8. 已知:如图,$BE⊥CD$于点$E$,点$A$在$BE$上,连结$DA$并延长,交$BC$于点$F$。$BE=DE$,$BC=DA$。判断$DF$与$BC$的位置关系,并说明理由。

8. $DF⊥BC$。理由如下:因为$BE⊥DE$,所以$∠BEC=∠DEA=\mathrm{Rt}∠$。又因为$BC=DA,BE=DE$,所以$\mathrm{Rt}△BCE ≌ \mathrm{Rt}△DAE$,所以$∠B=∠D$。因为$∠B+∠C=90°$,所以$∠D+∠C=90°$,即 $DF⊥BC$。

【分析】
要判断DF与BC的位置关系，观察图形可猜想为垂直关系，即需证明∠CFD=90°。首先由已知BE⊥CD可得Rt△BCE中∠B+∠C=90°，因此只需证明∠B=∠D，即可通过等量代换得到∠D+∠C=90°，进而推出∠CFD=90°。要证∠B=∠D，可通过证明两角所在的直角三角形全等实现，题中给出了两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，符合HL定理的判定条件，可先证Rt△BCE≌Rt△DAE。
【解析】
解：$DF⊥BC$，理由如下：
$\because BE⊥CD$，
$\therefore ∠BEC=∠DEA=90°$，即$△ BCE$和$△ DAE$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△BCE$和$\mathrm{Rt}△DAE$中，
$\{\begin{array}{l}BC=DA\\ BE=DE\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△BCE ≌ \mathrm{Rt}△DAE(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠B=∠D$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△BCE$中，$∠B+∠C=90°$，
$\therefore$ 等量代换得$∠D+∠C=90°$，
$\therefore$ 在$△ CFD$中，$∠CFD=180°-(∠D+∠C)=90°$，
$\therefore DF⊥BC$。
【答案】
$DF⊥BC$
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心是通过证明直角三角形全等得到角的等量关系，再结合直角三角形的性质推导垂直关系，解题时要注意HL定理仅适用于直角三角形全等的判定，要熟练掌握全等三角形的判定和性质的综合应用方法。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠CAB的平分线,DE⊥AB于E,点F在边AC上,连结DF,DF=DB。
(1) 试说明∠B与∠AFD的数量关系。
(2) 若AB=8,AF=5,求BE的长。

9. （1）由已知,$∠C=∠DEB=\mathrm{Rt}∠$。因为 $AD$ 是$∠CAB$ 的角平分线,所以 $DC=DE$。又因为 $DF=DB$,所以 $\mathrm{Rt}△CDF ≌ \mathrm{Rt}△EDB$,所以$∠B=∠CFD$。因为$∠AFD+∠CFD=180°$,所以$∠AFD+∠B=180°$。
（2）由 $DC=DE,AD=AD,∠ACD=∠AED=90°$,得$△ACD ≌ △AED$,所以$AC=AE$。因为$△DCF ≌ △DEB$,所以$CF=BE$。所以 $AB=AE+BE=AC+BE=AF+CF+BE=AF+2BE$,即 $8=5+2BE$,解得 $BE=\dfrac{3}{2}$。

【分析】
（1）要探究∠B与∠AFD的数量关系，观察图形可知∠AFD与∠CFD是邻补角，只需证明∠B与∠CFD相等即可。已知AD是角平分线，∠C=90°、DE⊥AB，根据角平分线的性质可得DC=DE，结合已知DF=DB，可利用HL证明Rt△CDF≌Rt△EDB，得到角的等量关系，再结合邻补角的性质即可得出结论。
（2）要求BE的长，需将BE和已知的AF、AB建立等量关系。首先利用HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得AC=AE，再结合（1）中的全等结论得CF=BE，将AB拆分为AE+BE，替换为AC+BE，再将AC拆分为AF+CF，代入CF=BE后即可得到AB与AF、BE的关系式，代入数值计算即可。
【解析】
（1）
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠DEB=90°。
∵AD是∠CAB的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DC=DE。
在$\mathrm{Rt}△CDF$和$\mathrm{Rt}△EDB$中，$\{\begin{array}{l}DC=DE\\ DF=DB\end{array} $，
∴$\mathrm{Rt}△CDF ≌ \mathrm{Rt}△EDB$（HL），
∴∠B=∠CFD。
又
∵∠AFD+∠CFD=180°，
∴∠AFD+∠B=180°。
（2）在$\mathrm{Rt}△ACD$和$\mathrm{Rt}△AED$中，$\{\begin{array}{l}DC=DE\\ AD=AD\end{array} $，
∴$\mathrm{Rt}△ACD ≌ \mathrm{Rt}△AED$（HL），
∴AC=AE。
由（1）中$\mathrm{Rt}△CDF ≌ \mathrm{Rt}△EDB$，可得CF=BE。
∵AB=AE+BE，将AE替换为AC，得AB=AC+BE，
又
∵AC=AF+CF，CF=BE，
∴AB=AF+CF+BE=AF+2BE。
将AB=8，AF=5代入，得$8=5+2BE$，
解得$BE=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠AFD + ∠B = 180°}$；
（2）$\boldsymbol{BE=\dfrac{3}{2}}$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题重点考察直角三角形全等的判定与性质、角平分线性质的应用，解题的核心是通过证明全等三角形实现边角的等量代换，掌握HL定理的适用条件是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7