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21. (10分)如图11,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径.
(1)如图11①,将△ABC绕圆心O顺时针旋转至△A'B'C',当点C'与点B重合时,图中与∠A相等的角有.
(2)如图11②,若∠A=30°,将△ABC绕点B顺时针旋转至△A'BC',当BC'和⊙O相切时,求证:A'C'是⊙O的切线.
(1)如图11①,将△ABC绕圆心O顺时针旋转至△A'B'C',当点C'与点B重合时,图中与∠A相等的角有.
(2)如图11②,若∠A=30°,将△ABC绕点B顺时针旋转至△A'BC',当BC'和⊙O相切时,求证:A'C'是⊙O的切线.
答案
解：(1) $∠ A'$、$∠ BA'C$、$∠ A'BA$、$∠ A'BC$
(2) 证明：
∵ $AB$为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB = 90°$，
∵ $∠ A = 30°$，
∴ $∠ ABC = 90° - 30° = 60°$，$BC = \frac{1}{2}AB$。
∵ $BC'$是$\odot O$的切线，$AB$是$\odot O$的直径，
∴ $AB ⊥ BC'$，即$∠ ABC' = 90°$。
由旋转的性质可得：$△ A'BC' ≌ △ ABC$，
∴ $∠ A'C'B = ∠ ACB = 90°$，$∠ A'BC' = ∠ ABC = 60°$，$BC' = BC$，$A'B = AB$。
∴ $∠ A'BA = ∠ ABC' - ∠ A'BC' = 90° - 60° = 30°$，$BC' = \frac{1}{2}AB$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$AB = 2r$，
∴ $BC' = \frac{1}{2} × 2r = r$。
过点$O$作$OD ⊥ A'C'$，垂足为$D$，
∵ $∠ ODC' = 90°$，$∠ OBC' = 90°$，$∠ A'C'B = 90°$，
∴ 四边形$OBC'D$是矩形，
∴ $OD = BC' = r$，即$OD$是$\odot O$的半径。
又∵ $OD ⊥ A'C'$，
∴ $A'C'$是$\odot O$的切线。
(2) 证明：
∵ $AB$为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB = 90°$，
∵ $∠ A = 30°$，
∴ $∠ ABC = 90° - 30° = 60°$，$BC = \frac{1}{2}AB$。
∵ $BC'$是$\odot O$的切线，$AB$是$\odot O$的直径，
∴ $AB ⊥ BC'$，即$∠ ABC' = 90°$。
由旋转的性质可得：$△ A'BC' ≌ △ ABC$，
∴ $∠ A'C'B = ∠ ACB = 90°$，$∠ A'BC' = ∠ ABC = 60°$，$BC' = BC$，$A'B = AB$。
∴ $∠ A'BA = ∠ ABC' - ∠ A'BC' = 90° - 60° = 30°$，$BC' = \frac{1}{2}AB$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$AB = 2r$，
∴ $BC' = \frac{1}{2} × 2r = r$。
过点$O$作$OD ⊥ A'C'$，垂足为$D$，
∵ $∠ ODC' = 90°$，$∠ OBC' = 90°$，$∠ A'C'B = 90°$，
∴ 四边形$OBC'D$是矩形，
∴ $OD = BC' = r$，即$OD$是$\odot O$的半径。
又∵ $OD ⊥ A'C'$，
∴ $A'C'$是$\odot O$的切线。
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先根据旋转的性质可得△A'B'C'≌△ABC，对应角相等可得到第一个与∠A相等的角；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得到第二个相等的角；最后结合旋转后圆的半径相等、等腰三角形性质和圆周角与弧的对应关系，找出剩余两个相等的角即可。
(2) 解题思路：要证明A'C'是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明圆心O到A'C'的距离等于⊙O半径且该距离与A'C'垂直。首先利用直径所对圆周角为直角，结合∠A=30°得到BC和AB的长度关系；再根据切线的性质得到AB⊥BC'，结合旋转的全等性质得到对应边、角的等量关系；最后过O作OD⊥A'C'，证明四边形OBC'D为矩形，得到OD等于半径，即可完成证明。
【解析】
(1) 由旋转的性质可知△A'B'C'≌△ABC，因此∠A'=∠A；
根据圆周角定理，同弧BC所对的圆周角相等，故∠BA'C=∠A；
结合旋转后圆的半径相等、圆周角与弧的对应关系，可得∠A'BA=∠A，∠A'BC=∠A；
因此与∠A相等的角共有4个。
(2) 证明：
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°，
∵ ∠A = 30°，
∴ ∠ABC = 90° - 30° = 60°，$BC = \frac{1}{2}AB$。
∵ BC'是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴ $AB ⊥ BC'$，即$∠ ABC' = 90°$。
由旋转的性质可得：$△ A'BC' ≌ △ ABC$，
∴ $∠ A'C'B = ∠ ACB = 90°$，$∠ A'BC' = ∠ ABC = 60°$，$BC' = BC$，$A'B = AB$。
