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19. (9分)由多项式乘法:$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式:$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$.
示例:
分解因式:$x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)$.
(1)尝试:
分解因式:$x^2+6x+8=(x+\_\_\_\_\_\_)(x+\_\_\_\_\_\_)$.
(2)应用:
请用上述方法解方程:$x^2-3x-4=0$.
示例:
分解因式:$x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)$.
(1)尝试:
分解因式:$x^2+6x+8=(x+\_\_\_\_\_\_)(x+\_\_\_\_\_\_)$.
(2)应用:
请用上述方法解方程:$x^2-3x-4=0$.
答案
解：
(1) 因为$2+4=6$，$2×4=8$，
所以$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$，
两个横线处依次填$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$。
(2) $x^2-3x-4=0$
将方程左边变形为：
$x^2 + [1 + (-4)]x + 1×(-4) = 0$
因式分解得：
$(x+1)(x-4)=0$
$\therefore x+1=0$ 或 $x-4=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=4$
(1) 因为$2+4=6$，$2×4=8$，
所以$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$，
两个横线处依次填$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$。
(2) $x^2-3x-4=0$
将方程左边变形为：
$x^2 + [1 + (-4)]x + 1×(-4) = 0$
因式分解得：
$(x+1)(x-4)=0$
$\therefore x+1=0$ 或 $x-4=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=4$
解析
【分析】
（1）第一问可根据题中给出的十字相乘法规则思考：要对$x^2+6x+8$因式分解，只需找到两个数，满足两数之和等于一次项系数6，两数之积等于常数项8，这两个数就是待填的数。
（2）第二问解一元二次方程的思路：先对左边的二次三项式用十字相乘法因式分解，找到两个数满足和为一次项系数-3、积为常数项-4，将左边转化为两个一次因式的乘积；再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”，分别解两个一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
(1) 分析二次三项式$x^2+6x+8$，满足“和为6、积为8”的两个数为2和4，即$2+4=6$，$2×4=8$，因此：
$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$，两个横线依次填2、4。
(2) 解方程$x^2-3x-4=0$：
首先对左边因式分解，满足“和为-3、积为-4”的两个数为1和-4，即$1+(-4)=-3$，$1×(-4)=-4$，因此左边可分解为：
$(x+1)(x-4)=0$
根据乘积为0的性质可得：$x+1=0$ 或 $x-4=0$
分别解得：$x_1=-1$，$x_2=4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$
(2) $x_1=-1$，$x_2=4$
【知识点】
十字相乘法因式分解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查十字相乘法的使用规则，核心是掌握“凑两数和为一次项系数、凑两数积为常数项”的规律，该方法是解一元二次方程的常用技巧，熟练掌握后可以有效提升解题效率。
【难度系数】
0.85
（1）第一问可根据题中给出的十字相乘法规则思考：要对$x^2+6x+8$因式分解，只需找到两个数，满足两数之和等于一次项系数6，两数之积等于常数项8，这两个数就是待填的数。
（2）第二问解一元二次方程的思路：先对左边的二次三项式用十字相乘法因式分解，找到两个数满足和为一次项系数-3、积为常数项-4，将左边转化为两个一次因式的乘积；再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”，分别解两个一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
(1) 分析二次三项式$x^2+6x+8$，满足“和为6、积为8”的两个数为2和4，即$2+4=6$，$2×4=8$，因此：
$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$，两个横线依次填2、4。
(2) 解方程$x^2-3x-4=0$：
首先对左边因式分解，满足“和为-3、积为-4”的两个数为1和-4，即$1+(-4)=-3$，$1×(-4)=-4$，因此左边可分解为：
$(x+1)(x-4)=0$
根据乘积为0的性质可得：$x+1=0$ 或 $x-4=0$
分别解得：$x_1=-1$，$x_2=4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$
(2) $x_1=-1$，$x_2=4$
【知识点】
十字相乘法因式分解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查十字相乘法的使用规则，核心是掌握“凑两数和为一次项系数、凑两数积为常数项”的规律，该方法是解一元二次方程的常用技巧，熟练掌握后可以有效提升解题效率。
【难度系数】
0.85
20. (9分)为促进新旧功能转换,提高经济效益,某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为25万元,经过市场调研发现,该设备的月销售量y(单位:台)和销售单价x(单位:万元)满足
所示的一次函数关系.
(1)求月销售量y与销售单价x的函数关系式.
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于32万元,如果该公司想获得250万元的月利润,那么该设备的销售单价应是多少万元?
所示的一次函数关系.(1)求月销售量y与销售单价x的函数关系式.
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于32万元,如果该公司想获得250万元的月利润,那么该设备的销售单价应是多少万元?
