1. 新趋势 推导探究 同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
(1) 已知直线 $ AB // CD $. 如图①，当点 $ P $ 在 $ AB $，$ CD $ 外部时，由 $ AB // CD $，得 $ ∠ B = ∠ BOD $. 又 $ ∠ BOD $ 是 $ △ POD $ 的外角，所以 $ ∠ BOD = ∠ BPD + ∠ D $，所以 $ ∠ BPD = ∠ B - ∠ D $. 如图②，将点 $ P $ 移到 $ AB $，$ CD $ 内部，上述结论是否成立？若不成立，则 $ ∠ BPD $，$ ∠ B $，$ ∠ D $ 之间有何种数量关系？请说明理由；
(2) 如图③，将直线 $ AB $ 绕点 $ B $ 按逆时针方向旋转一定角度交直线 $ CD $ 于点 $ Q $，则 $ ∠ BPD $，$ ∠ B $，$ ∠ D $，$ ∠ BQD $ 之间有何种数量关系？请说明理由；
(3) 根据(2)的结论，求图④中 $ ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F $ 的度数.

1. （1）不成立，$∠ BPD=∠ B+∠ D$，理由如下：延长
BP 交 CD 于点 H。因为$AB// CD$，所以$∠ B=∠ BHD$，因为$∠ BPD$是$△ PDH$的外角，所以$∠ BPD=∠ BHD+∠ D$，所以$∠ BPD=∠ B+∠ D$。
（2）$∠ BPD=∠ B+∠ D+∠ BQD$，理由如下：延长 BP 交 CD 于点 N。因为$∠ BND$是$△ BQN$的外角，$∠ BPD$是$△ PDN$的外角，所以$∠ BND=∠ B+∠ BQD$，$∠ BPD=∠ BND+∠ D$，所以$∠ BPD=∠ B+∠ D+∠ BQD$。
（3）由（2）的结论，得$∠ AGB=∠ A+∠ B+∠ E$，因为$∠ AGB=∠ CGF$，$∠ CGF+∠ C+∠ D+∠ F=360°$，所以$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=360°$。

2. 如图，已知 $ ∠ MON = 90° $，点 $ A $，$ B $ 分别在射线 $ OM $，$ ON $ 上运动(不与点 $ O $ 重合).
(1) 已知 $ BC $ 是 $ ∠ ABN $ 的平分线，$ CB $ 的延长线与 $ ∠ BAO $ 的平分线交于点 $ D $.
① 若 $ ∠ BAO = 60° $，则 $ ∠ D = $；
② 猜想：$ ∠ D $ 的度数是否随点 $ A $，$ B $ 位置的变化而发生变化？并说明理由；
(2) 若 $ ∠ ABC = \frac{1}{3} ∠ ABN $，$ ∠ BAD = \frac{1}{3} ∠ BAO $，则 $ ∠ D = $；
(3) 若将“$ ∠ MON = 90° $”改为“$ ∠ MON = α (0° ＜ α ＜ 180°) $”，$ ∠ ABC = \frac{1}{n} ∠ ABN $，$ ∠ BAD = \frac{1}{n} ∠ BAO $，其余条件不变，则 $ ∠ D = $.(用含 $ α $，$ n $ 的式子表示)

2. （1）①$45°$
②$∠ D$的度数不会随点 A，B 位置的变化而发生变化，理由如下：设$∠ BAD=x°$，因为 AD 平分$∠ BAO$，所以$∠ BAO=2∠ BAD=2x°$，因为$∠ AOB=90°$，所以$∠ ABN=∠ AOB+∠ BAO=(90+2x)°$，因为 BC 平分$∠ ABN$，所以$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ ABN=(45+x)°$，因为$∠ ABC=∠ D+∠ BAD$，所以$∠ D=∠ ABC-∠ BAD=45°$。
（2）$30°$ 解析：设$∠ BAD=y°$，因为$∠ BAD=\frac{1}{3}∠ BAO$，所以$∠ BAO=3y°$，因为$∠ AOB=90°$，所以$∠ ABN=∠ AOB+∠ BAO=(90+3y)°$，因为$∠ ABC=\frac{1}{3}∠ ABN$，所以$∠ ABC=(30+y)°$，因为$∠ ABC=∠ D+∠ BAD$，所以$∠ D=∠ ABC-∠ BAD=30°$。
（3）$\frac{α}{n}$ 解析：因为$∠ ABC=\frac{1}{n}∠ ABN$，$∠ BAD=\frac{1}{n}∠ BAO$，所以$∠ ABN=n∠ ABC$，$∠ BAO=n∠ BAD$，因为$∠ ABN=∠ AOB+∠ BAO=α+∠ BAO$，所以$n∠ ABC=α+n∠ BAD$，所以$∠ ABC=\frac{α}{n}+∠ BAD$，因为$∠ ABC=∠ D+∠ BAD$，所以$∠ D=∠ ABC-∠ BAD=\frac{α}{n}$。