1. (2024·江苏常州)已知在纸上画$∠ AOB$，将两把直尺按如图所示摆放，直尺边缘的交点$P$在$∠ AOB$的平分线上，则下列结论正确的是（ ）
A. $d_1$与$d_2$一定相等
B. $d_1$与$d_2$一定不相等
C. $l_1$与$l_2$一定相等
D. $l_1$与$l_2$一定不相等

A

2. (2024·四川绵阳)如图,在$△ ABC$中,
$AB=5,AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$,
$DE⊥ AC$,垂足为$E$,$△ ABD$的面积为$5$,
则$DE$的长为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5

B

3. 亮点原创·如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AD$是$∠ CAB$的平分线. 若$AC = 8\ \mathrm{cm}$，$S_{△ ACD}: S_{△ ABD}=4:5$，则$AB =$______$\mathrm{cm}$.

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4. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$AD$ 平分$∠ CAB$,$AC=6$,$BC=8$,$AB=10$,则 $CD=\underline{\hspace{5cm}}$.

3

5.（教材 P40 习题7变式）(2025·江苏常州期末)在$△ ABC$中，$∠ A = 70°$，点$O$在$△ ABC$内部，且到$AB,BC,AC$的距离相等，连接$BO,CO$，则$∠ BOC = \_\_\_\_\_\_°.$

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6. 如图, 在 $△ ABC$ 中, 点 $D$ 在边 $BC$ 上, $∠ BAD = 100°, ∠ ABC$ 的平分线交 $AC$ 于点 $E$, 过点 $E$ 作 $EF ⊥ AB$, 交 $BA$ 的延长线于点 $F$, 且 $∠ AEF = 50°$, 连接 $DE$.
(1) 求 $∠ CAD$ 的度数;
(2) 求证: $DE$ 平分 $∠ ADC$;
(3) 若 $AB = 7, AD = 4, CD = 8$, 且 $S_{△ ACD} = 15$, 求 $△ ABE$ 的面积.

; ​$(1)$​解：∵​$EF\perp AB，$​​$∠AEF = 50°$​∴​$∠F AE=90°-∠AEF = 40°$​∵​$∠BAD = 100°$​∴​$∠CAD=180°-∠BAD-∠F AE = 40°$​​$(2) $​证明：过点​$E$​作​$EG\perp AD$​于点​$G，$​​$EH\perp BC$​于点​$H$​由​$(1)$​得​$∠F AE=∠CAD = 40°，$​∴​$AE$​平分​$∠DAF$​又​$EF\perp AF，$​∴​$EF = EG$​∵​$BE$​平分​$∠ABC，$​∴​$EF = EH$​∴​$EG = EH，$​即​$DE$​平分​$∠ADC$​​$(3)$​解：∵​$S_{\triangle ACD}=15$​∴​$S_{\triangle ADE}+S_{\triangle CDE}=15$​即​$\frac 12\ \mathrm {A}D·EG+\frac 12CD·EH = 15$​由​$(2)，$​得​$EF = EG = EH，$​且​$CD = 8，$​​$AD = 4$​∴​$\frac 12×4EG+\frac 12×8EG = 15，$​解得​$EG=\frac 52$​∴​$EF = EG=\frac 52$​又​$AB = 7$​∴​$\triangle ABE$​的面积为​$\frac 12\ \mathrm {A}B·EF=\frac {35}4$​

7. * 如图，直线 $ l_1, l_2, l_3 $ 表示三条相互交叉的公路.现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有
（ ）

A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处

D