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1. 下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁,其中是相似图形的为 ()
A.甲和乙
B.乙和丁
C.甲和丙
D.甲和丁
A.甲和乙
B.乙和丁
C.甲和丙
D.甲和丁
答案
B
解析
【分析】
要判断两个图形是否为相似图形，需依据相似多边形的判定条件：对应角相等，对应边成比例，两个条件需同时满足。解题时首先结合网格特征，利用勾股定理分别计算四个阴影图形各边的长度，再逐一对比选项中的两组图形，验证其对应角是否相等、对应边是否成比例，即可得出结论。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，相似多边形需同时满足对应角相等、对应边成比例：
1. 观察甲、丙：二者各边的倾斜程度不同，对应角不相等，因此不相似，排除C选项；
2. 观察甲和乙、甲和丁：甲的边多为斜率为±1的线段，乙、丁的边倾斜程度和甲不同，对应角不相等，排除A、D选项；
3. 观察乙和丁：二者对应边的倾斜程度完全相同，说明对应角相等；计算对应边长度可得，乙的各边和丁的对应边的比值均为2:3，满足对应边成比例，因此乙和丁是相似图形。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相似图形的判定、勾股定理的应用、网格线段长度计算
【点评】
本题围绕相似图形的判定设置，需要结合网格特征分析图形的角和边的关系，既考查了对相似图形判定条件的理解，也考查了利用勾股定理计算网格中线段长度的能力，解题时注意不要忽略对应角相等或对应边成比例任意一个条件。
【难度系数】
0.6
要判断两个图形是否为相似图形，需依据相似多边形的判定条件：对应角相等，对应边成比例，两个条件需同时满足。解题时首先结合网格特征，利用勾股定理分别计算四个阴影图形各边的长度，再逐一对比选项中的两组图形，验证其对应角是否相等、对应边是否成比例，即可得出结论。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，相似多边形需同时满足对应角相等、对应边成比例：
1. 观察甲、丙：二者各边的倾斜程度不同，对应角不相等，因此不相似，排除C选项；
2. 观察甲和乙、甲和丁：甲的边多为斜率为±1的线段，乙、丁的边倾斜程度和甲不同，对应角不相等，排除A、D选项；
3. 观察乙和丁：二者对应边的倾斜程度完全相同，说明对应角相等；计算对应边长度可得，乙的各边和丁的对应边的比值均为2:3，满足对应边成比例，因此乙和丁是相似图形。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相似图形的判定、勾股定理的应用、网格线段长度计算
【点评】
本题围绕相似图形的判定设置，需要结合网格特征分析图形的角和边的关系，既考查了对相似图形判定条件的理解，也考查了利用勾股定理计算网格中线段长度的能力，解题时注意不要忽略对应角相等或对应边成比例任意一个条件。
【难度系数】
0.6
2.（2023·达州）如图2，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 cm.（结果保留根号）
答案
$\boldsymbol{80\sqrt{5}-160}$
解析
【分析】
解题需先明确黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，若较长部分与全长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，该点即为线段的黄金分割点。解题步骤如下：1.根据C是靠近B的黄金分割点，确定较长线段为AC，可得$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$；2.根据D是靠近A的黄金分割点，确定较长线段为BD，可得$BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$；3.结合线段和差关系$AC+BD=AB+CD$，变形后代入数值计算即可得到CD的长度。
【解析】
已知$AB=80\ \mathrm{cm}$，
∵ 点C是靠近点B的黄金分割点，AC为较长线段，
∴ $AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×80=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
同理，点D是靠近点A的黄金分割点，BD为较长线段，
∴ $BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
由线段和差关系可得：$AC+BD=(AD+CD)+(CD+BC)=AB+CD$，
变形得$CD=AC+BD-AB$，代入数值：
$\begin{aligned}CD&=40(\sqrt{5}-1)+40(\sqrt{5}-1)-80\\&=80(\sqrt{5}-1)-80\\&=80\sqrt{5}-80-80\\&=80\sqrt{5}-160\end{aligned}$
【答案】
$80\sqrt{5}-160$
【知识点】
黄金分割的定义，线段的和差计算
【点评】
本题是黄金分割定义的实际应用类题型，解题核心是根据黄金分割点的位置准确判断对应的较长线段，再结合线段和差关系列式计算，注意区分靠近不同端点时较长线段的对应关系，避免混淆出错。
【难度系数】
0.6
