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9.已知$a,b,c$为常数,点$P(a,c)$在第二象限,则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况是（）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
答案
B
解析
【分析】要判断一元二次方程根的情况，核心是计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号。首先根据第二象限内点的坐标特征（横坐标小于0，纵坐标大于0），可以确定$a$和$c$的符号，进而得到$ac$的正负，再代入判别式就能判断$\Delta$的符号，从而得出根的情况。
【解析】
解：$\because$点$P(a,c)$在第二象限，
$\therefore a＜0$，$c＞0$，
$\therefore ac＜0$，即$-4ac＞0$，
关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，
又$\because b^2≥0$，$-4ac＞0$，
$\therefore \Delta = b^2-4ac ＞ 0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根。
故选：B。
【答案】B
【知识点】象限内点的坐标特征；一元二次方程根的判别式
【点评】本题属于基础综合题，结合平面直角坐标系和一元二次方程两个模块的基础知识点设计，解题的关键是先通过点的位置确定$a$、$c$的符号，再代入判别式判断正负，考查学生对基础知识点的灵活应用能力。
【难度系数】0.8
【解析】
解：$\because$点$P(a,c)$在第二象限，
$\therefore a＜0$，$c＞0$，
$\therefore ac＜0$，即$-4ac＞0$，
关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，
又$\because b^2≥0$，$-4ac＞0$，
$\therefore \Delta = b^2-4ac ＞ 0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根。
故选：B。
【答案】B
【知识点】象限内点的坐标特征；一元二次方程根的判别式
【点评】本题属于基础综合题，结合平面直角坐标系和一元二次方程两个模块的基础知识点设计，解题的关键是先通过点的位置确定$a$、$c$的符号，再代入判别式判断正负，考查学生对基础知识点的灵活应用能力。
【难度系数】0.8
10. 若$α,β$为方程$2x^2 -5x -1=0$的两个实数根，则$2α^2 + 3αβ +5β$的值为（）
A.$-13$
B.$12$
C.$14$
D.$15$
A.$-13$
B.$12$
C.$14$
D.$15$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将含α²的高次项降次转化为一次式，代入待求代数式后，可将代数式整理为含α+β和αβ的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系求出两根之和、两根之积，最后整体代入计算即可，不需要单独求解α、β的具体值，能简化运算。
【解析】
解：
∵α是方程$2x^2 -5x -1=0$的实数根，
∴将x=α代入方程得：$2α^2 -5α -1=0$，即$2α^2=5α+1$。
将$2α^2=5α+1$代入$2α^2 + 3αβ +5β$得：
原式$=5α+1 +3αβ +5β = 5(α+β) + 3αβ +1$。
又
∵α,β为方程$2x^2 -5x -1=0$的两个实数根，根据根与系数的关系：
$α+β = \frac{5}{2}$，$αβ = -\frac{1}{2}$。
将上述值代入得：
原式$=5×\frac{5}{2} + 3×(-\frac{1}{2}) +1 = \frac{25}{2} - \frac{3}{2} +1 = 11 +1 =12$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的常规应用题型，核心解题思路是通过根的定义降次，结合韦达定理整体代入计算，避免了直接求根的繁琐运算，侧重考察整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将含α²的高次项降次转化为一次式，代入待求代数式后，可将代数式整理为含α+β和αβ的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系求出两根之和、两根之积，最后整体代入计算即可，不需要单独求解α、β的具体值，能简化运算。
【解析】
解：
∵α是方程$2x^2 -5x -1=0$的实数根，
∴将x=α代入方程得：$2α^2 -5α -1=0$，即$2α^2=5α+1$。
将$2α^2=5α+1$代入$2α^2 + 3αβ +5β$得：
原式$=5α+1 +3αβ +5β = 5(α+β) + 3αβ +1$。
又
∵α,β为方程$2x^2 -5x -1=0$的两个实数根，根据根与系数的关系：
$α+β = \frac{5}{2}$，$αβ = -\frac{1}{2}$。
将上述值代入得：
原式$=5×\frac{5}{2} + 3×(-\frac{1}{2}) +1 = \frac{25}{2} - \frac{3}{2} +1 = 11 +1 =12$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的常规应用题型，核心解题思路是通过根的定义降次，结合韦达定理整体代入计算，避免了直接求根的繁琐运算，侧重考察整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. (2025·南京)设方程$x^2 + 2x -9=0$的正根介于整数$m$与$m+1$之间,则$m=$.
11. (2025·南京)设方程$x^2 + 2x -9=0$的正根介于整数$m$与$m+1$之间,则$m=$.
