1. (2025·江苏扬州模拟)如图，D是△ABC的边BA延长线上一点，E是边AC上一点，连接BE，DE.若AE是△BDE的中线，$DE=BC$，$∠ C=40°$，则$∠ AED$的度数是______.

$40^{\circ}$

2. 新趋势 推导探究 如图，$AD = AC$，$AB = AE$，$AD$ 交 $BC$ 于点 $F$．当 $∠ BAC + ∠ DAE = 180°$，且 $F$ 为 $BC$ 的中点时，线段 $DE$ 与线段 $AF$ 之间存在某种数量关系，写出你的结论，并加以证明．

; 解：​$DE = 2\ \mathrm {A}F，$​证明如下：延长​$AD$​至点​$G，$​使​$GF = AF，$​连接​$CG$​∵​$F $​为​$BC$​的中点，∴​$BF = CF$​在​$\triangle AF B$​和​$\triangle GF C$​中​$\begin {cases}AF = GF\\∠AF B=∠GF C\\BF = CF\end {cases}$​∴​$\triangle AF B≌\triangle GF C(S AS)$​∴​$AB = G C，$​​$∠BAF=∠CGF$​∴​$AB// CG，$​∴​$∠BAC+∠ACG = 180°$​∵​$∠BAC+∠DAE = 180°$​∴​$∠ACG=∠DAE$​∵​$AB = AE，$​∴​$AE = CG$​在​$\triangle DAE$​和​$\triangle ACG $​中​$\begin {cases}AE = CG\\∠DAE=∠ACG\\AD = CA\end {cases}$​∴​$\triangle DAE≌\triangle ACG(S AS)$​∴​$DE = AG$​∵​$AG = AF + FG = 2\ \mathrm {A}F$​∴​$DE = 2\ \mathrm {A}F$​

3. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠DAB的平分线AE交CD于点E,连接BE.若BE恰好平分∠ABC,则AB的长与AD+BC的长的大小关系是 ( )
A. AB＞AD+BC
B. AB＜AD+BC
C. AB=AD+BC
D. 无法确定

C

4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC＞90°$,$BD⊥ AC$,交$CA$的延长线于点$D$,点$E$在$AD$上,$BE$平分$∠ ABD$,点$F$在$BD$的延长线上,$BF=CE$,连接$FE$并延长,交$BC$于点$H$.
(1) 求证:$∠ CBE=45°$;
(2) 写出线段$BH$和$EH$的位置关系和数量关系,并证明.

; ​$(1)$​证明：∵​$BD\perp AC，$​∴​$∠BDC=∠F DC = 90°$​∴​$∠DAB+∠ABD = 90°$​过点​$A$​作​$AM\perp BC$​于点​$M$​则​$∠AMB=∠AMC = 90°$​在​$Rt\triangle AMB$​和​$Rt\triangle AMC$​中​$\begin {cases}AB = AC\\AM = AM\end {cases}$​∴​$Rt\triangle AMB≌Rt\triangle AMC(\mathrm {HL})$​∴​$∠ABC=∠C$​∴​$∠DAB=∠ABC+∠C = 2∠ABC$​∴​$∠ABC=∠C=\frac 12∠DAB$​∵​$BE$​平分​$∠ABD$​∴​$∠ABE=∠DBE=\frac 12∠ABD$​∴​$∠CBE=∠ABC+∠ABE$​​$=\frac 12(∠DAB+∠ABD)=45°$​​$(2)$​解：​$BH\perp EH，$​​$BH = EH，$​证明如下：延长​$BA$​到点​$G，$​使​$AG = AE，$​连接​$EG$​∵​$AB = AC$​∴​$AB + AG = AC + AE，$​即​$BG = CE$​∵​$BF = CE，$​∴​$BG = BF$​由​$(1)$​得​$∠C=\frac 12∠DAB，$​​$∠F DC = 90°，$​​$∠CBE = 45°，$​​$∠ABE=∠DBE，$​即​$∠GBE=∠FBE$​在​$\triangle EBG $​和​$\triangle EBF $​中​$\begin {cases}BG = BF\\∠G BE=∠F BE\\BE = BE\end {cases}$​∴​$\triangle EBG≌\triangle EBF(S AS)$​∴​$∠G=∠F$​同​$(1)，$​得​$∠G=∠AEG$​∴​$∠DAB=∠G+∠AEG = 2∠G$​∴​$∠G=\frac 12∠DAB$​∴​$∠G=∠C$​∴​$∠F=∠C$​∵​$∠HEC=∠DEF$​∴​$∠BHE=∠C+∠HEC=∠F+∠DEF = 90°$​∴​$BH\perp EH，$​即​$∠BHE = 90°$​∴​$∠HEB = 90°-∠CBE = 45°，$​即​$∠HEB=∠CBE$​过点​$H$​作​$HO\perp BE$​于点​$O$​则​$∠BOH=∠EOH = 90°$​在​$\triangle BOH$​和​$\triangle EOH$​中​$\begin {cases}∠HBO=∠HEO\\∠BOH=∠EOH\\HO = HO\end {cases}$​∴​$\triangle BOH≌\triangle EOH(\mathrm {AAS})$​∴​$BH = EH$​

5. 如图，BD 是∠ABC 的平分线，AD⊥BD，垂足为 D. 求证：∠BAD=∠DAC+∠C.

; 证明：延长​$AD，$​交​$BC$​于点​$E$​∵​$BD$​平分​$∠ABC，$​∴​$∠ABD=∠EBD$​∵​$BD\perp AD，$​∴​$∠ADB=∠EDB = 90°$​在​$\triangle ABD$​和​$\triangle EBD$​中​$\begin {cases}∠ABD=∠EBD\\BD = BD\\∠ADB=∠EDB\end {cases}$​∴​$\triangle ABD≌\triangle EBD(AS A)$​∴​$∠BAD=∠BED$​∵​$∠BED=∠DAC+∠C$​∴​$∠BAD=∠DAC+∠C$​