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18. (9分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2+2x+a=0$.
(1)若该方程有两个不相等的实数根,求$a$的取值范围；
(2)在(1)的条件下,该方程有一个实数根为$\sqrt{2}-1$,求方程的另一个根和$a$的值.
(1)若该方程有两个不相等的实数根,求$a$的取值范围；
(2)在(1)的条件下,该方程有一个实数根为$\sqrt{2}-1$,求方程的另一个根和$a$的值.
答案
解：
(1) 对于一元二次方程$x^2+2x+a=0$，其判别式为
$\Delta = 2^2 - 4×1× a = 4 - 4a$
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta ＞ 0$，即$4 - 4a ＞ 0$，
解得$a ＜ 1$。
(2) 设方程的另一个根为$x_0$，根据一元二次方程根与系数的关系：
$x_0 + (\sqrt{2} - 1) = -\frac{2}{1} = -2$
解得$x_0 = -2 - (\sqrt{2} - 1) = -\sqrt{2} - 1$。
再由两根之积的关系可得：
$a = (\sqrt{2}-1)×(-\sqrt{2}-1) = (-1+\sqrt{2})(-1-\sqrt{2}) = (-1)^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$。
综上，方程的另一个根为$-\sqrt{2}-1$，$a$的值为$-1$。
(1) 对于一元二次方程$x^2+2x+a=0$，其判别式为
$\Delta = 2^2 - 4×1× a = 4 - 4a$
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta ＞ 0$，即$4 - 4a ＞ 0$，
解得$a ＜ 1$。
(2) 设方程的另一个根为$x_0$，根据一元二次方程根与系数的关系：
$x_0 + (\sqrt{2} - 1) = -\frac{2}{1} = -2$
解得$x_0 = -2 - (\sqrt{2} - 1) = -\sqrt{2} - 1$。
再由两根之积的关系可得：
$a = (\sqrt{2}-1)×(-\sqrt{2}-1) = (-1+\sqrt{2})(-1-\sqrt{2}) = (-1)^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$。
综上，方程的另一个根为$-\sqrt{2}-1$，$a$的值为$-1$。
解析
【分析】
(1) 遇到一元二次方程根的个数问题，优先考虑判别式与根的对应关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。先明确方程中二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式Δ=b²-4ac，列出关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围。
(2) 已知方程的一个根求另一个根和参数，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）简化计算：先设另一个根为x₀，根据两根之和等于-b/a求出x₀，再根据两根之积等于c/a求出a的值，最后验证结果符合(1)中a的取值范围即可。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2+2x+a=0$，其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为$a$，其判别式为：
$\Delta = 2^2 - 4×1× a = 4 - 4a$
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta ＞ 0$，即$4 - 4a ＞ 0$，
解得$a ＜ 1$。
(2) 设方程的另一个根为$x_0$，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为$-\frac{b}{a}$：
$x_0 + (\sqrt{2} - 1) = -\frac{2}{1} = -2$
解得$x_0 = -2 - (\sqrt{2} - 1) = -\sqrt{2} - 1$。
再根据两根之积为$\frac{c}{a}$，可得：
$a = (\sqrt{2}-1)×(-\sqrt{2}-1) = (-1+\sqrt{2})(-1-\sqrt{2}) = (-1)^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$，且$-1＜1$，符合(1)的取值范围。
综上，方程的另一个根为$-\sqrt{2}-1$，$a$的值为$-1$。
【答案】
(1) $a ＜ 1$；
(2) 方程的另一个根为$-\sqrt{2}-1$，$a$的值为$-1$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，核心考查判别式与根的对应关系、韦达定理的应用，解题时注意区分方程的各项系数与题目中的参数$a$，避免混淆，使用韦达定理解第二问可有效降低计算量，提高正确率。