答案
解：(1) 设月销售量$y$与销售单价$x$的函数关系式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将点$(28,60)$、$(32,40)$代入得：
$\begin{cases}28k+b=60\\32k+b=40\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=-5\\b=200\end{cases}$
因此月销售量$y$与销售单价$x$的函数关系式为$\boldsymbol{y=-5x+200}$。
(2) 根据题意，单台利润为$(x-25)$万元，总月利润为单台利润乘以月销售量，列方程得：
$(x-25)(-5x+200)=250$
整理得：$x^2-65x+1050=0$
因式分解得：$(x-30)(x-35)=0$
解得：$x_1=30$，$x_2=35$
由题意知销售单价不得高于32万元，即$x≤32$，因此$x=35$不符合要求，舍去。
答：该设备的销售单价应是30万元。
将点$(28,60)$、$(32,40)$代入得：
$\begin{cases}28k+b=60\\32k+b=40\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=-5\\b=200\end{cases}$
因此月销售量$y$与销售单价$x$的函数关系式为$\boldsymbol{y=-5x+200}$。
(2) 根据题意，单台利润为$(x-25)$万元，总月利润为单台利润乘以月销售量，列方程得：
$(x-25)(-5x+200)=250$
整理得：$x^2-65x+1050=0$
因式分解得：$(x-30)(x-35)=0$
解得：$x_1=30$，$x_2=35$
由题意知销售单价不得高于32万元，即$x≤32$，因此$x=35$不符合要求，舍去。
答：该设备的销售单价应是30万元。
解析
【分析】
(1) 已知y与x是一次函数关系，可采用待定系数法求解：先设一次函数通式$y=kx+b(k≠0)$，再从图象中读取两组对应坐标$(28,60)$和$(32,40)$，代入通式得到二元一次方程组，解出k、b的值即可得到函数关系式。
(2) 利润问题的核心等量关系为：总利润=单台利润×月销售量。单台利润为销售单价减成本价即$(x-25)$万元，月销售量为(1)中求得的表达式，结合总利润250万元列一元二次方程求解，最后根据“销售单价不得高于32万元”的限制条件舍去不符合要求的解，得到最终结果。
【解析】
(1) 设月销售量$y$与销售单价$x$的函数关系式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将点$(28,60)$、$(32,40)$代入解析式得：
$\begin{cases}28k+b=60\\32k+b=40\end{cases}$
两式相减得$4k=-20$，解得$k=-5$，
将$k=-5$代入$28k+b=60$，得$-140+b=60$，解得$b=200$，
因此月销售量$y$与销售单价$x$的函数关系式为$\boldsymbol{y=-5x+200}$。
(2) 由题意得单台利润为$(x-25)$万元，若月利润为250万元，可列方程：
$(x-25)(-5x+200)=250$
整理得：$x^2-65x+1050=0$
因式分解得：$(x-30)(x-35)=0$
解得：$x_1=30$，$x_2=35$
已知销售单价不得高于32万元，$x=35$不符合要求，舍去。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-5x+200}$
(2) 该设备的销售单价应是30万元
【知识点】
待定系数法求解析式，利润问题，一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际销售场景考查一次函数与一元二次方程的综合应用，解题关键是从图象提取有效坐标求出函数式，再根据利润等量关系列方程，最后注意根据题目限制条件筛选解，考查学生的读图能力、建模能力和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知y与x是一次函数关系，可采用待定系数法求解：先设一次函数通式$y=kx+b(k≠0)$，再从图象中读取两组对应坐标$(28,60)$和$(32,40)$，代入通式得到二元一次方程组，解出k、b的值即可得到函数关系式。
(2) 利润问题的核心等量关系为：总利润=单台利润×月销售量。单台利润为销售单价减成本价即$(x-25)$万元，月销售量为(1)中求得的表达式，结合总利润250万元列一元二次方程求解，最后根据“销售单价不得高于32万元”的限制条件舍去不符合要求的解，得到最终结果。
【解析】
(1) 设月销售量$y$与销售单价$x$的函数关系式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将点$(28,60)$、$(32,40)$代入解析式得：
$\begin{cases}28k+b=60\\32k+b=40\end{cases}$
两式相减得$4k=-20$，解得$k=-5$，
将$k=-5$代入$28k+b=60$，得$-140+b=60$，解得$b=200$，
因此月销售量$y$与销售单价$x$的函数关系式为$\boldsymbol{y=-5x+200}$。
(2) 由题意得单台利润为$(x-25)$万元，若月利润为250万元，可列方程：
$(x-25)(-5x+200)=250$
整理得：$x^2-65x+1050=0$
因式分解得：$(x-30)(x-35)=0$
解得：$x_1=30$，$x_2=35$
已知销售单价不得高于32万元，$x=35$不符合要求，舍去。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-5x+200}$
(2) 该设备的销售单价应是30万元
【知识点】
待定系数法求解析式，利润问题，一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际销售场景考查一次函数与一元二次方程的综合应用，解题关键是从图象提取有效坐标求出函数式，再根据利润等量关系列方程，最后注意根据题目限制条件筛选解，考查学生的读图能力、建模能力和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.7