解题需先明确黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，若较长部分与全长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，该点即为线段的黄金分割点。解题步骤如下：1.根据C是靠近B的黄金分割点，确定较长线段为AC，可得$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$；2.根据D是靠近A的黄金分割点，确定较长线段为BD，可得$BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$；3.结合线段和差关系$AC+BD=AB+CD$，变形后代入数值计算即可得到CD的长度。
【解析】
已知$AB=80\ \mathrm{cm}$，
∵ 点C是靠近点B的黄金分割点，AC为较长线段，
∴ $AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×80=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
同理，点D是靠近点A的黄金分割点，BD为较长线段，
∴ $BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
由线段和差关系可得：$AC+BD=(AD+CD)+(CD+BC)=AB+CD$，
变形得$CD=AC+BD-AB$，代入数值：
$\begin{aligned}CD&=40(\sqrt{5}-1)+40(\sqrt{5}-1)-80\\&=80(\sqrt{5}-1)-80\\&=80\sqrt{5}-80-80\\&=80\sqrt{5}-160\end{aligned}$
【答案】
$80\sqrt{5}-160$
【知识点】
黄金分割的定义，线段的和差计算
【点评】
本题是黄金分割定义的实际应用类题型，解题核心是根据黄金分割点的位置准确判断对应的较长线段，再结合线段和差关系列式计算，注意区分靠近不同端点时较长线段的对应关系，避免混淆出错。
【难度系数】
0.6
3. 若$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}=\frac{1}{2}(a≠c)$，则$\frac{b-d}{a-c}=$.
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
解析
【分析】
本题是已知多个比值相等求新比值的题型，可从两种思路入手：①设参数法：根据已知的比值，将分子用对应分母乘比值表示，再代入所求代数式化简即可；②等比性质法：利用等比性质直接求解，注意解题前先确认所求式子的分母不为0，本题已给出a≠c，满足分母不为0的条件。
【解析】
方法一（设参数法）：
∵ $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}=\frac{1}{2}$
∴ $b=\frac{1}{2}a$，$d=\frac{1}{2}c$
又
∵ $a≠c$，
∴ $a-c≠0$
将$b、d$代入$\frac{b-d}{a-c}$得：
$\frac{b-d}{a-c}=\frac{\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}c}{a-c}=\frac{\frac{1}{2}(a-c)}{a-c}=\frac{1}{2}$
方法二（等比性质法）：
已知$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}=\frac{1}{2}$，且$a≠c$，即$a-c≠0$
根据等比性质：若$\frac{m}{n}=\frac{p}{q}=k$，且$n-q≠0$，则$\frac{m-p}{n-q}=k$
可得$\frac{b-d}{a-c}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
比例的基本性质、等比性质
【点评】
本题属于比例相关的基础题型，两种解题方法中设参数法适用范围更广，更容易理解，等比性质解题更快捷，使用时要注意必须满足分母不为0的前提条件。
【难度系数】
0.8
本题是已知多个比值相等求新比值的题型，可从两种思路入手：①设参数法：根据已知的比值，将分子用对应分母乘比值表示，再代入所求代数式化简即可；②等比性质法：利用等比性质直接求解，注意解题前先确认所求式子的分母不为0，本题已给出a≠c，满足分母不为0的条件。
【解析】
方法一（设参数法）：
∵ $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}=\frac{1}{2}$
∴ $b=\frac{1}{2}a$，$d=\frac{1}{2}c$
又
∵ $a≠c$，
∴ $a-c≠0$
将$b、d$代入$\frac{b-d}{a-c}$得：
$\frac{b-d}{a-c}=\frac{\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}c}{a-c}=\frac{\frac{1}{2}(a-c)}{a-c}=\frac{1}{2}$
方法二（等比性质法）：
已知$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}=\frac{1}{2}$，且$a≠c$，即$a-c≠0$
根据等比性质：若$\frac{m}{n}=\frac{p}{q}=k$，且$n-q≠0$，则$\frac{m-p}{n-q}=k$
可得$\frac{b-d}{a-c}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
比例的基本性质、等比性质
【点评】
本题属于比例相关的基础题型，两种解题方法中设参数法适用范围更广，更容易理解，等比性质解题更快捷，使用时要注意必须满足分母不为0的前提条件。
【难度系数】
0.8
4. 如图3,四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$.
