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6.（多选题）若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列各图能证明勾股定理的是（
BCD
）。答案
6. BCD
解析
【分析】
判断图形能否证明勾股定理的核心方法是等面积法：用两种不同方式计算同一个图形的总面积，根据总面积相等列等式，若化简后可以得到$a^2+b^2=c^2$，即可证明勾股定理。我们逐个分析选项：首先排除无法推导得到$a^2+b^2=c^2$的选项A，再分别验证B、C、D的面积表达式，确认其化简后符合勾股定理形式。
【解析】
我们通过等面积法逐一验证：
1. 选项A：该图形的面积表达式化简后无法推导出$a^2+b^2=c^2$，不能证明勾股定理。
2. 选项B：大正方形边长为$c$，面积为$c^2$；同时它由4个全等的直角三角形（单个面积为$\frac{1}{2}ab$）和1个边长为$b-a$的小正方形组成，总面积也可表示为$4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$。
列等式：$c^2=2ab+a^2-2ab+b^2$，化简得$c^2=a^2+b^2$，可以证明勾股定理。
3. 选项C：大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；同时它由4个全等的直角三角形和1个边长为$c$的正方形组成，总面积也可表示为$4×\frac{1}{2}ab+c^2=2ab+c^2$。
列等式：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，消去$2ab$得$a^2+b^2=c^2$，可以证明勾股定理。
4. 选项D：这是勾股定理的总统证法，梯形上底为$a$、下底为$b$、高为$a+b$，面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)$；同时它由2个全等的直角三角形和1个直角边为$c$的等腰直角三角形组成，总面积也可表示为$2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$。
列等式：$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$，两边同乘2得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，化简得$a^2+b^2=c^2$，可以证明勾股定理。
【答案】
BCD
【知识点】
等面积法，勾股定理的证明
【点评】
本题考查勾股定理的常见证明思路，核心是掌握等面积法的应用，熟悉赵爽弦图、总统证法等经典勾股定理证明模型可以快速解题。
【难度系数】
0.7
判断图形能否证明勾股定理的核心方法是等面积法：用两种不同方式计算同一个图形的总面积，根据总面积相等列等式，若化简后可以得到$a^2+b^2=c^2$，即可证明勾股定理。我们逐个分析选项：首先排除无法推导得到$a^2+b^2=c^2$的选项A，再分别验证B、C、D的面积表达式，确认其化简后符合勾股定理形式。
【解析】
我们通过等面积法逐一验证：
1. 选项A：该图形的面积表达式化简后无法推导出$a^2+b^2=c^2$，不能证明勾股定理。
2. 选项B：大正方形边长为$c$，面积为$c^2$；同时它由4个全等的直角三角形（单个面积为$\frac{1}{2}ab$）和1个边长为$b-a$的小正方形组成，总面积也可表示为$4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$。
列等式：$c^2=2ab+a^2-2ab+b^2$，化简得$c^2=a^2+b^2$，可以证明勾股定理。
3. 选项C：大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；同时它由4个全等的直角三角形和1个边长为$c$的正方形组成，总面积也可表示为$4×\frac{1}{2}ab+c^2=2ab+c^2$。
列等式：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，消去$2ab$得$a^2+b^2=c^2$，可以证明勾股定理。
4. 选项D：这是勾股定理的总统证法，梯形上底为$a$、下底为$b$、高为$a+b$，面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)$；同时它由2个全等的直角三角形和1个直角边为$c$的等腰直角三角形组成，总面积也可表示为$2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$。
列等式：$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$，两边同乘2得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，化简得$a^2+b^2=c^2$，可以证明勾股定理。