【难度系数】
0.8
(1) 遇到一元二次方程根的个数问题，优先考虑判别式与根的对应关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。先明确方程中二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式Δ=b²-4ac，列出关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围。
(2) 已知方程的一个根求另一个根和参数，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）简化计算：先设另一个根为x₀，根据两根之和等于-b/a求出x₀，再根据两根之积等于c/a求出a的值，最后验证结果符合(1)中a的取值范围即可。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2+2x+a=0$，其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为$a$，其判别式为：
$\Delta = 2^2 - 4×1× a = 4 - 4a$
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta ＞ 0$，即$4 - 4a ＞ 0$，
解得$a ＜ 1$。
(2) 设方程的另一个根为$x_0$，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为$-\frac{b}{a}$：
$x_0 + (\sqrt{2} - 1) = -\frac{2}{1} = -2$
解得$x_0 = -2 - (\sqrt{2} - 1) = -\sqrt{2} - 1$。
再根据两根之积为$\frac{c}{a}$，可得：
$a = (\sqrt{2}-1)×(-\sqrt{2}-1) = (-1+\sqrt{2})(-1-\sqrt{2}) = (-1)^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$，且$-1＜1$，符合(1)的取值范围。
综上，方程的另一个根为$-\sqrt{2}-1$，$a$的值为$-1$。
【答案】
(1) $a ＜ 1$；
(2) 方程的另一个根为$-\sqrt{2}-1$，$a$的值为$-1$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，核心考查判别式与根的对应关系、韦达定理的应用，解题时注意区分方程的各项系数与题目中的参数$a$，避免混淆，使用韦达定理解第二问可有效降低计算量，提高正确率。
【难度系数】
0.8
19.(9分)如图9,AB是$\odot O$的直径,弦$CD ⊥ AB$于点E,点M在$\odot O$上,MD恰好经过圆心O,连接MB.
(1)若$CD=16,BE=4$,求$\odot O$的直径;
(2)若$∠ M=∠ D$,求$∠ D$的度数.
(1)若$CD=16,BE=4$,求$\odot O$的直径;
(2)若$∠ M=∠ D$,求$∠ D$的度数.
答案
解：
(1) 设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OE = OB - BE = r - 4$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，$CD ⊥ AB$，$CD=16$，
∴ 由垂径定理得：$DE = \frac{1}{2}CD = 8$。
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，由勾股定理得：$OE^2 + DE^2 = OD^2$，
即$(r-4)^2 + 8^2 = r^2$，
整理得$r^2 -8r +80 = r^2$，
解得$r=10$，
∴ $\odot O$的直径为$2r=20$。
(2) ∵ $OM=OB$，
∴ $∠ M = ∠ OBM$，
由圆周角定理得：$∠ BOD = 2∠ M$，
∵ $CD ⊥ AB$，
∴ $∠ OED=90°$，
∴ $∠ BOD + ∠ D = 90°$，
又∵ $∠ M = ∠ D$，
∴ $2∠ D + ∠ D = 90°$，
即$3∠ D=90°$，
解得$∠ D=30°$。
(1) 设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OE = OB - BE = r - 4$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，$CD ⊥ AB$，$CD=16$，
∴ 由垂径定理得：$DE = \frac{1}{2}CD = 8$。
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，由勾股定理得：$OE^2 + DE^2 = OD^2$，
即$(r-4)^2 + 8^2 = r^2$，
整理得$r^2 -8r +80 = r^2$，
解得$r=10$，
∴ $\odot O$的直径为$2r=20$。