答案
解：对方程$x^2+2x-9=0$配方，得
$(x+1)^2=10$，
解得$x_1=-1+\sqrt{10}$，$x_2=-1-\sqrt{10}$。
因此方程的正根为$x=-1+\sqrt{10}$。
∵$3＜\sqrt{10}＜4$，
∴$2＜-1+\sqrt{10}＜3$，
即该正根介于整数2和3之间，
∴$m=2$。
$(x+1)^2=10$，
解得$x_1=-1+\sqrt{10}$，$x_2=-1-\sqrt{10}$。
因此方程的正根为$x=-1+\sqrt{10}$。
∵$3＜\sqrt{10}＜4$，
∴$2＜-1+\sqrt{10}＜3$，
即该正根介于整数2和3之间，
∴$m=2$。
解析
【分析】
要确定正根所在的整数区间，首先需要求出一元二次方程的根，筛选出正根；再估算正根中含有的无理数的取值范围，进而推导正根的取值范围，最终确定整数m的值。
【解析】
对方程$x^2 + 2x -9=0$配方，得：
$(x+1)^2=10$，
开方解得$x_1=-1+\sqrt{10}$，$x_2=-1-\sqrt{10}$。
其中正根为$x=-1+\sqrt{10}$，
∵$3＜\sqrt{10}＜4$，
不等式两边同时减1得：$2＜-1+\sqrt{10}＜3$，
即该正根介于整数2和3之间，
∴$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的解法；无理数的大小估算
【点评】
本题属于基础题，综合考查一元二次方程的求解和无理数的估算能力，解题核心是先求出方程的正根，再准确估算无理数的范围即可得到结果。
【难度系数】
0.8
要确定正根所在的整数区间，首先需要求出一元二次方程的根，筛选出正根；再估算正根中含有的无理数的取值范围，进而推导正根的取值范围，最终确定整数m的值。
【解析】
对方程$x^2 + 2x -9=0$配方，得：
$(x+1)^2=10$，
开方解得$x_1=-1+\sqrt{10}$，$x_2=-1-\sqrt{10}$。
其中正根为$x=-1+\sqrt{10}$，
∵$3＜\sqrt{10}＜4$，
不等式两边同时减1得：$2＜-1+\sqrt{10}＜3$，
即该正根介于整数2和3之间，
∴$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的解法；无理数的大小估算
【点评】
本题属于基础题，综合考查一元二次方程的求解和无理数的估算能力，解题核心是先求出方程的正根，再准确估算无理数的范围即可得到结果。
【难度系数】
0.8
12. 若关于x的一元二次方程$(k-1)x^2 -4x -5=0$没有实数根，则k的取值范围是.
答案
解：
∵ 关于$x$的方程$(k-1)x^2 -4x -5=0$是一元二次方程，且没有实数根
∴ 二次项系数不为0，即$k-1 ≠ 0$，得$k ≠ 1$
同时一元二次方程无实根要求判别式$\Delta ＜ 0$，其中$a=k-1$，$b=-4$，$c=-5$
代入判别式公式：
$\begin{aligned}\Delta &= (-4)^2 - 4×(k-1)×(-5) \\&=16 + 20(k-1) \\&=20k - 4 ＜ 0\end{aligned}$
解得$k ＜ \frac{1}{5}$
$k ＜ \frac{1}{5}$时自动满足$k ≠ 1$
∴ $k$的取值范围是$\boldsymbol{k ＜ \frac{1}{5}}$
∵ 关于$x$的方程$(k-1)x^2 -4x -5=0$是一元二次方程，且没有实数根
∴ 二次项系数不为0，即$k-1 ≠ 0$，得$k ≠ 1$
同时一元二次方程无实根要求判别式$\Delta ＜ 0$，其中$a=k-1$，$b=-4$，$c=-5$
代入判别式公式：
$\begin{aligned}\Delta &= (-4)^2 - 4×(k-1)×(-5) \\&=16 + 20(k-1) \\&=20k - 4 ＜ 0\end{aligned}$
解得$k ＜ \frac{1}{5}$
$k ＜ \frac{1}{5}$时自动满足$k ≠ 1$
∴ $k$的取值范围是$\boldsymbol{k ＜ \frac{1}{5}}$
解析
【分析】
解题时先抓住题干两个核心条件：一是该方程为一元二次方程，二是方程没有实数根。第一步，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，得到k的第一个限制条件；第二步，一元二次方程无实数根等价于根的判别式Δ＜0，将方程对应系数代入判别式公式，得到关于k的不等式；第三步，解不等式后结合之前的限制条件，取公共部分即为k的取值范围。
【解析】
∵ 关于x的方程$(k-1)x^2 -4x -5=0$是一元二次方程，且没有实数根
∴ 首先满足二次项系数不为0，即$k-1 ≠ 0$，解得$k ≠ 1$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，无实根的条件为判别式$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$，本题中$a=k-1$，$b=-4$，$c=-5$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta &= (-4)^2 - 4×(k-1)×(-5) \\&=16 + 20(k-1) \\&=20k - 4 \end{aligned}$
