8. 新素养 运算能力 已知$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线$CP$与内角$∠ ABC$的平分线$BP$相交于点$P$，连接$AP$。若$∠ BPC=40°$，则$∠ CAP$的度数是（ ）
A. $30°$
B. $40°$
C. $50°$
D. $60°$

C

9. 已知$△ ABC$的两条内角平分线相交于点$D$，过点$D$作一条平分$△ ABC$面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是______．

$1:1$

10. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $E$ 为 $AC$ 的中点, $AD$ 平分 $∠ BAC, BA: CA=3: 4, AD$ 与 $BE$ 相交于点 $O$. 若 $△ OAE$ 的面积比 $△ BOD$ 的面积大 2, 则 $△ ABC$ 的面积是 ______.

(第 10 题)

(第 11 题)

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11. 如图，$AE$ 是$∠ CAM$ 的平分线，点 $B$ 在射线 $AM$ 上，线段 $BC$ 的垂直平分线分别交 $BC$，$AE$ 于 $D$，$E$ 两点，过点 $E$ 作 $EF ⊥ AM$ 于点 $F$，连接 $BE$。若$∠ ACB=28°$，$∠ EBD=25°$，则$∠ AED$ 的度数为______。

$37^{\circ}$

12. 新素养 应用意识 (2025·江苏南京期末)已知C是∠MAN的平分线上一点，∠BCD的两边CB，CD分别与射线AM，AN相交于B，D两点，且∠ABC + ∠ADC = 180°，过点C作CE⊥AM，垂足为E.
(1) 如图①，当点E在线段AB上时，求证：BC = DC；
(2) 如图②，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
(3) 如图③，在(2)的条件下，若∠MAN = 60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长，交AB于点G.若BG = 1，DF = 2，求线段DB的长.

; ​$(1) $​证明：过点​$C$​作​$CK\perp AN，$​垂足为​$K$​则​$∠CKD = 90°$​∵​$AC$​平分​$∠MAN，$​​$CE\perp AM$​∴​$CK = CE，$​​$∠CEB = 90°$​∴​$∠CEB=∠CKD$​∵​$∠ABC+∠ADC = 180°，$​​$∠CDK+∠ADC = 180°$​∴​$∠ABC=∠CDK，$​即​$∠CBE=∠CDK$​在​$\triangle BCE$​和​$\triangle DCK$​中​$\begin {cases}∠CBE=∠CDK\\∠CEB=∠CKD\\CE = CK\end {cases}$​∴​$\triangle BCE≌\triangle DCK(\mathrm {AAS})$​∴​$BC = DC$​解：​$(2) $​过点​$C$​作​$CP\perp AD，$​垂足为​$P$​由​$(1)$​得​$CP = CE，$​​$∠CP D=∠CEB = 90°$​在​$Rt\triangle ACP $​和​$Rt\triangle ACE$​中​$\begin {cases}CP = CE\\AC = AC\end {cases}$​∴​$Rt\triangle ACP≌ Rt\triangle ACE(\mathrm {HL})$​∴​$AP = AE$​∵​$∠ABC+∠ADC = 180°，$​​$∠ABC+∠CBE = 180°$​∴​$∠ADC=∠CBE，$​即​$∠CDP=∠CBE$​由​$(1)$​得​$\triangle BCE≌\triangle DCP(\mathrm {AAS})$​∴​$BE = DP$​∴​$AD = AP+DP = AE + BE=AB + 2BE。$​​$AB、$​​$AD$​与​$BE$​之间的数量关系为​$AD = AB + 2BE$​​$(3) $​在​$BD$​上截取​$BH = BG，$​连接​$OH$​∵​$BF $​平分​$∠ABD，$​∴​$∠OBG=∠OBH$​在​$\triangle OBH$​和​$\triangle OBG $​中​$\begin {cases}BH = BG\\∠OBH=∠OBG\\OB = OB\end {cases}$​∴​$\triangle OBH≌\triangle OBG(S AS)$​∴​$∠OHB=∠OG B，$​​$∠BOH=∠BOG$​又​$AO，$​​$BO$​分别平分​$∠MAN，$​​$∠ABD$​∴点​$O$​到​$AD，$​​$AB，$​​$BD$​的距离相等∴​$OD$​平分​$∠ADB，$​即​$∠ODH=∠ODF$​∵​$∠OHB=∠ODH+∠DOH，$​​$∠OG B=∠ODF+∠DAB$​∴​$∠DOH=∠DAB$​又​$∠MAN = 60°$​∴​$∠DAB = 60°，$​即​$∠DOH = 60°$​又​$∠GOH+∠DOH = 180°$​∴​$∠GOH=180°-∠DOH = 120°$​又​$∠BOG+∠BOH=∠GOH$​∴​$∠BOG=∠BOH = 60°$​∴​$∠DOF=∠BOG = 60°，$​即​$∠DOH=∠DOF$​在​$\triangle ODH$​和​$\triangle ODF $​中​$\begin {cases}∠ODH=∠ODF\\OD = OD\\∠DOH=∠DOF\end {cases}$​∴​$\triangle ODH≌\triangle ODF(AS A)$​∴​$DH = DF$​∴​$DB = DH+BH=DF + BG$​又​$BG = 1，$​​$DF = 2，$​∴​$DB = 3$​

13. 如图，BD是$△ ABC$的外角$∠ ABP$的平分线，$DA = DC$，$DE ⊥ BP$于点$E$. 若$AB=5$，$BC=3$，则$BE$的长为 （ ）
A. 2
B. 1.5
C. 1
D. 0.5


（第13题）
（第14题）

C

14. (2025·江苏泰州期末)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC = 90°$,$AB = 5$,$BC = 12$,$AC = 13$,$∠ BAC$与$∠ ACB$的平分线相交于点$D$,$M,N$两点分别在边$AB,BC$上,且$∠ MDN = 45°$,连接$MN$,则$△ BMN$的周长为______.

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