(2) ∵ $OM=OB$，
∴ $∠ M = ∠ OBM$，
由圆周角定理得：$∠ BOD = 2∠ M$，
∵ $CD ⊥ AB$，
∴ $∠ OED=90°$，
∴ $∠ BOD + ∠ D = 90°$，
又∵ $∠ M = ∠ D$，
∴ $2∠ D + ∠ D = 90°$，
即$3∠ D=90°$，
解得$∠ D=30°$。
解析
【分析】
(1) 求圆的直径可先求半径，设半径为r，结合已知条件先根据垂径定理得到DE的长度，再表示出OE的长度，在Rt△ODE中利用勾股定理列方程求解r，即可得到直径；
(2) 先根据同圆半径相等得到等腰三角形底角相等，结合圆周角定理推出∠BOD和∠M的数量关系，再根据CD⊥AB得到直角三角形两锐角互余，代入∠M=∠D的条件即可求出∠D的度数。
【解析】
(1) 设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OE = OB - BE = r - 4$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，$CD ⊥ AB$，$CD=16$，
∴ 由垂径定理得：$DE = \frac{1}{2}CD = 8$。
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，由勾股定理得：$OE^2 + DE^2 = OD^2$，
即$(r-4)^2 + 8^2 = r^2$，
整理得$r^2 -8r +80 = r^2$，
解得$r=10$，
∴ $\odot O$的直径为$2r=20$。
(2)
∵ $OM=OB$，
∴ $∠ M = ∠ OBM$，
由圆周角定理得：$∠ BOD = 2∠ M$，
∵ $CD ⊥ AB$，
∴ $∠ OED=90°$，
∴ $∠ BOD + ∠ D = 90°$，
又
∵ $∠ M = ∠ D$，
∴ $2∠ D + ∠ D = 90°$，
即$3∠ D=90°$，
解得$∠ D=30°$。
【答案】
(1) $\odot O$的直径为$\boxed{20}$；(2) $∠ D=\boxed{30°}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆周角定理
【点评】
本题考查圆的基本性质的综合应用，第一问运用垂径定理结合勾股定理列方程求线段长，是圆中求长度的常用方法；第二问结合圆周角定理和直角三角形性质求角度，解题思路清晰，是圆章节的常规考法。
【难度系数】
0.7
(1) 求圆的直径可先求半径，设半径为r，结合已知条件先根据垂径定理得到DE的长度，再表示出OE的长度，在Rt△ODE中利用勾股定理列方程求解r，即可得到直径；
(2) 先根据同圆半径相等得到等腰三角形底角相等，结合圆周角定理推出∠BOD和∠M的数量关系，再根据CD⊥AB得到直角三角形两锐角互余，代入∠M=∠D的条件即可求出∠D的度数。
【解析】
(1) 设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OE = OB - BE = r - 4$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，$CD ⊥ AB$，$CD=16$，
∴ 由垂径定理得：$DE = \frac{1}{2}CD = 8$。
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，由勾股定理得：$OE^2 + DE^2 = OD^2$，
即$(r-4)^2 + 8^2 = r^2$，
整理得$r^2 -8r +80 = r^2$，
解得$r=10$，
∴ $\odot O$的直径为$2r=20$。
(2)
∵ $OM=OB$，
∴ $∠ M = ∠ OBM$，
由圆周角定理得：$∠ BOD = 2∠ M$，
∵ $CD ⊥ AB$，
∴ $∠ OED=90°$，
∴ $∠ BOD + ∠ D = 90°$，
又
∵ $∠ M = ∠ D$，
∴ $2∠ D + ∠ D = 90°$，
即$3∠ D=90°$，
解得$∠ D=30°$。
【答案】
(1) $\odot O$的直径为$\boxed{20}$；(2) $∠ D=\boxed{30°}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆周角定理
【点评】
本题考查圆的基本性质的综合应用，第一问运用垂径定理结合勾股定理列方程求线段长，是圆中求长度的常用方法；第二问结合圆周角定理和直角三角形性质求角度，解题思路清晰，是圆章节的常规考法。
【难度系数】
0.7
20. (9分)如图10,在平面直角坐标系中,一次函数$y_1=kx+b(k≠0)$与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}(m≠0)$在第二象限交于点$A(-2,3)$,且与y轴交于点$B(0,2)$.
(1)求一次函数的解析式;
(2)请直接写出不等式$y_1≤y_2$的解集;
(3)在x轴上有一动点P,且$△ ABP$的面积为$\frac{9}{4}$,求点P的坐标.
(1)求一次函数的解析式;
(2)请直接写出不等式$y_1≤y_2$的解集;
(3)在x轴上有一动点P,且$△ ABP$的面积为$\frac{9}{4}$,求点P的坐标.
