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1. 如图，最适合用“HL”定理判定$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$全等的条件是（
A.$AC=DF,BC=EF$
B.$∠ A=∠ D,AB=DE$
C.$AC=DF,AB=DE$
D.$∠ B=∠ E,BC=EF$
C
）。A.$AC=DF,BC=EF$
B.$∠ A=∠ D,AB=DE$
C.$AC=DF,AB=DE$
D.$∠ B=∠ E,BC=EF$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先明确题干要求：用“HL”定理判定两个直角三角形全等，先回忆HL定理的适用条件：HL仅适用于直角三角形，需满足两个三角形的斜边对应相等，且一条直角边也对应相等。首先确定两个直角三角形的边：Rt△ABC中∠C为直角，斜边是AB，直角边为AC、BC；Rt△DEF中∠F为直角，斜边是DE，直角边为DF、EF。接下来逐一分析选项，筛选出同时满足斜边相等、一组直角边相等的选项即可。
【解析】
“HL”定理指的是：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
我们逐个分析选项：
A. $AC=DF$，$BC=EF$，是两条直角边对应相等，可通过“SAS”判定全等，不符合HL的要求，故A错误；
B. $∠A=∠D$，$AB=DE$，结合$∠ C=∠ F=90°$，可通过“AAS”判定全等，不符合HL的要求，故B错误；
C. $AC=DF$（一组直角边相等），$AB=DE$（一组斜边相等），完全符合HL定理的判定条件，故C正确；
D. $∠B=∠E$，$BC=EF$，结合$∠ C=∠ F=90°$，可通过“ASA”判定全等，不符合HL的要求，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
HL判定定理；全等三角形判定
【点评】
本题核心考查对HL定理的理解，要注意HL是直角三角形特有的全等判定方法，使用时要准确区分直角边和斜边，避免和普通三角形的全等判定方法混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题干要求：用“HL”定理判定两个直角三角形全等，先回忆HL定理的适用条件：HL仅适用于直角三角形，需满足两个三角形的斜边对应相等，且一条直角边也对应相等。首先确定两个直角三角形的边：Rt△ABC中∠C为直角，斜边是AB，直角边为AC、BC；Rt△DEF中∠F为直角，斜边是DE，直角边为DF、EF。接下来逐一分析选项，筛选出同时满足斜边相等、一组直角边相等的选项即可。
【解析】
“HL”定理指的是：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
我们逐个分析选项：
A. $AC=DF$，$BC=EF$，是两条直角边对应相等，可通过“SAS”判定全等，不符合HL的要求，故A错误；
B. $∠A=∠D$，$AB=DE$，结合$∠ C=∠ F=90°$，可通过“AAS”判定全等，不符合HL的要求，故B错误；
C. $AC=DF$（一组直角边相等），$AB=DE$（一组斜边相等），完全符合HL定理的判定条件，故C正确；
D. $∠B=∠E$，$BC=EF$，结合$∠ C=∠ F=90°$，可通过“ASA”判定全等，不符合HL的要求，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
HL判定定理；全等三角形判定
【点评】
本题核心考查对HL定理的理解，要注意HL是直角三角形特有的全等判定方法，使用时要准确区分直角边和斜边，避免和普通三角形的全等判定方法混淆。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，垂足分别是$E$，$F$。下列结论中，不正确的是(
A.$DA$平分$∠ EDF$
B.$AE=AF$
C.$AD$上任一点$P$到$AB$，$AC$的距离相等
D.$AB$，$AC$上的点到$AD$的距离相等
D
)。A.$DA$平分$∠ EDF$
B.$AE=AF$
C.$AD$上任一点$P$到$AB$，$AC$的距离相等
D.$AB$，$AC$上的点到$AD$的距离相等
答案
2. D
解析
【分析】
解题时先结合已知条件：△ABC是等腰三角形，AD为角平分线，DE、DF分别垂直AB、AC，先通过全等三角形判定证明△AED≌△AFD，再结合角平分线的性质、等腰三角形的性质逐个验证四个选项，找出错误结论即可。
【解析】
已知AB=AC，AD是△ABC的角平分线，因此∠EAD=∠FAD。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°。
在△AED和△AFD中：
$\{\begin{array}{l}∠ AED=∠ AFD\\ ∠ EAD=∠ FAD\\ AD=AD\end{array} $
∴△AED≌△AFD（AAS）。
对选项A：由全等得∠ADE=∠ADF，即DA平分∠EDF，结论正确；
对选项B：由全等得对应边AE=AF，结论正确；
对选项C：AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，因此AD上任一点P到AB、AC的距离相等，结论正确；
对选项D：AB、AC上的点到AD的距离不一定相等，仅对称的对应点到AD的距离相等，并非所有AB、AC上的点都满足，结论错误。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何辨析题，需要准确掌握角平分线、等腰三角形的相关性质，注意区分“角平分线上的点到角两边距离相等”和“角两边上的点到角平分线距离相等”的不同逻辑，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件：△ABC是等腰三角形，AD为角平分线，DE、DF分别垂直AB、AC，先通过全等三角形判定证明△AED≌△AFD，再结合角平分线的性质、等腰三角形的性质逐个验证四个选项，找出错误结论即可。
【解析】
已知AB=AC，AD是△ABC的角平分线，因此∠EAD=∠FAD。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°。
在△AED和△AFD中：
$\{\begin{array}{l}∠ AED=∠ AFD\\ ∠ EAD=∠ FAD\\ AD=AD\end{array} $
∴△AED≌△AFD（AAS）。
对选项A：由全等得∠ADE=∠ADF，即DA平分∠EDF，结论正确；
对选项B：由全等得对应边AE=AF，结论正确；
对选项C：AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，因此AD上任一点P到AB、AC的距离相等，结论正确；
对选项D：AB、AC上的点到AD的距离不一定相等，仅对称的对应点到AD的距离相等，并非所有AB、AC上的点都满足，结论错误。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何辨析题，需要准确掌握角平分线、等腰三角形的相关性质，注意区分“角平分线上的点到角两边距离相等”和“角两边上的点到角平分线距离相等”的不同逻辑，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在△ABC中,AB=AC,AE是经过点A的一条直线,且B,C在AE的两侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E。若AD=CE,则∠BAC的度数是(