令$\Delta ＜ 0$，即$20k -4 ＜ 0$，解得$k ＜ \frac{1}{5}$
由于$k ＜ \frac{1}{5}$已经满足$k ≠ 1$的条件
∴ k的取值范围是$k ＜ \frac{1}{5}$
【答案】
$k ＜ \dfrac{1}{5}$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式的常规应用题型，解题时需注意先明确一元二次方程二次项系数不为0的前提，再结合判别式的符号列不等式求解，避免忽略前提条件出现解题疏漏。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住题干两个核心条件：一是该方程为一元二次方程，二是方程没有实数根。第一步，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，得到k的第一个限制条件；第二步，一元二次方程无实数根等价于根的判别式Δ＜0，将方程对应系数代入判别式公式，得到关于k的不等式；第三步，解不等式后结合之前的限制条件，取公共部分即为k的取值范围。
【解析】
∵ 关于x的方程$(k-1)x^2 -4x -5=0$是一元二次方程，且没有实数根
∴ 首先满足二次项系数不为0，即$k-1 ≠ 0$，解得$k ≠ 1$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，无实根的条件为判别式$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$，本题中$a=k-1$，$b=-4$，$c=-5$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta &= (-4)^2 - 4×(k-1)×(-5) \\&=16 + 20(k-1) \\&=20k - 4 \end{aligned}$
令$\Delta ＜ 0$，即$20k -4 ＜ 0$，解得$k ＜ \frac{1}{5}$
由于$k ＜ \frac{1}{5}$已经满足$k ≠ 1$的条件
∴ k的取值范围是$k ＜ \frac{1}{5}$
【答案】
$k ＜ \dfrac{1}{5}$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式的常规应用题型，解题时需注意先明确一元二次方程二次项系数不为0的前提，再结合判别式的符号列不等式求解，避免忽略前提条件出现解题疏漏。
【难度系数】
0.7
13. 经过两次连续降价,某药品销售单价由原来的50元降到32元,设该药品平均每次降价的百分率为x,则根据题意可列方程为.
答案
解：第一次降价后该药品的单价为$50(1-x)$元，
第二次降价后该药品的单价为$50(1-x)·(1-x)=50(1-x)^2$元，
结合最终单价为32元，可列方程：
$50(1-x)^2=32$
第二次降价后该药品的单价为$50(1-x)·(1-x)=50(1-x)^2$元，
结合最终单价为32元，可列方程：
$50(1-x)^2=32$
解析
【分析】
这是平均降价率的实际应用问题，解题时先明确降价的计算逻辑：降价后的价格=降价前的价格×(1-降价百分率)。首先计算第一次降价后的药品单价，再以第一次降价后的单价为基数计算第二次降价后的单价，最后结合两次降价后单价为32元的等量关系，就能列出对应方程。
【解析】
第一次降价是在原价50元的基础上降价，降价后单价为：$50(1-x)$元；
第二次降价是在第一次降价后的单价基础上再降价$x$，因此第二次降价后的单价为：$50(1-x) · (1-x) = 50(1-x)^2$元；
已知两次降价后单价为32元，因此可列方程：$50(1-x)^2 = 32$。
【答案】
$50(1-x)^2=32$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
【点评】
本题属于平均变化率类基础题型，核心是明确每次变化的计算基数，即后一次变化是在前一次变化后的结果基础上进行的，熟练掌握平均变化率的公式模型即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这是平均降价率的实际应用问题，解题时先明确降价的计算逻辑：降价后的价格=降价前的价格×(1-降价百分率)。首先计算第一次降价后的药品单价，再以第一次降价后的单价为基数计算第二次降价后的单价，最后结合两次降价后单价为32元的等量关系，就能列出对应方程。
【解析】
第一次降价是在原价50元的基础上降价，降价后单价为：$50(1-x)$元；
第二次降价是在第一次降价后的单价基础上再降价$x$，因此第二次降价后的单价为：$50(1-x) · (1-x) = 50(1-x)^2$元；
已知两次降价后单价为32元，因此可列方程：$50(1-x)^2 = 32$。
【答案】
$50(1-x)^2=32$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
【点评】
本题属于平均变化率类基础题型，核心是明确每次变化的计算基数，即后一次变化是在前一次变化后的结果基础上进行的，熟练掌握平均变化率的公式模型即可快速解题。
【难度系数】
0.8
14.已知方程$x^2+bx+3=0$的一个根为$\sqrt{5}+\sqrt{2}$,则方程的另一个根为________.