答案
解：
(1) 将点$A(-2,3)$、$B(0,2)$代入一次函数$y_1=kx+b$，得：
$\begin{cases} -2k + b = 3 \\ b = 2 \end{cases}$
将$b=2$代入$-2k + b = 3$，解得$k=-\frac{1}{2}$。
∴一次函数的解析式为$y_1=-\frac{1}{2}x + 2$。
(2) 不等式$y_1 ≤ y_2$的解集为$-2 ≤ x ＜ 0$或$x ≥ 6$。
(3) 设一次函数$y_1=-\frac{1}{2}x+2$与x轴交于点C，令$y=0$，则$-\frac{1}{2}x+2=0$，解得$x=4$，即$C(4,0)$。
设点P的坐标为$(p,0)$，则$PC=|p-4|$。
$S_{△ ABP}=S_{△ ACP}-S_{△ BCP}=\frac{1}{2} · |p-4| · 3 - \frac{1}{2} · |p-4| · 2=\frac{1}{2}|p-4|$
由题意得$\frac{1}{2}|p-4|=\frac{9}{4}$，即$|p-4|=\frac{9}{2}$。
解得$p=\frac{17}{2}$或$p=-\frac{1}{2}$。
∴点P的坐标为$(\frac{17}{2},0)$或$(-\frac{1}{2},0)$。
(1) 将点$A(-2,3)$、$B(0,2)$代入一次函数$y_1=kx+b$，得：
$\begin{cases} -2k + b = 3 \\ b = 2 \end{cases}$
将$b=2$代入$-2k + b = 3$，解得$k=-\frac{1}{2}$。
∴一次函数的解析式为$y_1=-\frac{1}{2}x + 2$。
(2) 不等式$y_1 ≤ y_2$的解集为$-2 ≤ x ＜ 0$或$x ≥ 6$。
(3) 设一次函数$y_1=-\frac{1}{2}x+2$与x轴交于点C，令$y=0$，则$-\frac{1}{2}x+2=0$，解得$x=4$，即$C(4,0)$。
设点P的坐标为$(p,0)$，则$PC=|p-4|$。
$S_{△ ABP}=S_{△ ACP}-S_{△ BCP}=\frac{1}{2} · |p-4| · 3 - \frac{1}{2} · |p-4| · 2=\frac{1}{2}|p-4|$
由题意得$\frac{1}{2}|p-4|=\frac{9}{4}$，即$|p-4|=\frac{9}{2}$。
解得$p=\frac{17}{2}$或$p=-\frac{1}{2}$。
∴点P的坐标为$(\frac{17}{2},0)$或$(-\frac{1}{2},0)$。
解析
【分析】
(1) 求一次函数解析式可采用待定系数法，已知一次函数过A(-2,3)、B(0,2)两个定点，将两点坐标代入$y_1=kx+b$得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，得到解析式。
(2) 求解不等式$y_1≤y_2$，需先结合点A坐标求出反比例函数解析式，再联立两个函数解析式求出两个交点坐标，结合函数图像，找出一次函数图像位于反比例函数图像下方（含交点）对应的x的取值范围即可，注意反比例函数自变量x≠0。
(3) 求解x轴上的点P坐标，先求出一次函数与x轴的交点C，将$△ ABP$的面积转化为$△ ACP$与$△ BCP$的面积差，两个三角形同底为PC的长度，高分别为点A、点B的纵坐标绝对值，设$P(p,0)$表示出PC长度，根据面积列绝对值方程求解，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
(1) 将点$A(-2,3)$、$B(0,2)$代入一次函数$y_1=kx+b$，得：
$\begin{cases} -2k + b = 3 \\ b = 2 \end{cases}$
将$b=2$代入$-2k + b = 3$，解得$k=-\frac{1}{2}$。
∴一次函数的解析式为$y_1=-\frac{1}{2}x + 2$。
(2) 把$A(-2,3)$代入$y_2=\frac{m}{x}$得$m=-2×3=-6$，即反比例函数为$y_2=-\frac{6}{x}$，联立一次函数与反比例函数解析式，解得另一交点坐标为$(6,-1)$。结合图像可得$y_1 ≤ y_2$的解集为$-2 ≤ x ＜ 0$或$x ≥ 6$。
