登录
23. (11分)(2025·广安)如图13,二次函数$y=\frac{1}{3}x^2+bx+c$($b,c$为常数)的图象交$x$轴于$A,B$两点,交$y$轴于点$C$.已知点$B$的坐标为$(9,0)$,点$C$的坐标为$(0,-3)$.连接$AC,BC$.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点$P$为抛物线上的一个动点,连接$PC$,当$∠ PCB=∠ OBC$时,求点$P$的坐标.
(3)将抛物线沿射线$CA$的方向平移$2\sqrt{10}$个单位长度后得到新抛物线,点$E$在新抛物线上,点$F$是原抛物线对称轴上的一点.若以点$B,C,E,F$为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点$E$的坐标.
备用图
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点$P$为抛物线上的一个动点,连接$PC$,当$∠ PCB=∠ OBC$时,求点$P$的坐标.
(3)将抛物线沿射线$CA$的方向平移$2\sqrt{10}$个单位长度后得到新抛物线,点$E$在新抛物线上,点$F$是原抛物线对称轴上的一点.若以点$B,C,E,F$为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点$E$的坐标.
备用图
答案
解：
(1) 将点$B(9,0)$，$C(0,-3)$代入$y=\frac{1}{3}x^2+bx+c$，
得$c=-3$，
$\frac{1}{3}×9^2 +9b +c=0$，即$27+9b-3=0$，
解得$b=-\frac{8}{3}$，
$\therefore$抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{8}{3}x-3$。
(2) 分两种情况求解：
① 当$CP// x$轴时，$∠ PCB=∠ OBC$，此时点$P$的纵坐标为$-3$。
令$y=-3$，则$\frac{1}{3}x^2-\frac{8}{3}x-3=-3$，
解得$x_1=0$（对应点$C$，舍去），$x_2=8$，
得$P_1(8,-3)$。
② 当$CP$与$x$轴不平行时，设直线$CP$交$x$轴于点$D$。
$\because∠ PCB=∠ OBC$，$\therefore DC=DB$，
设$D(x,0)$，则$DB=9-x$，$DC=\sqrt{x^2+3^2}$，
$\therefore\sqrt{x^2+9}=9-x$，
两边平方化简得$18x=72$，解得$x=4$，即$D(4,0)$。
设直线$CD$的解析式为$y=kx-3$，代入$D(4,0)$，得$k=\frac{3}{4}$，
$\therefore$直线$CD$的解析式为$y=\frac{3}{4}x-3$。
联立$\begin{cases}y=\frac{3}{4}x-3\\y=\frac{1}{3}x^2-\frac{8}{3}x-3\end{cases}$，
化简得$4x^2-41x=0$，解得$x_1=0$（对应点$C$，舍去），$x_2=\frac{41}{4}$，
代入$y=\frac{3}{4}x-3$得$y=\frac{75}{16}$，得$P_2(\frac{41}{4},\frac{75}{16})$。
综上，点$P$的坐标为$(8,-3)$和$(\frac{41}{4},\frac{75}{16})$。
(3) 点$E$的坐标为$\boldsymbol{(5,\frac{2}{3})}$，$\boldsymbol{(-5,14)}$，$\boldsymbol{(13,38)}$。
(1) 将点$B(9,0)$，$C(0,-3)$代入$y=\frac{1}{3}x^2+bx+c$，
得$c=-3$，
$\frac{1}{3}×9^2 +9b +c=0$，即$27+9b-3=0$，
解得$b=-\frac{8}{3}$，
$\therefore$抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{8}{3}x-3$。
(2) 分两种情况求解：
① 当$CP// x$轴时，$∠ PCB=∠ OBC$，此时点$P$的纵坐标为$-3$。
令$y=-3$，则$\frac{1}{3}x^2-\frac{8}{3}x-3=-3$，
解得$x_1=0$（对应点$C$，舍去），$x_2=8$，
得$P_1(8,-3)$。
② 当$CP$与$x$轴不平行时，设直线$CP$交$x$轴于点$D$。
$\because∠ PCB=∠ OBC$，$\therefore DC=DB$，
设$D(x,0)$，则$DB=9-x$，$DC=\sqrt{x^2+3^2}$，