A.$45°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
C
)。A.$45°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：BD、CE都垂直于AE，可得△ABD和△CAE都是直角三角形；已知AB=AC、AD=CE，符合直角三角形全等的HL判定条件，因此先证两个直角三角形全等；再利用全等三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余的特点，将角进行等量代换，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠E=90°，即△ABD和△CAE均为直角三角形。
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\AD=CE\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），
∴∠BAD=∠ACE。
∵在Rt△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，即∠BAC=90°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1.直角三角形全等的判定（HL）
2.全等三角形的性质
3.直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是通过直角三角形全等实现角的等量转化，熟练掌握全等判定定理和直角三角形的性质是快速解题的关键，这类题型是全等三角形应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：BD、CE都垂直于AE，可得△ABD和△CAE都是直角三角形；已知AB=AC、AD=CE，符合直角三角形全等的HL判定条件，因此先证两个直角三角形全等；再利用全等三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余的特点，将角进行等量代换，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠E=90°，即△ABD和△CAE均为直角三角形。
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\AD=CE\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），
∴∠BAD=∠ACE。
∵在Rt△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，即∠BAC=90°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1.直角三角形全等的判定（HL）
2.全等三角形的性质
3.直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是通过直角三角形全等实现角的等量转化，熟练掌握全等判定定理和直角三角形的性质是快速解题的关键，这类题型是全等三角形应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
4. 已知:如图,BE,CD分别是△ABC的高线,且$BD=CE$。求证:$△ ABC$为等腰三角形。
答案
4. 由$CD ⊥ AB,BE ⊥ AC,BD = CE,BC = CB$,可证 $\mathrm{Rt}△BCD ≌ \mathrm{Rt}△CBE$,所以$∠ABC=∠ACB$,所以$△ABC$ 为等腰三角形。
解析
【分析】
要证明△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形的判定，只需证∠ABC=∠ACB即可。已知CD、BE是△ABC的高线，可知△BCD和△CBE均为直角三角形，结合已知BD=CE，以及两个三角形的公共边BC，可通过HL定理证明这两个直角三角形全等，再由全等三角形对应角相等得到∠ABC=∠ACB，即可得出结论。
【解析】
证明：
∵ CD、BE分别是△ABC的高线，
∴ $CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，即$∠ CDB = ∠ BEC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$和$\mathrm{Rt}△CBE$中：
$\begin{cases}BD = CE（已知） \\BC = CB（公共边）\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△BCD ≌ \mathrm{Rt}△CBE$（HL），
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$（全等三角形对应角相等），
∴ $AB = AC$（等角对等边），即△ABC为等腰三角形。
【答案】
△ABC为等腰三角形
【知识点】
HL定理，全等三角形的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查直角三角形全等的判定、全等三角形的性质以及等腰三角形的判定，解题的关键是挖掘题中的隐含条件（公共边），结合已知条件证明三角形全等，进而推导得到角相等完成判定。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形的判定，只需证∠ABC=∠ACB即可。已知CD、BE是△ABC的高线，可知△BCD和△CBE均为直角三角形，结合已知BD=CE，以及两个三角形的公共边BC，可通过HL定理证明这两个直角三角形全等，再由全等三角形对应角相等得到∠ABC=∠ACB，即可得出结论。
【解析】
证明：
∵ CD、BE分别是△ABC的高线，
∴ $CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，即$∠ CDB = ∠ BEC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$和$\mathrm{Rt}△CBE$中：
$\begin{cases}BD = CE（已知） \\BC = CB（公共边）\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△BCD ≌ \mathrm{Rt}△CBE$（HL），
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$（全等三角形对应角相等），
∴ $AB = AC$（等角对等边），即△ABC为等腰三角形。
【答案】
△ABC为等腰三角形
【知识点】
HL定理，全等三角形的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查直角三角形全等的判定、全等三角形的性质以及等腰三角形的判定，解题的关键是挖掘题中的隐含条件（公共边），结合已知条件证明三角形全等，进而推导得到角相等完成判定。
【难度系数】
0.8
