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21. (10分)某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆. 据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同.
(1)求进馆人次的月平均增长率.
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由.
(1)求进馆人次的月平均增长率.
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由.
答案
解：
(1)设进馆人次的月平均增长率为x，
根据题意得：
$128 + 128(1+x) + 128(1+x)^2 = 608$
化简得：
$4x^2 + 12x - 7 = 0$
解得：$x_1=0.5=50\%$，$x_2=-3.5$。
因为进馆人次逐月增加，增长率为正，故舍去$x_2=-3.5$。
答：进馆人次的月平均增长率为50%。
(2)学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下：
第四个月的进馆人次为：
$128×(1+50\%)^3 = 432$
因为$432＜500$，
所以学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次。
(1)设进馆人次的月平均增长率为x，
根据题意得：
$128 + 128(1+x) + 128(1+x)^2 = 608$
化简得：
$4x^2 + 12x - 7 = 0$
解得：$x_1=0.5=50\%$，$x_2=-3.5$。
因为进馆人次逐月增加，增长率为正，故舍去$x_2=-3.5$。
答：进馆人次的月平均增长率为50%。
(2)学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下：
第四个月的进馆人次为：
$128×(1+50\%)^3 = 432$
因为$432＜500$，
所以学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次。
解析
【分析】
这是平均增长率类的实际应用题，解题思路如下：
(1) 求解月平均增长率时，先设增长率为x，明确各月进馆人次的表达式：第一个月128人次，第二个月为$128(1+x)$人次，第三个月为$128(1+x)^2$人次；题干给出三个月累计进馆608人次，即三个月人次之和等于608，据此列一元二次方程，求解后结合增长率为正的实际意义舍去不合理解，即可得到增长率。
(2) 判断能否接纳第四个月进馆人次，先根据求得的增长率计算第四个月的进馆人次，再和图书馆每月最大接纳量500比较大小，若小于等于500则能接纳，反之则不能。
【解析】
(1) 设进馆人次的月平均增长率为x，
根据题意得：
$128 + 128(1+x) + 128(1+x)^2 = 608$
化简得：
$4x^2 + 12x - 7 = 0$
解得：$x_1=0.5=50\%$，$x_2=-3.5$。
因为进馆人次逐月增加，增长率为正，故舍去$x_2=-3.5$。
(2) 学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下：
第四个月的进馆人次为：
$128×(1+50\%)^3 = 432$
因为$432＜500$，
所以学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次。
【答案】
(1) 进馆人次的月平均增长率为50%；
(2) 能接纳第四个月的进馆人次。
【知识点】
一元二次方程应用，增长率问题，实数大小比较
【点评】
本题是方程实际应用的常考题型，核心考查提取等量关系列方程的能力，解题时需注意结合实际意义舍去不符合要求的方程解，整体解题逻辑清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
这是平均增长率类的实际应用题，解题思路如下：
(1) 求解月平均增长率时，先设增长率为x，明确各月进馆人次的表达式：第一个月128人次，第二个月为$128(1+x)$人次，第三个月为$128(1+x)^2$人次；题干给出三个月累计进馆608人次，即三个月人次之和等于608，据此列一元二次方程，求解后结合增长率为正的实际意义舍去不合理解，即可得到增长率。
(2) 判断能否接纳第四个月进馆人次，先根据求得的增长率计算第四个月的进馆人次，再和图书馆每月最大接纳量500比较大小，若小于等于500则能接纳，反之则不能。
【解析】
(1) 设进馆人次的月平均增长率为x，
根据题意得：
$128 + 128(1+x) + 128(1+x)^2 = 608$
化简得：
$4x^2 + 12x - 7 = 0$
解得：$x_1=0.5=50\%$，$x_2=-3.5$。
因为进馆人次逐月增加，增长率为正，故舍去$x_2=-3.5$。
(2) 学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下：
第四个月的进馆人次为：
$128×(1+50\%)^3 = 432$
因为$432＜500$，
所以学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次。
【答案】
(1) 进馆人次的月平均增长率为50%；
(2) 能接纳第四个月的进馆人次。
【知识点】
一元二次方程应用，增长率问题，实数大小比较
【点评】
本题是方程实际应用的常考题型，核心考查提取等量关系列方程的能力，解题时需注意结合实际意义舍去不符合要求的方程解，整体解题逻辑清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
22. (10分)已知关于x的一元二次方程$x^2 - px + 1 = 0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$.
(1)填空:$x_1 + x_2 =$,$x_1x_2 =$;
(2)求$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$,$x_1 + \frac{1}{x_1}$;
(3)已知$x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1$,求$p$的值.
(1)填空:$x_1 + x_2 =$,$x_1x_2 =$;
(2)求$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$,$x_1 + \frac{1}{x_1}$;
(3)已知$x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1$,求$p$的值.