答案
$\sqrt{5}-\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题是已知一元二次方程的一个根求另一个根，可优先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需代入求参数b再解方程，简化计算步骤。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，本题中二次项系数$a=1$，常数项$c=3$，因此两根乘积为3，用乘积除以已知根，再做分母有理化即可得到另一个根。
【解析】
设方程的另一个根为$x_1$，
对于一元二次方程$x^2+bx+3=0$，由根与系数的关系可知：
$x_1·(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = \frac{3}{1} = 3$
因此$x_1 = \frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$
对分式进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}-\sqrt{2}$：
$x_1 = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}$
根据平方差公式，分母$=(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$
因此$x_1 = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3} = \sqrt{5}-\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{5}-\sqrt{2}$
【知识点】
根与系数的关系、分母有理化
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的灵活应用，选择用两根之积求解比代入已知根求参数再解方程的方法更简便，能有效减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题是已知一元二次方程的一个根求另一个根，可优先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需代入求参数b再解方程，简化计算步骤。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，本题中二次项系数$a=1$，常数项$c=3$，因此两根乘积为3，用乘积除以已知根，再做分母有理化即可得到另一个根。
【解析】
设方程的另一个根为$x_1$，
对于一元二次方程$x^2+bx+3=0$，由根与系数的关系可知：
$x_1·(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = \frac{3}{1} = 3$
因此$x_1 = \frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$
对分式进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}-\sqrt{2}$：
$x_1 = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}$
根据平方差公式，分母$=(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$
因此$x_1 = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3} = \sqrt{5}-\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{5}-\sqrt{2}$
【知识点】
根与系数的关系、分母有理化
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的灵活应用，选择用两根之积求解比代入已知根求参数再解方程的方法更简便，能有效减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
15. (2025·泸州)若一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的两根为$α,β$,则$2α^2 -3α +3β$的值为.
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，发现含α的二次项，结合α是已知一元二次方程的根，可利用方程根的定义将二次项降次，消去二次项后整理代数式，可转化为含两根之和的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，代入计算即可得到结果，不需要直接求解方程的根，能简化计算。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的根，
∴ 把$x=α$代入方程得：$2α^2 -6α -1=0$，即$2α^2=6α+1$。
将$2α^2=6α+1$代入所求代数式：
$2α^2 -3α +3β$
$=6α+1 -3α +3β$
$=3α+3β +1$
$=3(α+β)+1$
又
∵ α、β是方程$2x^2 -6x -1=0$的两根，根据根与系数的关系：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{2}=3$
将$α+β=3$代入上式得：
$3×3 +1=10$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题考查一元二次方程相关知识的综合运用，解题核心是通过根的定义对高次项降次，结合根与系数的关系整体代入求值，避免了直接求解根的繁琐运算，是代数求值类的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察所求代数式的结构，发现含α的二次项，结合α是已知一元二次方程的根，可利用方程根的定义将二次项降次，消去二次项后整理代数式，可转化为含两根之和的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，代入计算即可得到结果，不需要直接求解方程的根，能简化计算。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的根，
∴ 把$x=α$代入方程得：$2α^2 -6α -1=0$，即$2α^2=6α+1$。
将$2α^2=6α+1$代入所求代数式：
$2α^2 -3α +3β$
$=6α+1 -3α +3β$
$=3α+3β +1$
$=3(α+β)+1$
又
∵ α、β是方程$2x^2 -6x -1=0$的两根，根据根与系数的关系：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{2}=3$
将$α+β=3$代入上式得：
$3×3 +1=10$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题考查一元二次方程相关知识的综合运用，解题核心是通过根的定义对高次项降次，结合根与系数的关系整体代入求值，避免了直接求解根的繁琐运算，是代数求值类的典型题型。
【难度系数】
0.7
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16.(8分)解方程:
(1)$x^2 +4x -1=0$;
(2)$2(x-3)^2 =x^2 -9$.
16.(8分)解方程:
(1)$x^2 +4x -1=0$;
(2)$2(x-3)^2 =x^2 -9$.
