与∠ACB、∠BOC与∠BAC建立关联，再结合已知∠ACB=2∠BAC，代入即可推导求证。
（2）第二问要求半径，可通过作垂线构造直角三角形：先过O作OD⊥AB，利用垂径定理得到AB的中点，同时等腰△OAB中OD平分∠AOB，结合第一问结论可得∠DOB=∠BOC；再分别在Rt△ODB和等腰△BOC中表示出这两个等角的余弦值，建立关于半径r的方程，求解即可得到半径，注意平方后要验根舍去不合理解。
【解析】
(1) 证明：
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
可得：$∠ AOB = 2∠ ACB$，$∠ BOC = 2∠ BAC$。
已知$∠ ACB = 2∠ BAC$，
代入得：$∠ AOB = 2× 2∠ BAC = 2∠ BOC$，
即$∠ AOB = 2∠ BOC$，得证。
(2) 解：
过点$O$作$OD⊥ AB$于点$D$，
由垂径定理得：$AD = BD = \frac{1}{2}AB = 2$。
$\because OA=OB$，$\therefore OD$平分$∠ AOB$，即$∠ DOB = \frac{1}{2}∠ AOB$。
由(1)知$∠ AOB = 2∠ BOC$，$\therefore ∠ DOB = ∠ BOC$。
设$\odot O$的半径为$r$，在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，由勾股定理得：
$OD^2 + BD^2 = OB^2$，即$OD^2 + 2^2 = r^2$，解得$OD = \sqrt{r^2 - 4}$。
在等腰$△ BOC$中，$OB=OC=r$，$BC=\sqrt{5}$，根据三角函数定义可得：
$\cos∠ BOC = \frac{OB^2 + OC^2 - BC^2}{2· OB· OC} = \frac{2r^2 - 5}{2r^2}$。
又在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$\cos∠ DOB = \frac{OD}{OB} = \frac{\sqrt{r^2 - 4}}{r}$，
结合$∠ DOB=∠ BOC$，得：
$\frac{\sqrt{r^2 - 4}}{r} = \frac{2r^2 - 5}{2r^2}$
两边同乘$2r^2$化简得：
$2r\sqrt{r^2 - 4} = 2r^2 - 5$
两边平方整理得：$4r^2 = 25$，
$\because r＞0$，代入原方程验证符合，$\therefore r=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\odot O$的半径为$\frac{5}{2}$
【知识点】
圆周角定理；垂径定理；解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问直接考查圆周角定理的应用，难度较低；第二问需要结合垂径定理构造直角三角形，利用等角的三角函数值相等建立方程求解，重点考查方程思想和几何计算能力，解题时注意无理方程求解后要验证根的合理性。
【难度系数】
0.6
（1）第一问可利用圆周角定理建立圆心角和对应圆周角的数量关系：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，分别将∠AOB与∠ACB、∠BOC与∠BAC建立关联，再结合已知∠ACB=2∠BAC，代入即可推导求证。
（2）第二问要求半径，可通过作垂线构造直角三角形：先过O作OD⊥AB，利用垂径定理得到AB的中点，同时等腰△OAB中OD平分∠AOB，结合第一问结论可得∠DOB=∠BOC；再分别在Rt△ODB和等腰△BOC中表示出这两个等角的余弦值，建立关于半径r的方程，求解即可得到半径，注意平方后要验根舍去不合理解。
【解析】
(1) 证明：
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
可得：$∠ AOB = 2∠ ACB$，$∠ BOC = 2∠ BAC$。
已知$∠ ACB = 2∠ BAC$，
代入得：$∠ AOB = 2× 2∠ BAC = 2∠ BOC$，
即$∠ AOB = 2∠ BOC$，得证。
(2) 解：
过点$O$作$OD⊥ AB$于点$D$，
由垂径定理得：$AD = BD = \frac{1}{2}AB = 2$。
$\because OA=OB$，$\therefore OD$平分$∠ AOB$，即$∠ DOB = \frac{1}{2}∠ AOB$。
由(1)知$∠ AOB = 2∠ BOC$，$\therefore ∠ DOB = ∠ BOC$。
设$\odot O$的半径为$r$，在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，由勾股定理得：
$OD^2 + BD^2 = OB^2$，即$OD^2 + 2^2 = r^2$，解得$OD = \sqrt{r^2 - 4}$。
在等腰$△ BOC$中，$OB=OC=r$，$BC=\sqrt{5}$，根据三角函数定义可得：
$\cos∠ BOC = \frac{OB^2 + OC^2 - BC^2}{2· OB· OC} = \frac{2r^2 - 5}{2r^2}$。
又在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$\cos∠ DOB = \frac{OD}{OB} = \frac{\sqrt{r^2 - 4}}{r}$，
结合$∠ DOB=∠ BOC$，得：
$\frac{\sqrt{r^2 - 4}}{r} = \frac{2r^2 - 5}{2r^2}$
两边同乘$2r^2$化简得：
$2r\sqrt{r^2 - 4} = 2r^2 - 5$
两边平方整理得：$4r^2 = 25$，