答案
解：
(1) 根据一元二次方程根与系数的关系，可得$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$。
故答案依次为：$\boldsymbol{p}$，$\boldsymbol{1}$。
(2) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，
将$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$代入，得$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{p}{1}=p$。
因为$x_1$是方程$x^2-px+1=0$的实数根，所以$x_1^2 - px_1 + 1=0$，
整理得$x_1^2 + 1 = px_1$，又$x_1 ≠ 0$，两边同除以$x_1$，得$x_1+\frac{1}{x_1}=p$。
(3) 由完全平方公式变形得：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，
将$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$代入$x_1^2+x_2^2=2p+1$，得：
$p^2 - 2×1 = 2p + 1$，
整理得$p^2 - 2p - 3 = 0$，
因式分解得$(p-3)(p+1)=0$，
解得$p_1=3$，$p_2=-1$。
又因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = (-p)^2 - 4×1×1 ＞ 0$，即$p^2＞4$。
当$p=3$时，$p^2=9＞4$，符合条件；当$p=-1$时，$p^2=1＜4$，不符合条件，舍去。
综上，$p$的值为$\boldsymbol{3}$。
(1) 根据一元二次方程根与系数的关系，可得$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$。
故答案依次为：$\boldsymbol{p}$，$\boldsymbol{1}$。
(2) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，
将$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$代入，得$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{p}{1}=p$。
因为$x_1$是方程$x^2-px+1=0$的实数根，所以$x_1^2 - px_1 + 1=0$，
整理得$x_1^2 + 1 = px_1$，又$x_1 ≠ 0$，两边同除以$x_1$，得$x_1+\frac{1}{x_1}=p$。
(3) 由完全平方公式变形得：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，
将$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$代入$x_1^2+x_2^2=2p+1$，得：
$p^2 - 2×1 = 2p + 1$，
整理得$p^2 - 2p - 3 = 0$，
因式分解得$(p-3)(p+1)=0$，
解得$p_1=3$，$p_2=-1$。
又因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = (-p)^2 - 4×1×1 ＞ 0$，即$p^2＞4$。
当$p=3$时，$p^2=9＞4$，符合条件；当$p=-1$时，$p^2=1＜4$，不符合条件，舍去。
综上，$p$的值为$\boldsymbol{3}$。
解析
【分析】
本题围绕一元二次方程根的相关性质展开，解题思路如下：
(1) 第一问直接考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，代入对应系数即可求解；
(2) 第二问求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$时，先通分转化为用两根之和、两根之积表示的形式，再代入韦达定理的结果即可；求$x_1+\frac{1}{x_1}$时，利用方程根的定义，将$x_1$代入原方程，变形后两边同时除以不为0的$x_1$即可得到结果；
(3) 第三问先利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，结合已知条件建立关于$p$的方程，解方程后，再根据方程有两个不相等的实数根，用判别式$\Delta＞0$检验$p$的取值，舍去不符合条件的解即可。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2-px+1=0$，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{-p}{1}=p$，两根之积$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$。
(2) ① 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，将$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$代入，得$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{p}{1}=p$；
② 因为$x_1$是方程$x^2-px+1=0$的实数根，代入方程得$x_1^2 - px_1 + 1=0$，移项得$x_1^2 + 1 = px_1$，又$x_1≠0$（若$x_1=0$代入原方程得$1=0$不成立），两边同除以$x_1$，得$x_1+\frac{1}{x_1}=p$。
(3) 根据完全平方公式变形得：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，将$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$，$x_1^2+x_2^2=2p+1$代入得：
$p^2 - 2×1 = 2p + 1$，
整理得$p^2 - 2p - 3 = 0$，
因式分解得$(p-3)(p+1)=0$，
解得$p_1=3$，$p_2=-1$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = (-p)^2 - 4×1×1 ＞ 0$，即$p^2＞4$。
当$p=3$时，$p^2=9＞4$，符合条件；当$p=-1$时，$p^2=1＜4$，不符合条件，舍去。
综上，$p$的值为3。
【答案】
(1) $\boldsymbol{p}$，$\boldsymbol{1}$；
(2) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\boldsymbol{p}$，$x_1+\frac{1}{x_1}=\boldsymbol{p}$；
(3) $\boldsymbol{p=3}$
【知识点】
根与系数的关系，根的判别式，完全平方公式应用
【点评】
本题是一元二次方程的综合基础题，核心考查根的定义、韦达定理及判别式的应用，解题时要注意代数式变形的技巧，求解参数后切记结合判别式验证解的合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
本题围绕一元二次方程根的相关性质展开，解题思路如下：
(1) 第一问直接考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，代入对应系数即可求解；
(2) 第二问求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$时，先通分转化为用两根之和、两根之积表示的形式，再代入韦达定理的结果即可；求$x_1+\frac{1}{x_1}$时，利用方程根的定义，将$x_1$代入原方程，变形后两边同时除以不为0的$x_1$即可得到结果；
(3) 第三问先利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，结合已知条件建立关于$p$的方程，解方程后，再根据方程有两个不相等的实数根，用判别式$\Delta＞0$检验$p$的取值，舍去不符合条件的解即可。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2-px+1=0$，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{-p}{1}=p$，两根之积$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$。
(2) ① 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，将$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$代入，得$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{p}{1}=p$；
② 因为$x_1$是方程$x^2-px+1=0$的实数根，代入方程得$x_1^2 - px_1 + 1=0$，移项得$x_1^2 + 1 = px_1$，又$x_1≠0$（若$x_1=0$代入原方程得$1=0$不成立），两边同除以$x_1$，得$x_1+\frac{1}{x_1}=p$。
(3) 根据完全平方公式变形得：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，将$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$，$x_1^2+x_2^2=2p+1$代入得：
$p^2 - 2×1 = 2p + 1$，
整理得$p^2 - 2p - 3 = 0$，
因式分解得$(p-3)(p+1)=0$，
解得$p_1=3$，$p_2=-1$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = (-p)^2 - 4×1×1 ＞ 0$，即$p^2＞4$。
当$p=3$时，$p^2=9＞4$，符合条件；当$p=-1$时，$p^2=1＜4$，不符合条件，舍去。
综上，$p$的值为3。
【答案】
(1) $\boldsymbol{p}$，$\boldsymbol{1}$；
(2) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\boldsymbol{p}$，$x_1+\frac{1}{x_1}=\boldsymbol{p}$；
(3) $\boldsymbol{p=3}$
【知识点】
根与系数的关系，根的判别式，完全平方公式应用
【点评】
本题是一元二次方程的综合基础题，核心考查根的定义、韦达定理及判别式的应用，解题时要注意代数式变形的技巧，求解参数后切记结合判别式验证解的合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
