9. 亮点原创·如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$BC$上,$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ BC$,垂足分别为$E$,$D$,$DF$交$AC$于点$F$,$BD=CF$,$BE=CD$.若$∠ EDF=65°$,则$∠ A=$______.

$50^{\circ}$

10. 新素养 推理能力 如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,过点$B$作射线$BF$,在射线$BF$上取一点$E$,连接$AE$,使$∠ CBF=∠ CAE$,过点$C$作射线$BF$的垂线$CD$,垂足为$D$.若$DE=1$,$AE=4$,则$BD$的长为$\underline{\hspace{5em}}$.

5

11. 如图①，E，F分别为线段AC上的两个动点，且$DE ⊥ AC$于点E，$BF ⊥ AC$于点F，连接AB，CD.若$AB = CD$，$AF = CE$，连接BD交AC于点M.
（1）求证：$MD = MB$，$ME = MF$；
（2）当E，F两点移动到如图②所示的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

​$(1)$​证明：∵​$DE\perp AC$​于点​$E，$​​$BF\perp AC$​于点​$F$​∴​$∠DEC = ∠BF A = 90°$​在​$Rt\triangle DEC$​和​$Rt\triangle BF A$​中​$\begin {cases}CD = AB\\CE = AF\end {cases}$​∴​$Rt\triangle DEC≌ Rt\triangle BF A(\mathrm {HL})$​∴​$DE = BF$​在​$\triangle DEM$​和​$\triangle BFM$​中​$\begin {cases}∠DME = ∠BMF\\∠DEM = ∠BFM \\DE = BF\end {cases}$​∴​$\triangle DEM≌\triangle BFM(\mathrm {AAS})$​∴​$MD = MB，$​​$ME = MF$​​$(2)$​解：成立，证明如下：∵​$DE\perp AC$​于点​$E，$​​$BF\perp AC$​于点​$F$​∴​$∠DEC = ∠DEM = ∠BF A = ∠BFM = 90°$​在​$Rt\triangle DEC$​和​$Rt\triangle BF A$​中​$\begin {cases}CD = AB\\CE = AF\end {cases}$​∴​$Rt\triangle DEC≌Rt\triangle BF A(\mathrm {HL})$​∴​$DE = BF$​在​$\triangle DEM$​和​$\triangle BFM$​中​$\begin {cases}∠DME = ∠BMF\\∠DEM = ∠BFM\\DE = BF\end {cases}$​∴​$\triangle DEM≌ \triangle BFM(\mathrm {AAS})$​∴​$MD = MB，$​​$ME = MF$​

12. 如图，$AB=AC$，$AD=AE$，$∠ BAC = ∠ DAE = 90°$，$BD$，$CE$ 相交于点 $F$，连接 $AF$。有下列结论：① $BD=CE$；② $BF ⊥ CF$；③ $AF$ 平分 $∠ CAD$；④ $∠ AFE=45°$。其中正确的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

C

13. 已知$∠ MON=90°$，$A,B$两点分别在射线$OM,ON$上，点$C$在$∠ MON$内部，连接$AC,BC$。
（1）若$OA=OB$。
① 如图①，若$CA⊥ OM$，$CB⊥ ON$。求证：$CA=CB$，
② 如图②，若$∠ ACB=90°$，连接$OC$。求证：$CO$平分$∠ ACB$；
（2）如图③，$A,B$两点分别在射线$OM,ON$上运动，点$C$随之运动，且$∠ ACB=90°$，$AC=BC$。$P$为$OM$上一定点，当点$C$运动到何处时，$PC$的长最短？请用尺规作图作出$PC$的长最短时点$C$的位置（保留作图痕迹，不要写作法），并简要说明理由。

证明：​$(1)①$​连接​$OC$​∵​$CA\perp OM，$​​$CB\perp ON$​∴​$∠OAC = ∠OBC = 90°$​在​$Rt\triangle OAC$​和​$Rt\triangle OBC$​中​$\begin {cases}OA = OB\\OC = OC\end {cases}$​∴​$Rt\triangle OAC≌Rt\triangle OBC(\mathrm {HL})$​∴​$CA = CB$​②如图①，过点​$O$​分别作​$OD\perp CB，$​交​$CB$​的延长线于点​$D，$​​$OE\perp AC$​于点​$E$​则​$∠OEA = ∠OEC = ∠ODC = ∠ODB = 90°$​∵​$∠ACB = ∠MON = 90°，$​​$∠OAE+∠OBC+∠ACB+∠MON = 360°$​∴​$∠OAE+∠OBC = 180°$​∵​$∠OBD+∠OBC = 180°，$​∴​$∠OAE = ∠OBD$​在​$\triangle OAE$​和​$\triangle OBD$​中​$\begin {cases}∠OEA = ∠ODB\\∠OAE = ∠OBD\\OA = OB\end {cases}$​∴​$\triangle OAE≌\triangle OBD(\mathrm {AAS})$​∴​$OE = OD$​在​$Rt\triangle OCE$​和​$Rt\triangle OCD$​中​$\begin {cases}OE = OD\\OC = OC\end {cases}$​∴​$Rt\triangle OCE≌Rt\triangle OCD(\mathrm {HL})$​∴​$∠OCE = ∠OCD，$​即​$CO$​平分​$∠ACB$​
解：​$(2)$​如图​$②，$​过点​$C$​分别作​$CD\perp OM$​于点​$D，$​​$CE\perp ON$​于点​$E，$​作射线​$OC$​则​$∠ADC = ∠ODC = ∠OEC = ∠BEC = 90°$​∵​$∠ACB = ∠MON = 90°，$​​$∠CAD+∠OBC+∠ACB+∠MON = 360°$​∴​$∠CAD+∠OBC = 180°$​∵​$∠CBE+∠OBC = 180°，$​∴​$∠CAD = ∠CBE$​在​$\triangle CAD$​和​$\triangle CBE$​中​$\begin {cases}∠ADC = ∠BEC\\∠CAD = ∠CBE AC = BC\end {cases}$​∴​$\triangle CAD≌ \triangle CBE(\mathrm {AAS})$​∴​$CD = CE$​在​$Rt\triangle OCD$​和​$Rt\triangle OCE$​中​$\begin {cases}CD = CE\\OC = OC\end {cases}$​∴​$Rt\triangle OCD≌Rt\triangle OCE(\mathrm {HL})$​∴​$∠COD = ∠COE，$​即​$OC$​平分​$∠MON$​∴点​$C$​在​$∠MON$​的平分线上运动∴当点​$C$​运动到​$P C\perp OC$​时，​$P C$​的长最短过点​$P $​作​$OC$​的垂线，垂足为​$C，$​则此时点​$C'$​即为所求作的点