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23. (11分)“我运动,我健康,我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高,某市参加健身运动的人数逐年增多,从2023年的32万人增加到2025年的50万人.
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率.
(2)为支持市民的健身运动,市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定:若购买不超过100套,每套售价1 600元;若超过100套,每增加10套,售价每套可降低40元.但最低售价不得少于1 000元.已知市政府向该公司支付货款24万元,求购买这种健身器材的套数.
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率.
(2)为支持市民的健身运动,市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定:若购买不超过100套,每套售价1 600元;若超过100套,每增加10套,售价每套可降低40元.但最低售价不得少于1 000元.已知市政府向该公司支付货款24万元,求购买这种健身器材的套数.
答案
解：
(1) 设该市参加健身运动人数的年均增长率为$x$，
根据题意得：
$32(1+x)^2 = 50$
解得：$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
(2) 设购买这种健身器材的套数为$x$。
因为$100×1600=160000＜240000$，所以购买套数超过100套。
当售价恰好为最低限价1000元时，对应购买套数为：
$100+\frac{1600-1000}{40}×10=250$
此时总货款为$250×1000=250000＞240000$，因此购买套数小于250套。
此时每套售价为$1600-\frac{x-100}{10}×40$元，根据题意列方程：
$x(1600-\frac{x-100}{10}×40)=240000$
整理得：
$x^2-500x+60000=0$
解得：$x_1=200$，$x_2=300$。
因为$x＜250$，所以$x=300$不符合题意，舍去。
答：(1) 该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；(2) 购买这种健身器材的套数为200套。
(1) 设该市参加健身运动人数的年均增长率为$x$，
根据题意得：
$32(1+x)^2 = 50$
解得：$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
(2) 设购买这种健身器材的套数为$x$。
因为$100×1600=160000＜240000$，所以购买套数超过100套。
当售价恰好为最低限价1000元时，对应购买套数为：
$100+\frac{1600-1000}{40}×10=250$
此时总货款为$250×1000=250000＞240000$，因此购买套数小于250套。
此时每套售价为$1600-\frac{x-100}{10}×40$元，根据题意列方程：
$x(1600-\frac{x-100}{10}×40)=240000$
整理得：
$x^2-500x+60000=0$
解得：$x_1=200$，$x_2=300$。
因为$x＜250$，所以$x=300$不符合题意，舍去。
答：(1) 该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；(2) 购买这种健身器材的套数为200套。
解析
【分析】
（1）第一问属于增长率类应用题，可套用增长率公式求解：初始量×(1+年均增长率)^增长年数=最终量。已知2023年人数为初始量32万人，2025年为最终量50万人，间隔2年，设年均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解，结合增长率为正数的实际意义舍去不符合的根即可。
（2）第二问为阶梯定价类应用题，首先先判断购买套数的范围：先计算购买100套的总费用，和实际支付的24万元对比，确定购买套数超过100套；再计算售价为最低限价1000元时对应的购买套数和总费用，和24万元对比，确定套数小于250套；接着根据“总货款=套数×每套售价”列方程，求解后结合套数的取值范围舍去不符合的根即可。
【解析】
(1) 设该市参加健身运动人数的年均增长率为$x$，
根据题意得：
$32(1+x)^2 = 50$
解得：$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
(2) 设购买这种健身器材的套数为$x$。
首先计算购买100套的总费用：$100×1600=160000$元$=16$万元$＜24$万元，因此购买套数超过100套。
再计算售价恰好为最低限价1000元时对应的购买套数：
$100+\frac{1600-1000}{40}×10=250$（套）
此时总货款为$250×1000=250000$元$=25$万元$＞24$万元，因此购买套数小于250套，此时每套售价为$(1600-\frac{x-100}{10}×40)$元。
根据总货款为24万元列方程：
$x(1600-\frac{x-100}{10}×40)=240000$
整理得：
$x^2-500x+60000=0$
解得：$x_1=200$，$x_2=300$。
因为$x＜250$，所以$x=300$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) 该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
(2) 购买这种健身器材的套数为200套。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 增长率问题
3. 分段计费问题
【点评】
本题结合生活实际考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系列方程，同时需要结合实际场景对方程的根进行取舍，避免忽略题目中的限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于增长率类应用题，可套用增长率公式求解：初始量×(1+年均增长率)^增长年数=最终量。已知2023年人数为初始量32万人，2025年为最终量50万人，间隔2年，设年均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解，结合增长率为正数的实际意义舍去不符合的根即可。
（2）第二问为阶梯定价类应用题，首先先判断购买套数的范围：先计算购买100套的总费用，和实际支付的24万元对比，确定购买套数超过100套；再计算售价为最低限价1000元时对应的购买套数和总费用，和24万元对比，确定套数小于250套；接着根据“总货款=套数×每套售价”列方程，求解后结合套数的取值范围舍去不符合的根即可。
【解析】
(1) 设该市参加健身运动人数的年均增长率为$x$，
根据题意得：
$32(1+x)^2 = 50$
解得：$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
(2) 设购买这种健身器材的套数为$x$。
首先计算购买100套的总费用：$100×1600=160000$元$=16$万元$＜24$万元，因此购买套数超过100套。
再计算售价恰好为最低限价1000元时对应的购买套数：
$100+\frac{1600-1000}{40}×10=250$（套）
此时总货款为$250×1000=250000$元$=25$万元$＞24$万元，因此购买套数小于250套，此时每套售价为$(1600-\frac{x-100}{10}×40)$元。
根据总货款为24万元列方程：
$x(1600-\frac{x-100}{10}×40)=240000$
整理得：
$x^2-500x+60000=0$
解得：$x_1=200$，$x_2=300$。
因为$x＜250$，所以$x=300$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) 该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
(2) 购买这种健身器材的套数为200套。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 增长率问题
3. 分段计费问题
【点评】
本题结合生活实际考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系列方程，同时需要结合实际场景对方程的根进行取舍，避免忽略题目中的限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
