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17. (9分)关于x的方程$3x^2 + mx -8=0$有一个根是$\frac{2}{3}$,求另一个根及m的值.
答案
解：设方程的另一个根为$t$。
对于一元二次方程$3x^2 + mx -8=0$，由一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之积：$\frac{2}{3} · t = \frac{-8}{3}$
解得：$t=-4$
再由两根之和：$\frac{2}{3} + t = -\frac{m}{3}$
将$t=-4$代入上式：
$\frac{2}{3} -4 = -\frac{m}{3}$
化简得：$-\frac{10}{3} = -\frac{m}{3}$
解得：$m=10$
答：方程的另一个根为$-4$，$m$的值为$10$。
对于一元二次方程$3x^2 + mx -8=0$，由一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之积：$\frac{2}{3} · t = \frac{-8}{3}$
解得：$t=-4$
再由两根之和：$\frac{2}{3} + t = -\frac{m}{3}$
将$t=-4$代入上式：
$\frac{2}{3} -4 = -\frac{m}{3}$
化简得：$-\frac{10}{3} = -\frac{m}{3}$
解得：$m=10$
答：方程的另一个根为$-4$，$m$的值为$10$。
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根，求另一个根和未知参数m，有两种解题思路：一是将已知根代入原方程先求出m的值，再解方程得到另一个根；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，第二种方法计算更简便。我们先设另一个根为t，首先根据“两根之积等于$\frac{c}{a}$”列方程求出t，再根据“两根之和等于$-\frac{b}{a}$”代入t的值即可求出m。
【解析】
设方程的另一个根为$t$。
对于一元二次方程$3x^2 + mx -8=0$，其中$a=3$，$b=m$，$c=-8$，由一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之积：$\frac{2}{3} · t = \frac{-8}{3}$
解得：$t=-4$
再由两根之和：$\frac{2}{3} + t = -\frac{m}{3}$
将$t=-4$代入上式：
$\frac{2}{3} -4 = -\frac{m}{3}$
化简得：$-\frac{10}{3} = -\frac{m}{3}$
解得：$m=10$
【答案】
方程的另一个根为$-4$，$m$的值为$10$。
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元一次方程的求解
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型基础应用，利用韦达定理解题可避免复杂的代入计算，提高解题效率，解题时要注意两根之和的公式带负号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程的一个根，求另一个根和未知参数m，有两种解题思路：一是将已知根代入原方程先求出m的值，再解方程得到另一个根；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，第二种方法计算更简便。我们先设另一个根为t，首先根据“两根之积等于$\frac{c}{a}$”列方程求出t，再根据“两根之和等于$-\frac{b}{a}$”代入t的值即可求出m。
【解析】
设方程的另一个根为$t$。
对于一元二次方程$3x^2 + mx -8=0$，其中$a=3$，$b=m$，$c=-8$，由一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之积：$\frac{2}{3} · t = \frac{-8}{3}$
解得：$t=-4$
再由两根之和：$\frac{2}{3} + t = -\frac{m}{3}$
将$t=-4$代入上式：
$\frac{2}{3} -4 = -\frac{m}{3}$
化简得：$-\frac{10}{3} = -\frac{m}{3}$
解得：$m=10$
【答案】
方程的另一个根为$-4$，$m$的值为$10$。
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元一次方程的求解
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型基础应用，利用韦达定理解题可避免复杂的代入计算，提高解题效率，解题时要注意两根之和的公式带负号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
18. (9分)按照下列要求设未知数,并列出方程.
(1)参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会?
(2)九年级毕业晚会时学生之间每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?
(3)建造一个面积是140 m²的长方形仓库,使其一边靠墙,墙长是16 m,在与墙平行的一边开一个2 m宽的门,现用砌32 m长的墙的材料来建仓库,求该仓库的长和宽分别为多少.
(1)参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会?
(2)九年级毕业晚会时学生之间每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?
(3)建造一个面积是140 m²的长方形仓库,使其一边靠墙,墙长是16 m,在与墙平行的一边开一个2 m宽的门,现用砌32 m长的墙的材料来建仓库,求该仓库的长和宽分别为多少.
