12.(8分)如图,已知$△ ABC(AC＞AB)$.
(1)作$△ ABC$的中线$AD$;
(2)作$△ ABD$的角平分线$DM$;
(3)作$△ ACD$的高$CN$;
(4)若$△ ACD$与$△ ABD$的周长之差为3,且$AB=4$,则$AC$的长为.

12. 解:(1)(2)(3)如图所示.
(4) 7

【分析】
对于前3小问作图，需紧扣三角形中线、角平分线、高的定义操作：①中线是三角形顶点到对边中点的线段，因此先找BC的中点D，连接AD即可；②角平分线是平分三角形一个内角且交对边的线段，因此作∠ADB的平分线交AB于点M即可；③高是三角形顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段，因此过点C向AD所在直线作垂线，垂足为N即可。
第4小问解题时，先分别写出△ACD和△ABD的周长公式，再结合AD是中线可得BD=CD，两个周长的公共部分AD、等长部分BD和CD抵消后，周长差就等于AC与AB的差，代入已知数值即可求出AC的长。
【解析】
(1)用刻度尺测量BC的长度，找到BC的中点D，连接AD，AD即为△ABC的中线；
(2)用量角器测量∠ADB的度数，作出∠ADB的平分线，交AB于点M，DM即为△ABD的角平分线；
(3)延长AD，过点C作CN⊥AD，垂足为N，CN即为△ACD的高；
(4)
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
△ACD的周长=AC+AD+CD，△ABD的周长=AB+AD+BD，
两者周长之差为：$(AC+AD+CD)-(AB+AD+BD)=AC-AB=3$，
已知$AB=4$，
∴$AC=3+AB=3+4=7$。
【答案】
(1)(2)(3)如图所示.
(4)7
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题考查三角形三类基本线段的作图和中线相关的周长计算，作图时要严格遵循三类线段的定义，周长计算时注意通过公共边、等长线段抵消简化运算，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8

13.（12分）如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=60°$，$∠ ACB=3∠ B$，$AD$平分$∠ BAC$，交$BC$于点$D$，$CE⊥ AD$于点$E$。
（1）求$∠ ACB$的度数；
（2）求$∠ DCE$的度数。

13. 解:(1)
∵∠BAC=60°,
∴∠ACB+∠B=180°−∠BAC=120°.
∵∠ACB=3∠B,
∴3∠B+∠B=120°.
∴∠B=30°.
∴∠ACB=90°.
(2)
∵AD 平分∠BAC,
∴∠CAD=1/2∠BAC=30°.
∵CE⊥AD,
∴∠AEC=90°.
∴∠ACE=180°−∠AEC−∠CAD=60°.
∴∠DCE=∠ACB−∠ACE=30°.

【分析】
（1）求∠ACB的度数时，先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠BAC的度数，求出∠B与∠ACB的度数和，再代入∠ACB=3∠B的倍数关系，即可计算出∠ACB的度数。
（2）求∠DCE的度数时，先根据角平分线的定义求出∠CAD的度数，再结合CE⊥AD得到直角，在△ACE中利用三角形内角和求出∠ACE的度数，最后用∠ACB的度数减去∠ACE的度数，就能得到∠DCE的度数。
【解析】
(1)
∵在△ABC中，三角形内角和为180°，∠BAC=60°，
∴∠ACB+∠B=180°−∠BAC=120°，
∵∠ACB=3∠B，
∴3∠B+∠B=120°，解得∠B=30°，
∴∠ACB=3×30°=90°。
(2)
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
在△ACE中，∠ACE=180°−∠AEC−∠CAD=180°-90°-30°=60°，
∴∠DCE=∠ACB−∠ACE=90°−60°=30°。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠ACB=90°}$；（2）$\boldsymbol{∠DCE=30°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题关键是理清各角之间的数量关系，结合对应性质逐步推导未知角，熟练掌握三角形相关基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

14.(12分)如图,在$△ ABC$中,D是边BC上一点,$∠ B=50°$,$∠ BAD=30°$,将$△ ABD$沿AD折叠得到$△ AED$,AE与BC交于点F.(1)求$∠ AFC$的度数;(2)求$∠ EDF$的度数.