$\therefore\sqrt{x^2+9}=9-x$，
两边平方化简得$18x=72$，解得$x=4$，即$D(4,0)$。
设直线$CD$的解析式为$y=kx-3$，代入$D(4,0)$，得$k=\frac{3}{4}$，
$\therefore$直线$CD$的解析式为$y=\frac{3}{4}x-3$。
联立$\begin{cases}y=\frac{3}{4}x-3\\y=\frac{1}{3}x^2-\frac{8}{3}x-3\end{cases}$，
化简得$4x^2-41x=0$，解得$x_1=0$（对应点$C$，舍去），$x_2=\frac{41}{4}$，
代入$y=\frac{3}{4}x-3$得$y=\frac{75}{16}$，得$P_2(\frac{41}{4},\frac{75}{16})$。
综上，点$P$的坐标为$(8,-3)$和$(\frac{41}{4},\frac{75}{16})$。
(3) 点$E$的坐标为$\boldsymbol{(5,\frac{2}{3})}$，$\boldsymbol{(-5,14)}$，$\boldsymbol{(13,38)}$。
解析
【分析】
(1) 已知二次函数图像经过B、C两点，将两点坐标代入函数一般式，列方程组求解即可得到b、c的值，进而得到抛物线解析式。
(2) 满足∠PCB=∠OBC分两种情况：① CP平行于x轴，利用平行线内错角相等满足条件，令y等于C点纵坐标解方程即可求P点坐标；② CP不平行于x轴，利用等角对等边得到DC=DB，设D点坐标通过勾股定理列方程求D，再求直线CD解析式与抛物线联立求解得到P点坐标，注意舍去与C重合的解。
(3) 先求射线CA的方向，结合平移距离确定平移规则得到新抛物线解析式，再分BC为平行四边形的边、BC为平行四边形的对角线两类，利用平行四边形坐标性质求解E点坐标。
【解析】
(1) 将点$B(9,0)$，$C(0,-3)$代入$y=\frac{1}{3}x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=-3\\\frac{1}{3}×9^2 +9b +c=0\end{cases}$
化简得$27+9b-3=0$，解得$b=-\frac{8}{3}$，
$\therefore$抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{8}{3}x-3$。
(2) 分两种情况求解：
① 当$CP// x$轴时，由平行线内错角相等得$∠PCB=∠OBC$，此时点$P$的纵坐标为$-3$。
令$y=-3$，则$\frac{1}{3}x^2-\frac{8}{3}x-3=-3$，
解得$x_1=0$（对应点$C$，舍去），$x_2=8$，
得$P_1(8,-3)$。
② 当$CP$与$x$轴不平行时，设直线$CP$交$x$轴于点$D$。
$\because∠PCB=∠OBC$，$\therefore DC=DB$，
设$D(x,0)$，则$DB=9-x$，$DC=\sqrt{x^2+3^2}$，
$\therefore\sqrt{x^2+9}=9-x$，
两边平方化简得$18x=72$，解得$x=4$，即$D(4,0)$。
设直线$CD$的解析式为$y=kx-3$，代入$D(4,0)$，得$k=\frac{3}{4}$，
$\therefore$直线$CD$的解析式为$y=\frac{3}{4}x-3$。
联立$\begin{cases}y=\frac{3}{4}x-3\\y=\frac{1}{3}x^2-\frac{8}{3}x-3\end{cases}$，
化简得$4x^2-41x=0$，解得$x_1=0$（对应点$C$，舍去），$x_2=\frac{41}{4}$，
代入$y=\frac{3}{4}x-3$得$y=\frac{75}{16}$，得$P_2(\frac{41}{4},\frac{75}{16})$。
综上，点$P$的坐标为$(8,-3)$和$(\frac{41}{4},\frac{75}{16})$。
(3) 先求A点坐标：令$y=0$，解得$x=-1$或$x=9$，即$A(-1,0)$，射线CA的方向向量为$(-1,3)$，模长为$\sqrt{10}$，沿射线CA平移$2\sqrt{10}$个单位即横坐标减2，纵坐标加6，可得新抛物线解析式为$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-1$，原抛物线对称轴为$x=4$。分BC为平行四边形的边、对角线两种情况，结合平行四边形中点或平移性质计算可得点$E$的坐标。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{3}x^2-\frac{8}{3}x-3$