答案
解：
(1) 设共有$x$人参加聚会。
根据题意，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=66$
(2) 设共有$x$名学生。
根据题意，列方程得：
$x(x-1)=90$
(3) 设仓库垂直于墙的一边的长度为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的一边的长度为$(32 + 2 - 2x)\ \mathrm{m}$，即$(34-2x)\ \mathrm{m}$。
由长方形面积为$140\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(34-2x)=140$
整理得$x^2-17x+70=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=10$。
当$x=7$时，$34-2x=20＞16$，超出墙的最大长度，不符合题意，舍去；
当$x=10$时，$34-2x=14＜16$，符合题意。
答：该仓库的长为14 m，宽为10 m。
(1) 设共有$x$人参加聚会。
根据题意，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=66$
(2) 设共有$x$名学生。
根据题意，列方程得：
$x(x-1)=90$
(3) 设仓库垂直于墙的一边的长度为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的一边的长度为$(32 + 2 - 2x)\ \mathrm{m}$，即$(34-2x)\ \mathrm{m}$。
由长方形面积为$140\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(34-2x)=140$
整理得$x^2-17x+70=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=10$。
当$x=7$时，$34-2x=20＞16$，超出墙的最大长度，不符合题意，舍去；
当$x=10$时，$34-2x=14＜16$，符合题意。
答：该仓库的长为14 m，宽为10 m。
解析
【分析】
(1) 握手属于单循环计数问题：设参加聚会的人数为$x$，每个人要和除自己外的$(x-1)$人握手，若直接计算$x(x-1)$会将每一次握手重复计算2次，因此总握手次数需要乘$\frac{1}{2}$，结合总握手66次即可列出方程。
(2) 互送照片属于双循环计数问题：设总人数为$x$，每个人要给除自己外的$(x-1)$人送1张照片，你送我和我送你是两次不同的赠送，无需除以2，结合总照片数90张即可列出方程。
(3) 几何应用问题：先设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，垂直于墙的边共有2条，共需砌$2x\ \mathrm{m}$的墙；与墙平行的一边有2m宽的门，因此平行边的实际长度=砌墙总材料长度+门的宽度-2条垂直边的长度，再结合矩形面积=长×宽列方程，求解后要验证平行边长度是否≤墙长16m，舍去不符合实际的解。
【解析】
(1) 设共有$x$人参加聚会。
根据题意，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=66$
(2) 设共有$x$名学生。
根据题意，列方程得：
$x(x-1)=90$
(3) 设仓库垂直于墙的一边的长度为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的一边的长度为$(32 + 2 - 2x)\ \mathrm{m}$，即$(34-2x)\ \mathrm{m}$。
由长方形面积为$140\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(34-2x)=140$
整理得$x^2-17x+70=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=10$。
当$x=7$时，$34-2x=20＞16$，超出墙的最大长度，不符合题意，舍去；
当$x=10$时，$34-2x=14＜16$，符合题意。
答：该仓库的长为14 m，宽为10 m。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}x(x-1)=66$
(2) $x(x-1)=90$
(3) 长为$14\ \mathrm{m}$，宽为$10\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 循环计数问题
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础常考题型，前两问重点考查单循环、双循环计数的逻辑区分，第三问考查几何场景下的方程建模，同时需要结合实际限制条件对方程的根进行取舍，能有效考查学生的建模能力和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.7
(1) 握手属于单循环计数问题：设参加聚会的人数为$x$，每个人要和除自己外的$(x-1)$人握手，若直接计算$x(x-1)$会将每一次握手重复计算2次，因此总握手次数需要乘$\frac{1}{2}$，结合总握手66次即可列出方程。
(2) 互送照片属于双循环计数问题：设总人数为$x$，每个人要给除自己外的$(x-1)$人送1张照片，你送我和我送你是两次不同的赠送，无需除以2，结合总照片数90张即可列出方程。
(3) 几何应用问题：先设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，垂直于墙的边共有2条，共需砌$2x\ \mathrm{m}$的墙；与墙平行的一边有2m宽的门，因此平行边的实际长度=砌墙总材料长度+门的宽度-2条垂直边的长度，再结合矩形面积=长×宽列方程，求解后要验证平行边长度是否≤墙长16m，舍去不符合实际的解。
【解析】
(1) 设共有$x$人参加聚会。
根据题意，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=66$
(2) 设共有$x$名学生。
根据题意，列方程得：
$x(x-1)=90$
(3) 设仓库垂直于墙的一边的长度为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的一边的长度为$(32 + 2 - 2x)\ \mathrm{m}$，即$(34-2x)\ \mathrm{m}$。
由长方形面积为$140\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(34-2x)=140$
整理得$x^2-17x+70=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=10$。
当$x=7$时，$34-2x=20＞16$，超出墙的最大长度，不符合题意，舍去；
当$x=10$时，$34-2x=14＜16$，符合题意。
答：该仓库的长为14 m，宽为10 m。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}x(x-1)=66$
(2) $x(x-1)=90$
(3) 长为$14\ \mathrm{m}$，宽为$10\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 循环计数问题
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础常考题型，前两问重点考查单循环、双循环计数的逻辑区分，第三问考查几何场景下的方程建模，同时需要结合实际限制条件对方程的根进行取舍，能有效考查学生的建模能力和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.7