(3) 设一次函数$y_1=-\frac{1}{2}x+2$与x轴交于点C，令$y=0$，则$-\frac{1}{2}x+2=0$，解得$x=4$，即$C(4,0)$。
设点P的坐标为$(p,0)$，则$PC=|p-4|$。
$S_{△ ABP}=S_{△ ACP}-S_{△ BCP}=\frac{1}{2} · |p-4| · 3 - \frac{1}{2} · |p-4| · 2=\frac{1}{2}|p-4|$
由题意得$\frac{1}{2}|p-4|=\frac{9}{4}$，即$|p-4|=\frac{9}{2}$。
解得$p=\frac{17}{2}$或$p=-\frac{1}{2}$。
∴点P的坐标为$(\frac{17}{2},0)$或$(-\frac{1}{2},0)$。
【答案】
(1) $y_1=-\frac{1}{2}x + 2$
(2) $-2 ≤ x ＜ 0$或$x ≥ 6$
(3) $(\frac{17}{2},0)$或$(-\frac{1}{2},0)$
【知识点】
待定系数法求解析式；函数与不等式；坐标与面积计算
【点评】
本题为一次函数与反比例函数的综合题，覆盖了函数解析式求解、数形结合解不等式、动点面积计算等考点，解题时要注意反比例函数自变量的取值限制，解绝对值方程时需考虑正负两种情况，避免漏解，是函数模块的典型中档题型。
【难度系数】
0.6
(1) 求一次函数解析式可采用待定系数法，已知一次函数过A(-2,3)、B(0,2)两个定点，将两点坐标代入$y_1=kx+b$得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，得到解析式。
(2) 求解不等式$y_1≤y_2$，需先结合点A坐标求出反比例函数解析式，再联立两个函数解析式求出两个交点坐标，结合函数图像，找出一次函数图像位于反比例函数图像下方（含交点）对应的x的取值范围即可，注意反比例函数自变量x≠0。
(3) 求解x轴上的点P坐标，先求出一次函数与x轴的交点C，将$△ ABP$的面积转化为$△ ACP$与$△ BCP$的面积差，两个三角形同底为PC的长度，高分别为点A、点B的纵坐标绝对值，设$P(p,0)$表示出PC长度，根据面积列绝对值方程求解，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
(1) 将点$A(-2,3)$、$B(0,2)$代入一次函数$y_1=kx+b$，得：
$\begin{cases} -2k + b = 3 \\ b = 2 \end{cases}$
将$b=2$代入$-2k + b = 3$，解得$k=-\frac{1}{2}$。
∴一次函数的解析式为$y_1=-\frac{1}{2}x + 2$。
(2) 把$A(-2,3)$代入$y_2=\frac{m}{x}$得$m=-2×3=-6$，即反比例函数为$y_2=-\frac{6}{x}$，联立一次函数与反比例函数解析式，解得另一交点坐标为$(6,-1)$。结合图像可得$y_1 ≤ y_2$的解集为$-2 ≤ x ＜ 0$或$x ≥ 6$。
(3) 设一次函数$y_1=-\frac{1}{2}x+2$与x轴交于点C，令$y=0$，则$-\frac{1}{2}x+2=0$，解得$x=4$，即$C(4,0)$。
设点P的坐标为$(p,0)$，则$PC=|p-4|$。
$S_{△ ABP}=S_{△ ACP}-S_{△ BCP}=\frac{1}{2} · |p-4| · 3 - \frac{1}{2} · |p-4| · 2=\frac{1}{2}|p-4|$
由题意得$\frac{1}{2}|p-4|=\frac{9}{4}$，即$|p-4|=\frac{9}{2}$。
解得$p=\frac{17}{2}$或$p=-\frac{1}{2}$。
∴点P的坐标为$(\frac{17}{2},0)$或$(-\frac{1}{2},0)$。
【答案】
(1) $y_1=-\frac{1}{2}x + 2$
(2) $-2 ≤ x ＜ 0$或$x ≥ 6$
(3) $(\frac{17}{2},0)$或$(-\frac{1}{2},0)$
【知识点】
待定系数法求解析式；函数与不等式；坐标与面积计算
【点评】
本题为一次函数与反比例函数的综合题，覆盖了函数解析式求解、数形结合解不等式、动点面积计算等考点，解题时要注意反比例函数自变量的取值限制，解绝对值方程时需考虑正负两种情况，避免漏解，是函数模块的典型中档题型。
【难度系数】
0.6
