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5. 已知:如图,$∠ C=∠ D=90°$,$AC=AD$。求证:
(1) $∠ ABC=∠ ABD$；
(2) $BC=BD$。
(1) $∠ ABC=∠ ABD$；
(2) $BC=BD$。
答案
5. （1）因为$∠C=∠D=90°,AC=AD$,所以$∠ABD=∠ABC$。
（2）因为$∠C=∠D=90°,AC=AD,AB=AB$,所以 $\mathrm{Rt}△ABD ≌ \mathrm{Rt}△ABC$,所以$BC=BD$。
（2）因为$∠C=∠D=90°,AC=AD,AB=AB$,所以 $\mathrm{Rt}△ABD ≌ \mathrm{Rt}△ABC$,所以$BC=BD$。
解析
【分析】
要证明∠ABC=∠ABD和BC=BD，可通过证明两角、两边所在的三角形全等推导。观察图形可知，待证的角和边分别属于Rt△ABC和Rt△ABD，已知两个三角形均为直角三角形，有一组直角边AC=AD，还有公共斜边AB，可先依据直角三角形全等的HL判定定理证明两个三角形全等，再结合全等三角形的性质即可得到对应结论。
【解析】
(1) 证明：
∵∠C=∠D=90°，
∴△ABC和△ABD都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△ABD中，
$\{\begin{array}{l}AC=AD(\mathrm{已知})\\ AB=AB(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△ABC ≌ \mathrm{Rt}△ABD(\mathrm{HL})$，
根据全等三角形对应角相等，可得∠ABC=∠ABD。
(2) 证明：
由(1)已证$\mathrm{Rt}△ABC ≌ \mathrm{Rt}△ABD$，根据全等三角形对应边相等，可得BC=BD。
【答案】
（1）因为$∠C=∠D=90°,AC=AD$,所以$∠ABD=∠ABC$。
（2）因为$∠C=∠D=90°,AC=AD,AB=AB$,所以 $\mathrm{Rt}△ABD ≌ \mathrm{Rt}△ABC$,所以$BC=BD$。
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题关键是找到两个直角三角形的公共斜边，结合已知直角边相等的条件用HL判定全等，熟练掌握相关定理即可快速完成证明，能有效巩固直角三角形全等及全等性质的相关知识。
【难度系数】
0.85
要证明∠ABC=∠ABD和BC=BD，可通过证明两角、两边所在的三角形全等推导。观察图形可知，待证的角和边分别属于Rt△ABC和Rt△ABD，已知两个三角形均为直角三角形，有一组直角边AC=AD，还有公共斜边AB，可先依据直角三角形全等的HL判定定理证明两个三角形全等，再结合全等三角形的性质即可得到对应结论。
【解析】
(1) 证明：
∵∠C=∠D=90°，
∴△ABC和△ABD都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△ABD中，
$\{\begin{array}{l}AC=AD(\mathrm{已知})\\ AB=AB(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△ABC ≌ \mathrm{Rt}△ABD(\mathrm{HL})$，
根据全等三角形对应角相等，可得∠ABC=∠ABD。
(2) 证明：
由(1)已证$\mathrm{Rt}△ABC ≌ \mathrm{Rt}△ABD$，根据全等三角形对应边相等，可得BC=BD。
【答案】
（1）因为$∠C=∠D=90°,AC=AD$,所以$∠ABD=∠ABC$。
（2）因为$∠C=∠D=90°,AC=AD,AB=AB$,所以 $\mathrm{Rt}△ABD ≌ \mathrm{Rt}△ABC$,所以$BC=BD$。
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题关键是找到两个直角三角形的公共斜边，结合已知直角边相等的条件用HL判定全等，熟练掌握相关定理即可快速完成证明，能有效巩固直角三角形全等及全等性质的相关知识。
【难度系数】
0.85
6. 如图，∠C=90°,AC=10,BC=5。AX⊥AC,点P和点Q从点A出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ。当点P运动到AP=
5 或 10
时,△ABC与△APQ全等。答案
6. 5 或 10
解析
【分析】
本题考查直角三角形全等的HL判定，解题时先确定两个三角形均为直角三角形，已知斜边AB=PQ，根据HL定理，只需一组直角边对应相等即可判定全等；由于对应边未明确给出，需分两种情况讨论：第一种是AP与BC对应相等，第二种是AP与AC对应相等，分别计算AP的长度即可。
【解析】
解：
∵AX⊥AC，
∴∠PAQ=90°，
又
∵∠C=90°，
∴△ABC和△APQ均为直角三角形。
分两种情况讨论：
① 当AP=BC时：
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
$\{\begin{array}{l}AB=PQ\\ BC=AP\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），此时AP=BC=5；
② 当AP=AC时：
在Rt△ABC和Rt△PQA中，
