主题新情境
探究正多边形的平面图形密铺
大到市民广场，小到家居装修，常常用形状各异的瓷砖来铺设(如图①)。
探究：正多边形的平面图形密铺。
正多边形是指各边相等、各角也相等的多边形。
用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺。共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为 $ 360° $。
共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺。
如图②，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明。
解：设有 $ x $ 个正五边形。因为正五边形的每一个内角为 $ 108° $，所以若想用 $ x $ 个 $ 108° $ 围成 $ 360° $，则 $ 108x = 360 $，解得 $ x = \frac{10}{3} $，不合题意，舍去，所以正五边形不能共顶点单一密铺。
(1) 问题 1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺？请用上述方法说明；
(2) 问题 2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，并说明理由；
共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺。
(3) 问题 3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面。已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺。请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由；
(4) 问题 4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出设计方案。

主题新情境 探究正多边形的平面图形密铺
（1）正三角形能共顶点单一密铺.理由如下:设有y个正三角形.因为正三角形的每一个内角为60°,所以若想用y个60°围成360°,则60y=360,解得y=6,符合题意.故正三角形能共顶点单一密铺.
（2）(答案不唯一)正方形能共顶点单一密铺.理由如下:设有z个正方形.因为正方形的每一个内角为90°,所以若想用z个90°围成360°,则90z=360,解得z=4,符合题意.故正方形能共顶点单一密铺.
（3）(答案不唯一)方案1:正三角形与正方形可以共顶点组合密铺.理由如下:设有m个正三角形和n个正方形.因为正三角形的每一个内角为60°,正方形的每一个内角为90°,所以若想用m个正三角形和n个正方形围成360°,则60m+90n=360,即2m+3n=12.因为m,n为正整数,所以m=3,n=2,符合题意.方案2:正三角形与正六边形可以共顶点组合密铺.理由如下:设有p个正三角形和q个正六边形.因为正三角形的每一个内角为60°,正六边形的每一个内角为120°,所以若想用p个正三角形和q个正六边形围成360°,则60p+120q=360,即p+2q=6.因为p,q为正整数,所以p=2,q=2或p=4,q=1,符合题意.
（4）(答案不唯一)用1个正三角形、2个正方形和1个正六边形可以共顶点组合密铺.