(1)$α=$,它们的相似比是.
(2)求边$x,y$的长度.
(1)$α=$,它们的相似比是.
(2)求边$x,y$的长度.
答案
(1) $\boldsymbol{83°}$，$\boldsymbol{\frac{3}{2}(或3:2)}$
(2) $\boldsymbol{x=12}$，$\boldsymbol{y=\frac{33}{2}}$
(2) $\boldsymbol{x=12}$，$\boldsymbol{y=\frac{33}{2}}$
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要用到相似多边形的相关性质：首先观察两个相似四边形的对应边，AD=9、A'D'=6是一组对应边，可先求出相似比；再根据相似多边形对应角相等，得到四边形A'B'C'D'中除α外的三个内角度数，结合四边形内角和为360°就能求出α；第二问求x、y时，利用相似多边形对应边成比例，代入已知边长列等式计算即可。
【解析】
(1) 求相似比和α：
∵ 四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，边$AD$与$A'D'$为对应边，$AD=9$，$A'D'=6$，
∴ 相似比$=\frac{AD}{A'D'}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$（或$3:2$）。
由相似多边形对应角相等可得：$∠ A'=∠ A=62°$，$∠ B'=∠ B=75°$，$∠ D'=∠ D=140°$，
∵ 四边形内角和为$360°$，
∴ $α=360°-∠ A'-∠ B'-∠ D'=360°-62°-75°-140°=83°$。
(2) 求$x$、$y$的长度：
根据相似多边形对应边成比例，可得$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{3}{2}$，
代入对应边长度：$\frac{x}{8}=\frac{3}{2}$，$\frac{y}{11}=\frac{3}{2}$，
解得：$x=8×\frac{3}{2}=12$，$y=11×\frac{3}{2}=\frac{33}{2}$。
【答案】
(1) $83°$，$\frac{3}{2}$（或$3:2$）；(2) $x=12$，$y=\frac{33}{2}$
【知识点】
相似多边形性质，四边形内角和，比例运算
【点评】
本题是相似图形的基础应用题，核心是准确识别相似多边形的对应边与对应角，结合内角和定理和比例关系即可求解，能帮助学生巩固相似多边形的基础性质。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要用到相似多边形的相关性质：首先观察两个相似四边形的对应边，AD=9、A'D'=6是一组对应边，可先求出相似比；再根据相似多边形对应角相等，得到四边形A'B'C'D'中除α外的三个内角度数，结合四边形内角和为360°就能求出α；第二问求x、y时，利用相似多边形对应边成比例，代入已知边长列等式计算即可。
【解析】
(1) 求相似比和α：
∵ 四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，边$AD$与$A'D'$为对应边，$AD=9$，$A'D'=6$，
∴ 相似比$=\frac{AD}{A'D'}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$（或$3:2$）。
由相似多边形对应角相等可得：$∠ A'=∠ A=62°$，$∠ B'=∠ B=75°$，$∠ D'=∠ D=140°$，
∵ 四边形内角和为$360°$，
∴ $α=360°-∠ A'-∠ B'-∠ D'=360°-62°-75°-140°=83°$。
(2) 求$x$、$y$的长度：
根据相似多边形对应边成比例，可得$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{3}{2}$，
代入对应边长度：$\frac{x}{8}=\frac{3}{2}$，$\frac{y}{11}=\frac{3}{2}$，
解得：$x=8×\frac{3}{2}=12$，$y=11×\frac{3}{2}=\frac{33}{2}$。
【答案】
(1) $83°$，$\frac{3}{2}$（或$3:2$）；(2) $x=12$，$y=\frac{33}{2}$
【知识点】
相似多边形性质，四边形内角和，比例运算
【点评】
本题是相似图形的基础应用题，核心是准确识别相似多边形的对应边与对应角，结合内角和定理和比例关系即可求解，能帮助学生巩固相似多边形的基础性质。
【难度系数】
0.7