∴ $∠ A'BA = ∠ ABC' - ∠ A'BC' = 90° - 60° = 30°$，$BC' = \frac{1}{2}AB$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$AB = 2r$，
∴ $BC' = \frac{1}{2} × 2r = r$。
过点$O$作$OD ⊥ A'C'$，垂足为$D$，
∵ $∠ ODC' = 90°$，$∠ OBC' = 90°$，$∠ A'C'B = 90°$，
∴ 四边形$OBC'D$是矩形，
∴ $OD = BC' = r$，即$OD$是$\odot O$的半径。
又
∵ $OD ⊥ A'C'$，
∴ $A'C'$是$\odot O$的切线。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ A'}$、$\boldsymbol{∠ BA'C}$、$\boldsymbol{∠ A'BA}$、$\boldsymbol{∠ A'BC}$
(2) $A'C'$是$\odot O$的切线，证明如上。
【知识点】
圆周角定理、旋转的性质、切线的判定与性质
【点评】
本题综合了圆的性质、旋转的性质、切线的判定等多个考点，既考查对基础定理的掌握，也考查辅助线构造的能力，解题时注意转化思想的运用，将切线证明问题转化为距离和半径的等量关系问题。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：首先根据旋转的性质可得△A'B'C'≌△ABC，对应角相等可得到第一个与∠A相等的角；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得到第二个相等的角；最后结合旋转后圆的半径相等、等腰三角形性质和圆周角与弧的对应关系，找出剩余两个相等的角即可。
(2) 解题思路：要证明A'C'是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明圆心O到A'C'的距离等于⊙O半径且该距离与A'C'垂直。首先利用直径所对圆周角为直角，结合∠A=30°得到BC和AB的长度关系；再根据切线的性质得到AB⊥BC'，结合旋转的全等性质得到对应边、角的等量关系；最后过O作OD⊥A'C'，证明四边形OBC'D为矩形，得到OD等于半径，即可完成证明。
【解析】
(1) 由旋转的性质可知△A'B'C'≌△ABC，因此∠A'=∠A；
根据圆周角定理，同弧BC所对的圆周角相等，故∠BA'C=∠A；
结合旋转后圆的半径相等、圆周角与弧的对应关系，可得∠A'BA=∠A，∠A'BC=∠A；
因此与∠A相等的角共有4个。
(2) 证明：
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°，
∵ ∠A = 30°，
∴ ∠ABC = 90° - 30° = 60°，$BC = \frac{1}{2}AB$。
∵ BC'是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴ $AB ⊥ BC'$，即$∠ ABC' = 90°$。
由旋转的性质可得：$△ A'BC' ≌ △ ABC$，
∴ $∠ A'C'B = ∠ ACB = 90°$，$∠ A'BC' = ∠ ABC = 60°$，$BC' = BC$，$A'B = AB$。
∴ $∠ A'BA = ∠ ABC' - ∠ A'BC' = 90° - 60° = 30°$，$BC' = \frac{1}{2}AB$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$AB = 2r$，
∴ $BC' = \frac{1}{2} × 2r = r$。
过点$O$作$OD ⊥ A'C'$，垂足为$D$，
∵ $∠ ODC' = 90°$，$∠ OBC' = 90°$，$∠ A'C'B = 90°$，
∴ 四边形$OBC'D$是矩形，
∴ $OD = BC' = r$，即$OD$是$\odot O$的半径。
又
∵ $OD ⊥ A'C'$，
∴ $A'C'$是$\odot O$的切线。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ A'}$、$\boldsymbol{∠ BA'C}$、$\boldsymbol{∠ A'BA}$、$\boldsymbol{∠ A'BC}$
(2) $A'C'$是$\odot O$的切线，证明如上。
【知识点】
圆周角定理、旋转的性质、切线的判定与性质
【点评】
本题综合了圆的性质、旋转的性质、切线的判定等多个考点，既考查对基础定理的掌握，也考查辅助线构造的能力，解题时注意转化思想的运用，将切线证明问题转化为距离和半径的等量关系问题。
【难度系数】
0.6
22. (10分)如图12，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m. 栅栏在安装过程中不重叠、无损耗. 设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位:m)，与墙平行的一边长为y(单位:m)，面积为S(单位:m²).
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围).
(2)矩形实验田的面积S能达到750 m²吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由.
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围).
(2)矩形实验田的面积S能达到750 m²吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由.
