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9. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”。
（1）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=2\sqrt{5}$，$BC=4$。求证：$△ ABC$是“美丽三角形”。
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4\sqrt{3}$。若$△ ABC$是“美丽三角形”，求$BC$的长。
（1）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=2\sqrt{5}$，$BC=4$。求证：$△ ABC$是“美丽三角形”。
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4\sqrt{3}$。若$△ ABC$是“美丽三角形”，求$BC$的长。
答案
9. （1）
过点 A 作 $AD⊥BC$ 于 D。因为 $AB=AC,AD⊥BC$,所以 $BD=\frac{1}{2}BC=2$。
由勾股定理,得 $AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=4$,
所以 $AD=BC$,即$△ ABC$ 是“美丽三角形”。
（2）
当 AC 边上的中线 BD 等于 AC 时，$BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=6$；
当 BC 边上的中线 AE 等于 BC 时，$AC^2=AE^2-CE^2$，
即 $BC^2-(\frac{1}{2}BC)^2=(4\sqrt{3})^2$,解得 $BC=8$。
综上所述，$BC$ 的长是 6 或 8。
解析
【分析】
（1）首先明确“美丽三角形”的判定规则：若三角形某一边上的中线长度等于这条边的长度，即可判定为美丽三角形。本题中△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，作BC边上的高AD，AD同时也是BC边上的中线，先求出BD的长度，再用勾股定理计算AD的长，判断AD是否等于BC即可完成证明。
（2）直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，不可能等于斜边长，因此只需分两种情况讨论：①AC边上的中线等于AC的长；②BC边上的中线等于BC的长，分别结合勾股定理列方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
（1） 过点A作$AD⊥BC$于D。
∵$AB=AC$，$AD⊥BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，AD是BC边上的中线，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=2$。
在$Rt△ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=4$，
∴$AD=BC$，即BC边上的中线长等于BC的长，
∴$△ABC$是“美丽三角形”。
（2） 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，不可能等于斜边长，因此分两种情况讨论：
①当AC边上的中线BD等于AC时：
$BD=AC=4\sqrt{3}$，D是AC中点，
∴$CD=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{3}$，
在$Rt△BCD$中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{48-12}=6$；
②当BC边上的中线AE等于BC时：
设$BC=x$，则$AE=BC=x$，E是BC中点，
∴$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{x}{2}$，
在$Rt△ACE$中，由勾股定理得：$AC^2+CE^2=AE^2$，即$(4\sqrt{3})^2+(\frac{x}{2})^2=x^2$，
整理得$48=\frac{3x^2}{4}$，解得$x=8$（边长为正，舍去负根）。
综上所述，BC的长为6或8。
【答案】
（1） 过点 A 作 $AD⊥BC$ 于 D。
因为 $AB=AC,AD⊥BC$,所以 $BD=\frac{1}{2}BC=2$。
由勾股定理,得 $AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=4$,
所以 $AD=BC$,即$△ ABC$ 是“美丽三角形”。
（2） 当 AC 边上的中线 BD 等于 AC 时，
$BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=6$；
当 BC 边上的中线 AE 等于 BC 时，$AC^2=AE^2-CE^2$，
即 $BC^2-(\frac{1}{2}BC)^2=(4\sqrt{3})^2$,解得 $BC=8$。
综上所述，$BC$ 的长是 6 或 8。
【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查三角形基础性质的应用，第一问利用等腰三角形三线合一的性质简化了中线的计算，第二问需要先排除斜边中线的情况，再分两类讨论求解，避免漏解，能有效考查对基础定理的掌握情况和思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确“美丽三角形”的判定规则：若三角形某一边上的中线长度等于这条边的长度，即可判定为美丽三角形。本题中△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，作BC边上的高AD，AD同时也是BC边上的中线，先求出BD的长度，再用勾股定理计算AD的长，判断AD是否等于BC即可完成证明。
（2）直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，不可能等于斜边长，因此只需分两种情况讨论：①AC边上的中线等于AC的长；②BC边上的中线等于BC的长，分别结合勾股定理列方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
（1）
过点A作$AD⊥BC$于D。∵$AB=AC$，$AD⊥BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，AD是BC边上的中线，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=2$。
在$Rt△ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=4$，
∴$AD=BC$，即BC边上的中线长等于BC的长，
∴$△ABC$是“美丽三角形”。
（2）
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，不可能等于斜边长，因此分两种情况讨论：①当AC边上的中线BD等于AC时：
$BD=AC=4\sqrt{3}$，D是AC中点，
∴$CD=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{3}$，
在$Rt△BCD$中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{48-12}=6$；
②当BC边上的中线AE等于BC时：
设$BC=x$，则$AE=BC=x$，E是BC中点，
∴$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{x}{2}$，
在$Rt△ACE$中，由勾股定理得：$AC^2+CE^2=AE^2$，即$(4\sqrt{3})^2+(\frac{x}{2})^2=x^2$，
整理得$48=\frac{3x^2}{4}$，解得$x=8$（边长为正，舍去负根）。
综上所述，BC的长为6或8。
【答案】
（1）
过点 A 作 $AD⊥BC$ 于 D。因为 $AB=AC,AD⊥BC$,所以 $BD=\frac{1}{2}BC=2$。
由勾股定理,得 $AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=4$,
所以 $AD=BC$,即$△ ABC$ 是“美丽三角形”。
（2）
当 AC 边上的中线 BD 等于 AC 时，$BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=6$；
当 BC 边上的中线 AE 等于 BC 时，$AC^2=AE^2-CE^2$，
即 $BC^2-(\frac{1}{2}BC)^2=(4\sqrt{3})^2$,解得 $BC=8$。
综上所述，$BC$ 的长是 6 或 8。
【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查三角形基础性质的应用，第一问利用等腰三角形三线合一的性质简化了中线的计算，第二问需要先排除斜边中线的情况，再分两类讨论求解，避免漏解，能有效考查对基础定理的掌握情况和思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
