8. (2025·江苏盐城模拟)如图，E，F，G，Q，H 五点在同一条直线上，且 $ EF = GH $。已知按如图所作的直线 $ l $ 是线段 $ FG $ 的垂直平分线，则下列说法正确的是 （ ）
A. 直线 $ l $ 是线段 $ EH $ 的垂直平分线
B. 直线 $ l $ 是线段 $ EQ $ 的垂直平分线
C. 直线 $ l $ 是线段 $ FH $ 的垂直平分线
D. $ EH $ 是直线 $ l $ 的垂直平分线

A

9. (2025·江苏苏州期末)如图，$AB=CD$，线段$AC$的垂直平分线与线段$BD$的垂直平分线相交于点$E$，连接$BE$，$DE$。若$∠ ABE=65°$，则$∠ CDE$的度数为（ ）
A. $50°$
B. $65°$
C. $70°$
D. $80°$

B

10. 如图,直线 $ m $ 是$△ ABC$中边 $ BC $ 的垂直平分线, $ P $ 是直线 $ m $ 上一动点,连接 $ PA,PB,PC $.若 $ AB=8,AC=7,BC=9 $,则$△ APC$周长的最小值是 ______.

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11.* 如图,在$△ ABC$中,$AC=12$,$BC=8$,$D$是$AB$的中点,$DE ⊥ AB$,$EF ⊥ AC$于点$F$,连接$CE$.若$∠ ACE + ∠ BCE = 180°$,则$AF=$______.

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12. 新趋势 推导探究 在$△ ABC$中，$∠ ACB$是钝角，点$P$在边$BC$的垂直平分线上，连接$PB,PA.$
（1）如图①，若点$P$也在边$AC$的垂直平分线上，且$∠ ACB = 110°$，求$∠ APB$的度数；
（2）如图②，延长$CA$至点$M$，若点$P$也在$∠ BAM$的平分线上，过点$P$作$PH ⊥ AB$于点$H$，试找出线段$AB,AH,AC$之间的数量关系，并说明理由.

;
; 解：​$(1) $​连接​$P C$​∵点​$P $​在边​$BC$​的垂直平分线上∴​$P B = P C，$​∴​$\triangle P BC$​是等腰三角形∴​$∠P BC = ∠P CB$​同理，得​$∠P AC = ∠P CA$​∴​$∠P BC + ∠P AC = ∠P CB + ∠P CA=∠ACB$​又​$∠ACB = 110°$​∴​$∠AP B = 360°-(∠P BC + ∠P AC+∠ACB)$​​$=360°-2∠ACB = 140°$​​$(2) $​线段​$AB，$​​$AH，$​​$AC$​之间的数量关系是​$AB = AC + 2\ \mathrm {A}H$​理由如下：过点​$P $​作​$PD\perp AM$​于点​$D，$​连接​$P C$​∵点​$P $​在​$∠BAM$​的平分线上∴​$∠P AH = ∠P AD$​又​$PH\perp AB，$​​$P D\perp AM$​∴​$∠AHP = ∠ADP = 90°$​在​$\triangle P AH$​和​$\triangle P AD$​中​$\begin {cases}∠AHP = ∠ADP\\∠P AH = ∠P AD\\P A = P A\end {cases}$​∴​$\triangle P AH≌\triangle P AD(\mathrm {AAS})$​∴​$AH = AD，$​​$PH = P D$​∵点​$P $​在边​$BC$​的垂直平分线上∴​$P B = P C$​在​$Rt\triangle P BH$​和​$Rt\triangle P CD$​中​$\begin {cases}PH = P D\\P B = P C\end {cases}$​∴​$Rt\triangle P BH≌ Rt\triangle P CD(\mathrm {HL})$​∴​$BH = CD$​∴​$AB - AH = AC + AD，$​即​$AB = AC + 2\ \mathrm {A}H$​

13. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC＞90°$,$AB$的垂直平分线交$AB$于点$D$,交$BC$于点$E$,$AC$的垂直平分线交$AC$于点$F$,交$BC$于点$G$.若以$BE$,$EG$,$CG$为三边的三角形的面积为$8$,则$△ ABC$的面积可能是（ ）
A. $12$
B. $14$
C. $16$
D. $18$

(第13题)

(第14题)

D

14. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BC=4$,$△ ABC$的面积是16,边$AC$的垂直平分线$EF$分别交边$AC$,$AB$于$E$,$F$两点.若$D$为边$BC$的中点,$M$为线段$EF$上一动点,连接$CM$,$DM$,则$△ CDM$周长的最小值为$\underline{\hspace{5em}}$.

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