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1. 项目式学习 阅读材料，并解决问题.
项目主题 确定匀质薄板的重心位置
项目背景 在学习三角形的重心时，我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处：重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心. 如图①，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态. 关于三角形的重心还有哪些性质呢？
问题探究
探究1
(1)如图②，AD是$△ ABC$的中线，可以得到$△ ABD$和$△ ACD$面积的大小关系为：$S_{△ ABD}$
(2)如图③，点O为$△ ABC$的重心，则$\frac{BO}{OF}$的值为
(3)如图④，在$△ ABC$中，点O是$△ ABC$的重心. 连接BO，CO并延长，分别交AC，AB于点D，E，连接DE. 若$BD ⊥ CE$，$BD=9$，$CE=12$，求$△ AED$的面积.
探究2
小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心，如图⑤，长方形的重心在对角线的交点处；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上. 根据这一结论，我们可以确定两个简单平面图形拼成的图形的重心位置.
(4)根据以上资料，确定图⑥的重心位置G.
项目主题 确定匀质薄板的重心位置
项目背景 在学习三角形的重心时，我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处：重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心. 如图①，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态. 关于三角形的重心还有哪些性质呢？
问题探究
探究1
(1)如图②，AD是$△ ABC$的中线，可以得到$△ ABD$和$△ ACD$面积的大小关系为：$S_{△ ABD}$
=
$S_{△ ACD}$.（填“＞”“＜”或“=”）(2)如图③，点O为$△ ABC$的重心，则$\frac{BO}{OF}$的值为
2
. (3)如图④，在$△ ABC$中，点O是$△ ABC$的重心. 连接BO，CO并延长，分别交AC，AB于点D，E，连接DE. 若$BD ⊥ CE$，$BD=9$，$CE=12$，求$△ AED$的面积.
探究2
小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心，如图⑤，长方形的重心在对角线的交点处；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上. 根据这一结论，我们可以确定两个简单平面图形拼成的图形的重心位置.
(4)根据以上资料，确定图⑥的重心位置G.
答案
1. (1) =
(2) 2
(3)
∵O是△ABC的重心，
∴CE是△ABC的中线.
∴$S_{△ AED} = S_{△ BED}$. 由(2)知$\frac{OC}{OE}=2$，$CE=12$，$\therefore OE=\frac{1}{3}CE=4$. $\because BD ⊥ CE$，$\therefore S_{△ BED} = \frac{1}{2}BD · EO=\frac{1}{2} × 9 × 4=18$. 即 $S_{△ AED}=18$.
(4) 点G即为所求.
解析
【分析】
(1) 三角形的中线将三角形分成底相等、高相同的两个三角形，根据三角形面积公式可直接判断二者面积相等。
(2) 结合三角形重心的核心性质：重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，即可直接得出比值。
(3) 首先由重心的性质可知CE是△ABC的中线，得E为AB中点，因此△AED和△BED面积相等；再根据重心分中线为2:1的比例算出OE的长度，结合BD垂直CE的条件，用三角形面积公式计算△BED的面积，即可得到△AED的面积。
(4) 根据材料给出的结论，先找到两个矩形各自的重心（即各自对角线的交点），组合图形的重心就在两个重心的连线上，即图中标注的点G。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此$S_{△ABD}=S_{△ACD}$。
(2)
∵点O是△ABC的重心，根据重心性质，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，因此$\frac{BO}{OF}=2$。
(3) 解：
∵O是△ABC的重心，
∴CE是△ABC的中线，即E为AB的中点，
∴$S_{△AED} = S_{△BED}$。
由(2)知$\frac{OC}{OE}=2$，
∵$CE=12$，$\therefore OE=\frac{1}{3}CE=\frac{1}{3}×12=4$。
$\because BD ⊥ CE$，
$\therefore S_{△ BED} = \frac{1}{2}BD · EO=\frac{1}{2} × 9 × 4=18$，
即 $S_{△AED}=18$。
(4) 分别作出两个长方形对角线的交点（各自的重心），两个交点连线上的点G即为组合图形的重心。
【答案】
(1) =
(2) 2
(3) 18
(4) 点G即为所求
【知识点】
三角形中线性质；三角形重心性质；组合图形重心确定
【点评】
本题结合物理重心的实际背景设置梯度问题，既考查了三角形中线、重心基础性质的应用，也考查了阅读理解能力和知识迁移能力，兼顾了基础考查和实践应用能力的培养。
【难度系数】
0.7
(1) 三角形的中线将三角形分成底相等、高相同的两个三角形，根据三角形面积公式可直接判断二者面积相等。
(2) 结合三角形重心的核心性质：重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，即可直接得出比值。
(3) 首先由重心的性质可知CE是△ABC的中线，得E为AB中点，因此△AED和△BED面积相等；再根据重心分中线为2:1的比例算出OE的长度，结合BD垂直CE的条件，用三角形面积公式计算△BED的面积，即可得到△AED的面积。
(4) 根据材料给出的结论，先找到两个矩形各自的重心（即各自对角线的交点），组合图形的重心就在两个重心的连线上，即图中标注的点G。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此$S_{△ABD}=S_{△ACD}$。
(2)
∵点O是△ABC的重心，根据重心性质，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，因此$\frac{BO}{OF}=2$。
(3) 解：
∵O是△ABC的重心，
∴CE是△ABC的中线，即E为AB的中点，
∴$S_{△AED} = S_{△BED}$。
由(2)知$\frac{OC}{OE}=2$，
∵$CE=12$，$\therefore OE=\frac{1}{3}CE=\frac{1}{3}×12=4$。
$\because BD ⊥ CE$，
$\therefore S_{△ BED} = \frac{1}{2}BD · EO=\frac{1}{2} × 9 × 4=18$，
即 $S_{△AED}=18$。
(4) 分别作出两个长方形对角线的交点（各自的重心），两个交点连线上的点G即为组合图形的重心。
【答案】
(1) =
(2) 2
(3) 18
(4) 点G即为所求
【知识点】
三角形中线性质；三角形重心性质；组合图形重心确定
【点评】
本题结合物理重心的实际背景设置梯度问题，既考查了三角形中线、重心基础性质的应用，也考查了阅读理解能力和知识迁移能力，兼顾了基础考查和实践应用能力的培养。
【难度系数】
0.7