答案
解：
(1) $y = 80 - 2x$，
$S = -2x^2 + 80x$。
(2) 矩形实验田的面积$S$能达到$750\ \mathrm{m}^2$。
令$S=750$，得方程：
$-2x^2 + 80x = 750$
整理得：
$x^2 - 40x + 375 = 0$
因式分解得：
$(x-15)(x-25)=0$
解得$x_1=15$，$x_2=25$。
当$x=15$时，$y=80-2×15=50$，$50＞42$，超出墙的长度限制，舍去；
当$x=25$时，$y=80-2×25=30$，$30＜42$，符合题意。
综上，矩形实验田的面积$S$能达到$750\ \mathrm{m}^2$，此时$x$的值为$25$。
(1) $y = 80 - 2x$，
$S = -2x^2 + 80x$。
(2) 矩形实验田的面积$S$能达到$750\ \mathrm{m}^2$。
令$S=750$，得方程：
$-2x^2 + 80x = 750$
整理得：
$x^2 - 40x + 375 = 0$
因式分解得：
$(x-15)(x-25)=0$
解得$x_1=15$，$x_2=25$。
当$x=15$时，$y=80-2×15=50$，$50＞42$，超出墙的长度限制，舍去；
当$x=25$时，$y=80-2×25=30$，$30＜42$，符合题意。
综上，矩形实验田的面积$S$能达到$750\ \mathrm{m}^2$，此时$x$的值为$25$。
解析
【分析】
(1) 首先分析栅栏的组成：与墙垂直的边共2条，长度均为x m，与墙平行的边共1条，长度为y m，栅栏总长为80 m，因此可得等量关系$2x+y=80$，变形即可得到y与x的函数关系；再根据矩形面积公式$S=长×宽$，将y代入即可得到S与x的函数解析式。
(2) 要判断面积能否达到750 $\mathrm{m}^2$，只需将$S=750$代入S与x的函数解析式，得到关于x的一元二次方程，求解方程后，结合墙长42 m的限制（即平行于墙的边长$y≤42$）对根进行检验，若存在符合条件的x则能达到，反之则不能。
【解析】
(1) 由栅栏总长为80 m，可得$2x+y=80$，移项得：
$y = 80 - 2x$
根据矩形面积公式，$S = x·y$，将$y = 80 - 2x$代入得：
$S = x(80 - 2x) = -2x^2 + 80x$
(2) 矩形实验田的面积能达到750 $\mathrm{m}^2$，求解过程如下：
令$S=750$，代入$S=-2x^2+80x$得方程：
$-2x^2 + 80x = 750$
方程两边同时除以$-2$，整理得：
$x^2 - 40x + 375 = 0$
因式分解得：
$(x-15)(x-25)=0$
解得$x_1=15$，$x_2=25$。
接下来结合实际条件检验根的合理性：
当$x=15$时，$y=80-2×15=50$，$50＞42$，超出墙的长度限制，不符合题意，舍去；
当$x=25$时，$y=80-2×25=30$，$30＜42$，符合题意。
【答案】
(1) $y = 80 - 2x$，$S = -2x^2 + 80x$；
(2) 能达到，此时$x$的值为25。
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，实际问题取值验证
【点评】
本题是典型的代数实际应用题，既考查了函数解析式推导、一元二次方程求解的基础能力，也要求大家解题时关注实际场景的限制条件，对计算结果进行合理性校验，避免出现多解漏验的错误。
【难度系数】
0.6
(1) 首先分析栅栏的组成：与墙垂直的边共2条，长度均为x m，与墙平行的边共1条，长度为y m，栅栏总长为80 m，因此可得等量关系$2x+y=80$，变形即可得到y与x的函数关系；再根据矩形面积公式$S=长×宽$，将y代入即可得到S与x的函数解析式。
(2) 要判断面积能否达到750 $\mathrm{m}^2$，只需将$S=750$代入S与x的函数解析式，得到关于x的一元二次方程，求解方程后，结合墙长42 m的限制（即平行于墙的边长$y≤42$）对根进行检验，若存在符合条件的x则能达到，反之则不能。
【解析】
(1) 由栅栏总长为80 m，可得$2x+y=80$，移项得：
$y = 80 - 2x$
根据矩形面积公式，$S = x·y$，将$y = 80 - 2x$代入得：
$S = x(80 - 2x) = -2x^2 + 80x$
(2) 矩形实验田的面积能达到750 $\mathrm{m}^2$，求解过程如下：
令$S=750$，代入$S=-2x^2+80x$得方程：
$-2x^2 + 80x = 750$
方程两边同时除以$-2$，整理得：
$x^2 - 40x + 375 = 0$
因式分解得：
$(x-15)(x-25)=0$
解得$x_1=15$，$x_2=25$。
接下来结合实际条件检验根的合理性：
当$x=15$时，$y=80-2×15=50$，$50＞42$，超出墙的长度限制，不符合题意，舍去；
当$x=25$时，$y=80-2×25=30$，$30＜42$，符合题意。
【答案】
(1) $y = 80 - 2x$，$S = -2x^2 + 80x$；
(2) 能达到，此时$x$的值为25。
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，实际问题取值验证
【点评】
本题是典型的代数实际应用题，既考查了函数解析式推导、一元二次方程求解的基础能力，也要求大家解题时关注实际场景的限制条件，对计算结果进行合理性校验，避免出现多解漏验的错误。
【难度系数】
0.6