【答案】
BCD
【知识点】
等面积法，勾股定理的证明
【点评】
本题考查勾股定理的常见证明思路，核心是掌握等面积法的应用，熟悉赵爽弦图、总统证法等经典勾股定理证明模型可以快速解题。
【难度系数】
0.7
7. 已知等腰三角形ABC的底边BC＝10 cm，D是腰AB上一点，CD⊥AB，且CD＝8 cm。求AC的长度。
答案
7. 因为 $CD⊥AB$,所以 $BD^2=BC^2-CD^2=36$,得 $BD=6$。设 $AD=x$,则 $AC=AB=x+6$,从而 $(x+6)^2-x^2=64$,解得 $x=\frac{7}{3}$,所以 $AC=\frac{25}{3}$。
解析
【分析】
解题时先观察图形，CD垂直AB，因此存在△BCD和△ACD两个直角三角形。首先在Rt△BCD中，已知BC和CD的长度，可先用勾股定理求出BD的长度。再结合△ABC是等腰三角形、腰AB=AC的性质，设AD的长度为x，即可用含x的式子表示AC的长度，最后在Rt△ACD中利用勾股定理列方程求解，就能得到AC的长度。
【解析】
解：
∵$CD⊥AB$，
∴$∠CDB=∠CDA=90°$，$△ BCD$与$△ ACD$均为直角三角形。
在$Rt△ BCD$中，$BC=10\mathrm{cm}$，$CD=8\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2-CD^2=10^2-8^2=36$，
∴$BD=6\mathrm{cm}$（线段长度为正，舍去负解）。
∵$△ ABC$是等腰三角形，底边为$BC$，
∴腰$AB=AC$。
设$AD=x\mathrm{cm}$，则$AB=AD+BD=(x+6)\mathrm{cm}$，即$AC=(x+6)\mathrm{cm}$。
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2+CD^2$，
代入得：$(x+6)^2=x^2+8^2$，
展开化简：$x^2+12x+36=x^2+64$，
消去$x^2$得：$12x=28$，
解得$x=\frac{7}{3}$。
∴$AC=x+6=\frac{7}{3}+6=\frac{25}{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{25}{3}\mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理；等腰三角形的性质；方程思想
【点评】
本题是勾股定理与等腰三角形性质的基础综合题，解题的关键是灵活运用勾股定理表示出两个直角三角形的边长关系，结合等腰三角形腰相等的特点建立方程求解，能有效锻炼学生的几何分析能力和数形结合思维。
【难度系数】
0.6
解题时先观察图形，CD垂直AB，因此存在△BCD和△ACD两个直角三角形。首先在Rt△BCD中，已知BC和CD的长度，可先用勾股定理求出BD的长度。再结合△ABC是等腰三角形、腰AB=AC的性质，设AD的长度为x，即可用含x的式子表示AC的长度，最后在Rt△ACD中利用勾股定理列方程求解，就能得到AC的长度。
【解析】
解：
∵$CD⊥AB$，
∴$∠CDB=∠CDA=90°$，$△ BCD$与$△ ACD$均为直角三角形。
在$Rt△ BCD$中，$BC=10\mathrm{cm}$，$CD=8\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2-CD^2=10^2-8^2=36$，
∴$BD=6\mathrm{cm}$（线段长度为正，舍去负解）。
∵$△ ABC$是等腰三角形，底边为$BC$，
∴腰$AB=AC$。
设$AD=x\mathrm{cm}$，则$AB=AD+BD=(x+6)\mathrm{cm}$，即$AC=(x+6)\mathrm{cm}$。
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2+CD^2$，
代入得：$(x+6)^2=x^2+8^2$，
展开化简：$x^2+12x+36=x^2+64$，
消去$x^2$得：$12x=28$，
解得$x=\frac{7}{3}$。
∴$AC=x+6=\frac{7}{3}+6=\frac{25}{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{25}{3}\mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理；等腰三角形的性质；方程思想
【点评】
本题是勾股定理与等腰三角形性质的基础综合题，解题的关键是灵活运用勾股定理表示出两个直角三角形的边长关系，结合等腰三角形腰相等的特点建立方程求解，能有效锻炼学生的几何分析能力和数形结合思维。
【难度系数】
0.6