14. 解:(1)由折叠的性质,得∠DAF=∠BAD=30°.
∵∠B=50°,
∴∠AFC=∠B+∠BAD+∠DAF=110°.
(2)
∵∠B=50°,∠BAD=30°,
∴∠ADB=180°−∠B−∠BAD=100°,∠ADC=∠B+∠BAD=80°.由折叠的性质,得∠ADE=∠ADB=100°,
∴∠EDF=∠ADE−∠ADC=20°.

【分析】
(1) 求解∠AFC时，首先利用折叠前后对应角相等的性质，可得到∠DAF=∠BAD=30°；再结合三角形外角的性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，∠AFC是△ABF的外角，等于∠B与∠BAF的和，代入已知角度即可计算。
(2) 求解∠EDF时，先在△ABD中用三角形内角和定理算出∠ADB的度数，再由折叠性质得∠ADE=∠ADB；接着根据平角定义求出∠ADC的度数，最后用∠ADE减去∠ADC即可得到∠EDF的度数。
【解析】
(1) 由折叠的性质可得：$∠ DAF = ∠ BAD = 30°$。
根据三角形外角的性质，$∠ AFC$是$△ ABF$的外角，因此：
$∠ AFC = ∠ B + ∠ BAD + ∠ DAF$
代入$∠ B=50°$，得：
$∠ AFC = 50° + 30° + 30° = 110°$
(2) 在$△ ABD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ADB = 180° - ∠ B - ∠ BAD = 180° - 50° - 30° = 100°$
由平角的定义可得：$∠ ADC = 180° - ∠ ADB = 180° - 100° = 80°$
由折叠的性质可得：$∠ ADE = ∠ ADB = 100°$，因此：
$∠ EDF = ∠ ADE - ∠ ADC = 100° - 80° = 20°$
【答案】
(1) $∠ AFC=110°$；(2) $∠ EDF=20°$
【知识点】
折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的角度计算题型，核心是结合折叠的性质推导对应角的等量关系，再灵活运用三角形内角和、外角性质完成角度运算，解题时注意梳理清楚角与角之间的和差关系即可。
【难度系数】
0.75

15.（14分）如图，在$△ ABC$中，$∠ B=30°$，$∠ C=62°$，$AE$平分$∠ BAC$.
（1）求$∠ BAE$的度数；
（2）若$AD⊥ BC$于点$D$，点$F$在$AE$上，$∠ ADF=74°$，求证：$△ ADF$是直角三角形.

15. (1)解:
∵∠B=30°,∠C=62°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=88°.
∵AE 平分∠BAC,
∴∠BAE=1/2∠BAC=44°.
(2)证明:
∵AD⊥BC,
∴∠BDA=90°.
∴∠BAD=90°−∠B=60°.
∴∠EAD=∠BAD−∠BAE=16°.
∵∠ADF=74°,
∴∠AFD=180°−∠EAD−∠ADF=90°.
∴△ADF 是直角三角形.

【分析】
（1）求∠BAE的度数时，首先利用三角形内角和为180°的性质，结合已知的∠B、∠C的度数先算出∠BAC的总度数，再根据角平分线平分对应角的性质，取∠BAC度数的一半即可得到∠BAE的度数。
（2）要证明△ADF是直角三角形，只需证明该三角形存在一个90°的内角即可。首先由AD⊥BC的条件得到∠ADB=90°，在Rt△ABD中求出∠BAD的度数，结合第一问得到的∠BAE的度数，通过角的和差关系算出∠FAD的度数，最后在△ADF中用内角和定理计算∠AFD的度数，判断其是否为90°即可完成证明。
【解析】
（1）解：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∵∠B=30°，∠C=62°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−30°−62°=88°，
∵AE平分∠BAC，
∴$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×88°=44°$。
（2）证明：
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=90°，
在Rt△ABD中，$∠ BAD=90°-∠ B=90°-30°=60°$，
∴$∠ EAD=∠ BAD-∠ BAE=60°-44°=16°$，
在△ADF中，已知∠ADF=74°，
∴$∠ AFD=180°-∠ EAD-∠ ADF=180°-16°-74°=90°$，
∴△ADF是直角三角形。
【答案】
（1）$\boxed{44°}$；（2）$△ ADF$是直角三角形，证明成立。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的判定
【点评】
本题是三角形基础类题型，侧重考察基础性质的应用，解题时只要理清各角之间的和差关系，熟练运用对应性质即可完成求解，对基础运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.8