6. 新素养 模型观念 如图，直线 $ PA // QB $，$ ∠ PAB $ 与 $ ∠ QBA $ 的平分线交于点 $ C $，过点 $ C $ 作一条直线 $ l $ 与两直线 $ PA, QB $ 分别相交于 $ D, E $ 两点.
（1）如图①，当直线 $ l $ 与 $ PA $ 垂直时，求证：$ AD + BE = AB $；
（2）如图②，当直线 $ l $ 与 $ PA $ 不垂直，且与直线 $ PA, QB $ 的交点 $ D, E $ 在 $ AB $ 的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）当直线 $ l $ 与 $ PA $ 不垂直，且与直线 $ PA, QB $ 的交点 $ D, E $ 在 $ AB $ 的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出 $ AD、BE $ 和 $ AB $ 之间的数量关系.

; 解：​$(1)$​过点​$C$​作​$CF\perp AB$​于点​$F$​则​$∠AF C=∠CF B = 90°$​∵​$AC$​平分​$∠P AB，$​∴​$∠CAD=∠CAF$​又​$l\perp P A，$​∴​$∠ADC = 90°，$​即​$∠ADC=∠AF C$​在​$\triangle ACD$​和​$\triangle ACF $​中​$\begin {cases}∠CAD=∠CAF\\∠ADC=∠AF C\\AC = AC\end {cases}$​∴​$\triangle ACD≌\triangle ACF(\mathrm {AAS})，$​∴​$AD = AF$​∵​$P A// Q B，$​​$l\perp P A$​∴​$l\perp BQ，$​即​$∠BEC = 90°$​同理，得​$BE = BF$​∵​$AF + BF = AB，$​∴​$AD + BE = AB$​​$(2)$​成立，证明如下：在​$AB$​上截取​$AG = AD，$​连接​$CG$​∵​$AC$​平分​$∠P AB，$​∴​$∠DAC=∠G AC$​在​$\triangle ADC$​和​$\triangle AG C$​中​$\begin {cases}AD = AG\\∠DAC=∠G AC\\AC = AC\end {cases}$​∴​$\triangle ADC≌\triangle AG C(S AS)$​∴​$∠ADC=∠AG C$​又​$P A// Q B，$​∴​$∠ADC+∠BEC = 180°$​又​$∠AG C+∠BG C = 180°$​∴​$∠BEC=∠BG C$​又​$BC$​平分​$∠Q BA，$​∴​$∠CBE=∠CBG$​在​$\triangle BCE$​和​$\triangle BCG $​中​$\begin {cases}∠BEC=∠BG C\\∠CBE=∠CBG\\BC = BC\end {cases}$​∴​$\triangle BCE≌\triangle BCG(\mathrm {AAS})，$​∴​$BE = BG$​又​$AG + BG = AB，$​∴​$AD + BE = AB$​​$(3)$​不成立，当点​$D$​在​$AB$​的上方，点​$E$​在​$AB$​的下方时，​$AD、$​​$BE$​和​$AB$​之间的数量关系是​$AD - BE = AB；$​当点​$D$​在​$AB$​的下方，点​$E$​在​$AB$​的上方时，​$AD、$​​$BE$​和​$AB$​之间的数量关系是​$BE - AD = AB$​

7. (2025·江苏淮安期中)如图,在五边形ABCDE中,$AB = AE$,$BC + DE = CD$,$∠ABC + ∠AED = 180°$.求证:DA平分$∠CDE$.

; 证明：∵​$AB = AE$​∴将​$\triangle ADE$​绕点​$A$​按顺时针方向旋转，使​$AE$​与​$AB$​重合，得到​$\triangle AF B$​由旋转的性质得​$∠ABF=∠AED，$​​$∠AF B=∠ADE，$​​$AF = AD，$​​$BF = ED$​又​$∠AED+∠ABC = 180°$​∴​$∠ABF+∠ABC = 180°，$​即​$F，$​​$B，$​​$C$​三点共线又​$CF = BC + BF，$​∴​$CF = BC + ED$​又​$BC + DE = CD，$​∴​$CF = CD$​连接​$AC$​在​$\triangle ACF $​和​$\triangle ACD$​中​$\begin {cases}AF = AD\\AC = AC\\CF = CD\end {cases}$​∴​$\triangle ACF≌\triangle ACD(\mathrm {SSS})$​∴​$∠AF C=∠ADC$​∴​$∠ADC=∠ADE，$​即​$DA$​平分​$∠CDE$​

8. (2025·江苏扬州期末)在正方形ABCD中，E是BC上一点，F是DC上一点，∠EAF=45°.
（1）如图①，若BE=DF=1，求EF的长；
（2）如图②，求证：BE+DF=EF；
（3）如图③，E为CB延长线上一点，F为DC延长线上一点，∠EAF=45°.请直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系.

解：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是正方形∴​$∠ABC=∠BAD=∠ADC = 90°，$​​$AB = AD = CD$​又​$∠EAF = 45°，$​​$∠EAF+∠BAE+∠DAF = 90°$​∴​$∠BAE+∠DAF = 90°-∠EAF = 45°$​将​$\triangle BAE$​绕点​$A$​按逆时针方向旋转​$90°，$​得到​$\triangle DAG$​∴​$\triangle DAG≌\triangle BAE$​即​$∠DAG=∠BAE，$​​$AG = AE，$​​$DG = BE，$​​$∠ADG=∠ABE = 90°$​∴​$∠ADC+∠ADG = 180°，$​即​$G，$​​$D，$​​$F $​三点共线又​$∠G AF=∠DAF+∠DAG$​∴​$∠G AF=∠DAF+∠BAE = 45°，$​即​$∠G AF=∠EAF$​在​$\triangle EAF $​和​$\triangle G AF $​中​$\begin {cases}AE = AG\\∠EAF=∠G AF\\AF = AF\end {cases}$​∴​$\triangle EAF≌\triangle G AF(S AS)，$​∴​$EF = GF$​又​$GF = DF + DG，$​∴​$EF = BE + DF$​又​$BE = DF = 1，$​∴​$EF = 2$​证明：​$(2)$​将​$\triangle BAE$​绕点​$A$​按逆时针方向旋转​$90°，$​得到​$\triangle DAH$​同​$(1)$​得​$\triangle EAF≌\triangle HAF，$​​$HF = BE + DF$​∴​$EF = HF = BE + DF$​解：​$(3)BE + EF = DF$​