(2) $(8,-3)$，$(\frac{41}{4},\frac{75}{16})$
(3) $(5,\frac{2}{3})$，$(-5,14)$，$(13,38)$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 等腰三角形的性质
3. 平行四边形存在性
【点评】
本题是二次函数综合题型，覆盖了二次函数基础求解、角度相等的分类讨论、函数图像平移和平行四边形存在性判定等核心考点，侧重考查分类讨论思想、方程思想和综合运算能力，是中考典型的压轴类考题。
【难度系数】
0.2
(1) 已知二次函数图像经过B、C两点，将两点坐标代入函数一般式，列方程组求解即可得到b、c的值，进而得到抛物线解析式。
(2) 满足∠PCB=∠OBC分两种情况：① CP平行于x轴，利用平行线内错角相等满足条件，令y等于C点纵坐标解方程即可求P点坐标；② CP不平行于x轴，利用等角对等边得到DC=DB，设D点坐标通过勾股定理列方程求D，再求直线CD解析式与抛物线联立求解得到P点坐标，注意舍去与C重合的解。
(3) 先求射线CA的方向，结合平移距离确定平移规则得到新抛物线解析式，再分BC为平行四边形的边、BC为平行四边形的对角线两类，利用平行四边形坐标性质求解E点坐标。
【解析】
(1) 将点$B(9,0)$，$C(0,-3)$代入$y=\frac{1}{3}x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=-3\\\frac{1}{3}×9^2 +9b +c=0\end{cases}$
化简得$27+9b-3=0$，解得$b=-\frac{8}{3}$，
$\therefore$抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{8}{3}x-3$。
(2) 分两种情况求解：
① 当$CP// x$轴时，由平行线内错角相等得$∠PCB=∠OBC$，此时点$P$的纵坐标为$-3$。
令$y=-3$，则$\frac{1}{3}x^2-\frac{8}{3}x-3=-3$，
解得$x_1=0$（对应点$C$，舍去），$x_2=8$，
得$P_1(8,-3)$。
② 当$CP$与$x$轴不平行时，设直线$CP$交$x$轴于点$D$。
$\because∠PCB=∠OBC$，$\therefore DC=DB$，
设$D(x,0)$，则$DB=9-x$，$DC=\sqrt{x^2+3^2}$，
$\therefore\sqrt{x^2+9}=9-x$，
两边平方化简得$18x=72$，解得$x=4$，即$D(4,0)$。
设直线$CD$的解析式为$y=kx-3$，代入$D(4,0)$，得$k=\frac{3}{4}$，
$\therefore$直线$CD$的解析式为$y=\frac{3}{4}x-3$。
联立$\begin{cases}y=\frac{3}{4}x-3\\y=\frac{1}{3}x^2-\frac{8}{3}x-3\end{cases}$，
化简得$4x^2-41x=0$，解得$x_1=0$（对应点$C$，舍去），$x_2=\frac{41}{4}$，
代入$y=\frac{3}{4}x-3$得$y=\frac{75}{16}$，得$P_2(\frac{41}{4},\frac{75}{16})$。
综上，点$P$的坐标为$(8,-3)$和$(\frac{41}{4},\frac{75}{16})$。
(3) 先求A点坐标：令$y=0$，解得$x=-1$或$x=9$，即$A(-1,0)$，射线CA的方向向量为$(-1,3)$，模长为$\sqrt{10}$，沿射线CA平移$2\sqrt{10}$个单位即横坐标减2，纵坐标加6，可得新抛物线解析式为$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-1$，原抛物线对称轴为$x=4$。分BC为平行四边形的边、对角线两种情况，结合平行四边形中点或平移性质计算可得点$E$的坐标。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{3}x^2-\frac{8}{3}x-3$
(2) $(8,-3)$，$(\frac{41}{4},\frac{75}{16})$
(3) $(5,\frac{2}{3})$，$(-5,14)$，$(13,38)$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 等腰三角形的性质
3. 平行四边形存在性
【点评】
本题是二次函数综合题型，覆盖了二次函数基础求解、角度相等的分类讨论、函数图像平移和平行四边形存在性判定等核心考点，侧重考查分类讨论思想、方程思想和综合运算能力，是中考典型的压轴类考题。
【难度系数】
0.2