答案
解：
(1) 移项，得 $x^2 + 4x = 1$，
配方，两边同时加4，得 $x^2 + 4x + 4 = 1 + 4$，
即 $(x+2)^2 = 5$，
开平方，得 $x+2 = \pm\sqrt{5}$，
解得 $x_1 = -2 + \sqrt{5}$，$x_2 = -2 - \sqrt{5}$。
(2) 原方程变形为 $2(x-3)^2 = (x+3)(x-3)$，
移项，得 $2(x-3)^2 - (x+3)(x-3) = 0$，
提取公因式 $(x-3)$，得 $(x-3)[2(x-3)-(x+3)] = 0$，
化简括号内的式子，得 $(x-3)(x-9) = 0$，
则 $x-3=0$ 或 $x-9=0$，
解得 $x_1 = 3$，$x_2 = 9$。
(1) 移项，得 $x^2 + 4x = 1$，
配方，两边同时加4，得 $x^2 + 4x + 4 = 1 + 4$，
即 $(x+2)^2 = 5$，
开平方，得 $x+2 = \pm\sqrt{5}$，
解得 $x_1 = -2 + \sqrt{5}$，$x_2 = -2 - \sqrt{5}$。
(2) 原方程变形为 $2(x-3)^2 = (x+3)(x-3)$，
移项，得 $2(x-3)^2 - (x+3)(x-3) = 0$，
提取公因式 $(x-3)$，得 $(x-3)[2(x-3)-(x+3)] = 0$，
化简括号内的式子，得 $(x-3)(x-9) = 0$，
则 $x-3=0$ 或 $x-9=0$，
解得 $x_1 = 3$，$x_2 = 9$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，需根据两个方程的特征选择简便解法：
(1) 第一个方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，优先选择配方法求解：先将常数项移到方程右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方完成配方，之后开平方转化为一元一次方程即可求解；
(2) 第二个方程右侧可利用平方差公式因式分解，且左右两侧含有公因式$(x-3)$，优先选择因式分解法求解：先将右侧因式分解，再移项提取公因式，将方程转化为两个一元一次方程的乘积为0的形式，进而求解，注意不能直接在方程两边同时除以$(x-3)$，否则会丢失$x=3$这个根。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 + 4x = 1$，
配方，两边同时加4，得 $x^2 + 4x + 4 = 1 + 4$，
即 $(x+2)^2 = 5$，
开平方，得 $x+2 = \pm\sqrt{5}$，
解得 $x_1 = -2 + \sqrt{5}$，$x_2 = -2 - \sqrt{5}$。
(2) 原方程变形为 $2(x-3)^2 = (x+3)(x-3)$，
移项，得 $2(x-3)^2 - (x+3)(x-3) = 0$，
提取公因式 $(x-3)$，得 $(x-3)[2(x-3)-(x+3)] = 0$，
化简括号内的式子，得 $(x-3)(x-9) = 0$，
则 $x-3=0$ 或 $x-9=0$，
解得 $x_1 = 3$，$x_2 = 9$。
【答案】
(1) $x_1 = -2 + \sqrt{5}$，$x_2 = -2 - \sqrt{5}$；
(2) $x_1 = 3$，$x_2 = 9$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是根据方程的结构特征选择简便的求解方法，能有效提升解题效率，第二问求解时需注意不要随意约去含未知数的公因式，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的求解，需根据两个方程的特征选择简便解法：
(1) 第一个方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，优先选择配方法求解：先将常数项移到方程右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方完成配方，之后开平方转化为一元一次方程即可求解；
(2) 第二个方程右侧可利用平方差公式因式分解，且左右两侧含有公因式$(x-3)$，优先选择因式分解法求解：先将右侧因式分解，再移项提取公因式，将方程转化为两个一元一次方程的乘积为0的形式，进而求解，注意不能直接在方程两边同时除以$(x-3)$，否则会丢失$x=3$这个根。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 + 4x = 1$，
配方，两边同时加4，得 $x^2 + 4x + 4 = 1 + 4$，
即 $(x+2)^2 = 5$，
开平方，得 $x+2 = \pm\sqrt{5}$，
解得 $x_1 = -2 + \sqrt{5}$，$x_2 = -2 - \sqrt{5}$。
(2) 原方程变形为 $2(x-3)^2 = (x+3)(x-3)$，
移项，得 $2(x-3)^2 - (x+3)(x-3) = 0$，
提取公因式 $(x-3)$，得 $(x-3)[2(x-3)-(x+3)] = 0$，
化简括号内的式子，得 $(x-3)(x-9) = 0$，
则 $x-3=0$ 或 $x-9=0$，
解得 $x_1 = 3$，$x_2 = 9$。
【答案】
(1) $x_1 = -2 + \sqrt{5}$，$x_2 = -2 - \sqrt{5}$；
(2) $x_1 = 3$，$x_2 = 9$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是根据方程的结构特征选择简便的求解方法，能有效提升解题效率，第二问求解时需注意不要随意约去含未知数的公因式，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.8