$\because r＞0$，代入原方程验证符合，$\therefore r=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\odot O$的半径为$\frac{5}{2}$
【知识点】
圆周角定理；垂径定理；解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问直接考查圆周角定理的应用，难度较低；第二问需要结合垂径定理构造直角三角形，利用等角的三角函数值相等建立方程求解，重点考查方程思想和几何计算能力，解题时注意无理方程求解后要验证根的合理性。
【难度系数】
0.6
23.(11分)一辆装满货物的卡车,其外形高2.5 m,宽1.6 m,要开进形状如图20所示(上半部分是半圆,下半部分是矩形)的厂门,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
答案
解：
卡车宽1.6 m，取卡车宽度的一半为$1.6÷2=0.8\ \mathrm{m}$。
由图可知厂门上半部分半圆的直径为2 m，因此半圆的半径为1 m。
在水平线段AB上取距离圆心O点0.8 m的点，过该点作AB的垂线，交半圆于点C，连接OC，OC为半圆半径，即$OC=1\ \mathrm{m}$。
由勾股定理，可得该垂线在半圆范围内的竖直高度为：
$\sqrt{OC^2 - 0.8^2}=\sqrt{1^2 - 0.8^2}=\sqrt{0.36}=0.6\ \mathrm{m}$
因此该位置厂门的总通行高度为：
$2.3 + 0.6 = 2.9\ \mathrm{m}$
因为$2.9\ \mathrm{m}＞2.5\ \mathrm{m}$，该宽度下厂门的可通行高度大于卡车的外形高度。
答：这辆卡车能通过该工厂的厂门。
卡车宽1.6 m，取卡车宽度的一半为$1.6÷2=0.8\ \mathrm{m}$。
由图可知厂门上半部分半圆的直径为2 m，因此半圆的半径为1 m。
在水平线段AB上取距离圆心O点0.8 m的点，过该点作AB的垂线，交半圆于点C，连接OC，OC为半圆半径，即$OC=1\ \mathrm{m}$。
由勾股定理，可得该垂线在半圆范围内的竖直高度为：
$\sqrt{OC^2 - 0.8^2}=\sqrt{1^2 - 0.8^2}=\sqrt{0.36}=0.6\ \mathrm{m}$
因此该位置厂门的总通行高度为：
$2.3 + 0.6 = 2.9\ \mathrm{m}$
因为$2.9\ \mathrm{m}＞2.5\ \mathrm{m}$，该宽度下厂门的可通行高度大于卡车的外形高度。
答：这辆卡车能通过该工厂的厂门。
解析
【分析】
要判断卡车能否通过厂门，核心是比较卡车宽度对应的厂门高度与卡车高度的大小。卡车宽1.6m，因此只需计算距离厂门中线0.8m位置处的厂门总高度，若该高度大于卡车高度2.5m即可通行。厂门下半部分是高度为2.3m的矩形，上半部分是直径为2m的半圆，可通过勾股定理计算上述位置处半圆部分的竖直高度，相加后和2.5m比较即可得出结论。
【解析】
解：卡车宽度为1.6m，其一半宽度为$1.6÷2=0.8\ \mathrm{m}$。
由图可知厂门上半部分半圆的直径为2m，因此半圆的半径为$1\ \mathrm{m}$。
在水平线段AB上取距离圆心O点0.8m的点，过该点作AB的垂线，交半圆于点C，连接OC，OC为半圆半径，即$OC=1\ \mathrm{m}$。
由勾股定理，可得该垂线在半圆范围内的竖直高度为：
$\sqrt{OC^2 - 0.8^2}=\sqrt{1^2 - 0.8^2}=\sqrt{0.36}=0.6\ \mathrm{m}$
因此该位置厂门的总通行高度为：
$2.3 + 0.6 = 2.9\ \mathrm{m}$
因为$2.9\ \mathrm{m}＞2.5\ \mathrm{m}$，该宽度下厂门的可通行高度大于卡车的外形高度。
答：这辆卡车能通过该工厂的厂门。
【答案】
这辆卡车能通过该工厂的厂门
【知识点】
勾股定理，圆的性质，实际问题建模
【点评】
本题将生活中的通行问题转化为几何计算问题，解题的关键是找准卡车宽度对应的厂门高度的计算位置，侧重考查学生将实际问题抽象为数学模型的能力，以及对勾股定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断卡车能否通过厂门，核心是比较卡车宽度对应的厂门高度与卡车高度的大小。卡车宽1.6m，因此只需计算距离厂门中线0.8m位置处的厂门总高度，若该高度大于卡车高度2.5m即可通行。厂门下半部分是高度为2.3m的矩形，上半部分是直径为2m的半圆，可通过勾股定理计算上述位置处半圆部分的竖直高度，相加后和2.5m比较即可得出结论。
【解析】
解：卡车宽度为1.6m，其一半宽度为$1.6÷2=0.8\ \mathrm{m}$。
由图可知厂门上半部分半圆的直径为2m，因此半圆的半径为$1\ \mathrm{m}$。
在水平线段AB上取距离圆心O点0.8m的点，过该点作AB的垂线，交半圆于点C，连接OC，OC为半圆半径，即$OC=1\ \mathrm{m}$。
由勾股定理，可得该垂线在半圆范围内的竖直高度为：
$\sqrt{OC^2 - 0.8^2}=\sqrt{1^2 - 0.8^2}=\sqrt{0.36}=0.6\ \mathrm{m}$
因此该位置厂门的总通行高度为：
$2.3 + 0.6 = 2.9\ \mathrm{m}$
因为$2.9\ \mathrm{m}＞2.5\ \mathrm{m}$，该宽度下厂门的可通行高度大于卡车的外形高度。
答：这辆卡车能通过该工厂的厂门。
【答案】
这辆卡车能通过该工厂的厂门
【知识点】
勾股定理，圆的性质，实际问题建模
【点评】
本题将生活中的通行问题转化为几何计算问题，解题的关键是找准卡车宽度对应的厂门高度的计算位置，侧重考查学生将实际问题抽象为数学模型的能力，以及对勾股定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