$\{\begin{array}{l}AB=PQ\\ AC=AP\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），此时AP=AC=10。
综上，当AP为5或10时，△ABC与△APQ全等。
【答案】
5或10
【知识点】
直角三角形全等判定；分类讨论思想
【点评】
本题是全等三角形判定的常见题型，解题关键是熟练掌握直角三角形全等的HL判定定理，易错点是忽略全等对应边的多种情况，未进行分类讨论导致漏解。
【难度系数】
0.6
本题考查直角三角形全等的HL判定，解题时先确定两个三角形均为直角三角形，已知斜边AB=PQ，根据HL定理，只需一组直角边对应相等即可判定全等；由于对应边未明确给出，需分两种情况讨论：第一种是AP与BC对应相等，第二种是AP与AC对应相等，分别计算AP的长度即可。
【解析】
解：
∵AX⊥AC，
∴∠PAQ=90°，
又
∵∠C=90°，
∴△ABC和△APQ均为直角三角形。
分两种情况讨论：
① 当AP=BC时：
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
$\{\begin{array}{l}AB=PQ\\ BC=AP\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），此时AP=BC=5；
② 当AP=AC时：
在Rt△ABC和Rt△PQA中，
$\{\begin{array}{l}AB=PQ\\ AC=AP\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），此时AP=AC=10。
综上，当AP为5或10时，△ABC与△APQ全等。
【答案】
5或10
【知识点】
直角三角形全等判定；分类讨论思想
【点评】
本题是全等三角形判定的常见题型，解题关键是熟练掌握直角三角形全等的HL判定定理，易错点是忽略全等对应边的多种情况，未进行分类讨论导致漏解。
【难度系数】
0.6
7. 已知:如图,BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D,BE和CD交于点F,BD=CE。求证:点F在∠A的平分线上。
答案
7. 因为$BE⊥AC,CD⊥AB$,所以$∠BDF=∠CEF$。又因为$∠BFD=∠CFE,BD=CE$,所以$△BFD ≌ △CFE$,所以$DF=EF$。所以点$F$在$∠A$ 的平分线上。
解析
【分析】
要证明点F在∠A的平分线上，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点F到AB、AC的距离DF和EF相等即可。观察图形可知DF在△BDF中，EF在△CEF中，已知BD=CE，结合BE⊥AC、CD⊥AB可得两个三角形的对应直角相等，再加上一组对顶角相等，可通过AAS证明两个三角形全等，由全等三角形对应边相等即可得到DF=EF，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵ BE⊥AC，CD⊥AB，
∴ ∠BDF = ∠CEF = 90°，
又
∵ ∠BFD和∠CFE是对顶角，
∴ ∠BFD = ∠CFE，
在△BFD和△CFE中：
$\{\begin{array}{l}∠BDF=∠CEF \\∠BFD=∠CFE \\BD=CE\end{array} $
∴ △BFD ≌ △CFE（AAS），
∴ DF = EF，
∵ DF⊥AB，EF⊥AC，即点F到∠A两边的距离相等，
∴ 点F在∠A的平分线上。
【答案】
因为$BE⊥AC,CD⊥AB$,所以$∠BDF=∠CEF$。又因为$∠BFD=∠CFE,BD=CE$,所以$△BFD ≌ △CFE$,所以$DF=EF$。所以点$F$在$∠A$ 的平分线上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查角平分线判定的应用，解题关键是通过三角形全等得到点到角两边的距离相等，需要熟练掌握全等三角形的判定方法，区分角平分线的性质和判定的适用场景。
【难度系数】
0.7
要证明点F在∠A的平分线上，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点F到AB、AC的距离DF和EF相等即可。观察图形可知DF在△BDF中，EF在△CEF中，已知BD=CE，结合BE⊥AC、CD⊥AB可得两个三角形的对应直角相等，再加上一组对顶角相等，可通过AAS证明两个三角形全等，由全等三角形对应边相等即可得到DF=EF，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵ BE⊥AC，CD⊥AB，
∴ ∠BDF = ∠CEF = 90°，
又
∵ ∠BFD和∠CFE是对顶角，
∴ ∠BFD = ∠CFE，
在△BFD和△CFE中：
$\{\begin{array}{l}∠BDF=∠CEF \\∠BFD=∠CFE \\BD=CE\end{array} $
∴ △BFD ≌ △CFE（AAS），
∴ DF = EF，
∵ DF⊥AB，EF⊥AC，即点F到∠A两边的距离相等，
∴ 点F在∠A的平分线上。
【答案】
因为$BE⊥AC,CD⊥AB$,所以$∠BDF=∠CEF$。又因为$∠BFD=∠CFE,BD=CE$,所以$△BFD ≌ △CFE$,所以$DF=EF$。所以点$F$在$∠A$ 的平分线上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查角平分线判定的应用，解题关键是通过三角形全等得到点到角两边的距离相等，需要熟练掌握全等三角形的判定方法，区分角平分线的性质和判定的适用场景。
【难度系数】
0.7