8. 如图,将一个直立的火柴盒在桌面上横向倒下,火柴盒的一个侧面ABCD横倒后的位置为AB'C'D',连结CC'。设AB=a,BC=b,AC=c,利用梯形BCC'D'面积的不同算法可以说明勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$成立。请你尝试推导出勾股定理。
答案
8. 由题意可得 $\frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$,所以 $(a+b)^2=2ab+c^2$,所以 $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$,从而 $a^2+b^2=c^2$。
解析
【分析】
要通过梯形面积的不同算法推导勾股定理，首先先确定梯形BCC'D'的两种面积表示方式：第一种直接用梯形面积公式（上底+下底）×高÷2计算；第二种将梯形拆分为△ABC、△AC'C、△AB'C'三个三角形，分别计算三个三角形的面积再求和。令两种算法得到的面积相等，通过化简等式即可推导出勾股定理。
【解析】
解：由题意可知四边形BCC'D'是直角梯形，
∴ 梯形BCC'D'的上底$BC=b$，下底$C'D'=a$，高$D'B=AB+AD'=a+b$，
根据梯形面积公式得：
$S_{梯形BCC'D'}=\frac{1}{2}(BC+C'D')· D'B=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$。
又
∵ $Rt△ ABC ≌ Rt△ AB'C'$，
∴ $AC'=AC=c$，$∠ C'AB'=∠ CAB$，
∴ $∠ CAC'=∠ C'AB'+∠ CAB=90°$，即$△ CAC'$是直角三角形，
∴ 梯形BCC'D'的面积也可表示为三个三角形的面积和：
$S_{梯形BCC'D'}=S_{△ ABC}+S_{△ CAC'}+S_{△ AB'C'}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab=ab+\frac{1}{2}c^2$。
令两种方式的面积相等，得：
$\frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，
两边同乘2得：$(a+b)^2=2ab+c^2$，
展开左边得：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，
消去两边的$2ab$，最终得：$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
梯形面积计算；三角形面积计算；勾股定理证明
【点评】
本题是典型的等面积法证明勾股定理的题型，借助同一图形面积的不同表示方法建立等式，渗透了数形结合的思想，要求学生熟练掌握常见几何图形的面积公式，具备基本的代数化简能力。
【难度系数】
0.7
要通过梯形面积的不同算法推导勾股定理，首先先确定梯形BCC'D'的两种面积表示方式：第一种直接用梯形面积公式（上底+下底）×高÷2计算；第二种将梯形拆分为△ABC、△AC'C、△AB'C'三个三角形，分别计算三个三角形的面积再求和。令两种算法得到的面积相等，通过化简等式即可推导出勾股定理。
【解析】
解：由题意可知四边形BCC'D'是直角梯形，
∴ 梯形BCC'D'的上底$BC=b$，下底$C'D'=a$，高$D'B=AB+AD'=a+b$，
根据梯形面积公式得：
$S_{梯形BCC'D'}=\frac{1}{2}(BC+C'D')· D'B=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$。
又
∵ $Rt△ ABC ≌ Rt△ AB'C'$，
∴ $AC'=AC=c$，$∠ C'AB'=∠ CAB$，
∴ $∠ CAC'=∠ C'AB'+∠ CAB=90°$，即$△ CAC'$是直角三角形，
∴ 梯形BCC'D'的面积也可表示为三个三角形的面积和：
$S_{梯形BCC'D'}=S_{△ ABC}+S_{△ CAC'}+S_{△ AB'C'}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab=ab+\frac{1}{2}c^2$。
令两种方式的面积相等，得：
$\frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，
两边同乘2得：$(a+b)^2=2ab+c^2$，
展开左边得：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，
消去两边的$2ab$，最终得：$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
梯形面积计算；三角形面积计算；勾股定理证明
【点评】
本题是典型的等面积法证明勾股定理的题型，借助同一图形面积的不同表示方法建立等式，渗透了数形结合的思想，要求学生熟练掌握常见几何图形的面积公式，具备基本的代数化简能力。
【难度系数】
0.7
