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1.(5分)用直尺和圆规作$∠ CAB$的平分线的示意图如图所示，通过判定三角形全等可说明$∠ BAD=∠ CAD$，则判定三角形全等的依据是（
A.ASA
B.SAS
C.SSS
D.AAS
（第1题图）
（第2题图）
C
）A.ASA
B.SAS
C.SSS
D.AAS
（第1题图）
（第2题图）
答案
1. C
解析
【分析】
解决这道题需要先回忆角平分线的尺规作图步骤，从作图过程中提取相等的线段，再结合三角形全等的判定定理确定对应依据：首先明确作图得到的两组相等线段，再找到公共边，即可确定三边对应相等，进而得出全等的判定方法。
【解析】
连接$DF$、$DE$，根据尺规作角平分线的过程可知：
1. 以点$A$为圆心画弧时，弧交$AC$、$AB$于$F$、$E$，因此 $AF=AE$；
2. 分别以$E$、$F$为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长度为半径画弧，两弧交于点$D$，因此 $DF=DE$；
又$AD$是$△ AFD$和$△ AED$的公共边，即$AD=AD$。
因此$△ AFD ≌ △ AED$（SSS），由全等三角形对应角相等可得$∠ FAD=∠ EAD$，即$∠ CAD=∠ BAD$，判定三角形全等的依据是SSS。
【答案】
C
【知识点】
角平分线尺规作图；SSS判定全等；全等三角形性质
【点评】
本题考查角平分线尺规作图的原理，解题的关键是熟悉作图步骤，从操作过程中提取相等的线段，结合全等判定定理判断，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解决这道题需要先回忆角平分线的尺规作图步骤，从作图过程中提取相等的线段，再结合三角形全等的判定定理确定对应依据：首先明确作图得到的两组相等线段，再找到公共边，即可确定三边对应相等，进而得出全等的判定方法。
【解析】
连接$DF$、$DE$，根据尺规作角平分线的过程可知：
1. 以点$A$为圆心画弧时，弧交$AC$、$AB$于$F$、$E$，因此 $AF=AE$；
2. 分别以$E$、$F$为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长度为半径画弧，两弧交于点$D$，因此 $DF=DE$；
又$AD$是$△ AFD$和$△ AED$的公共边，即$AD=AD$。
因此$△ AFD ≌ △ AED$（SSS），由全等三角形对应角相等可得$∠ FAD=∠ EAD$，即$∠ CAD=∠ BAD$，判定三角形全等的依据是SSS。
【答案】
C
【知识点】
角平分线尺规作图；SSS判定全等；全等三角形性质
【点评】
本题考查角平分线尺规作图的原理，解题的关键是熟悉作图步骤，从操作过程中提取相等的线段，结合全等判定定理判断，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2.(5分)(青海中考)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到OA的距离是（
A.4
B.3
C.2
D.1
C
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。题目中已知OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OB且PD=2，PD就是点P到OB的距离，要求点P到OA的距离，直接运用角平分线的性质即可得出二者相等，进而得到结果。
【解析】
过点P作PE⊥OA于点E，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴根据角平分线的性质可得PE=PD，
又
∵PD=2，
∴PE=2，即点P到OA的距离为2，故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，直接考查角平分线性质的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。题目中已知OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OB且PD=2，PD就是点P到OB的距离，要求点P到OA的距离，直接运用角平分线的性质即可得出二者相等，进而得到结果。
【解析】
过点P作PE⊥OA于点E，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴根据角平分线的性质可得PE=PD，
又
∵PD=2，
∴PE=2，即点P到OA的距离为2，故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，直接考查角平分线性质的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3.(5分)如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,DE⊥AB于点E.若AC=15,AD=9,则DE的长为 (
A.9
B.7
C.6
D.5
C
)A.9
B.7
C.6
D.5
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：已知BD是∠ABC的角平分线，∠C=90°即DC⊥BC，且DE⊥AB，首先联想到角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可推出DE=DC。接下来只需要计算DC的长度即可，已知AC和AD的长度，根据线段的和差关系，DC=AC-AD，代入数值计算就能得到DE的长。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DC，
又
∵AC=15，AD=9，
∴DC=AC-AD=15-9=6，
∴DE=6。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线性质的应用，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，实现线段的等量转化，结合线段和差即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件：已知BD是∠ABC的角平分线，∠C=90°即DC⊥BC，且DE⊥AB，首先联想到角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可推出DE=DC。接下来只需要计算DC的长度即可，已知AC和AD的长度，根据线段的和差关系，DC=AC-AD，代入数值计算就能得到DE的长。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DC，
又
∵AC=15，AD=9，
∴DC=AC-AD=15-9=6，
∴DE=6。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线性质的应用，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，实现线段的等量转化，结合线段和差即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.(5分)如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=6.连接BD，∠BDC=90°，∠ADB=∠C.若P是边BC上一动点，则DP长的最小值为（
A.4
B.6
C.3
D.12
B
）A.4
B.6
C.3
D.12
答案
4. B
解析
【分析】
要找DP的最小值，首先根据垂线段最短的性质，可知当DP垂直于BC时，DP的长度最小。接下来需要推导BD是∠ABC的角平分线：利用直角三角形两锐角互余，结合已知∠ADB=∠C，可通过等角的余角相等推出∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC。最后根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到DP的最小值等于AD的长度。
【解析】
1. 确定DP取最小值的情况：根据垂线段最短，当$DP ⊥ BC$时，DP的长度最小。
2. 推导角相等：
已知$∠ A=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD + ∠ ADB = 90°$；
已知$∠ BDC=90°$，在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ DBC + ∠ C = 90°$；
又$\because ∠ ADB = ∠ C$，根据等角的余角相等，可得$∠ ABD = ∠ DBC$，即BD平分$∠ ABC$。
3. 利用角平分线的性质计算：
角平分线上的点到角两边的距离相等，点D在角平分线BD上，且$DA ⊥ AB$，$DP ⊥ BC$，$\therefore DP = AD$。
已知$AD=6$，因此DP的最小值为6。
【答案】
B
【知识点】
垂线段最短；等角的余角相等；角平分线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先明确动点线段取最小值的位置，再通过角的关系推导得到角平分线，最后结合角平分线的性质即可快速求解，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
要找DP的最小值，首先根据垂线段最短的性质，可知当DP垂直于BC时，DP的长度最小。接下来需要推导BD是∠ABC的角平分线：利用直角三角形两锐角互余，结合已知∠ADB=∠C，可通过等角的余角相等推出∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC。最后根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到DP的最小值等于AD的长度。
【解析】
1. 确定DP取最小值的情况：根据垂线段最短，当$DP ⊥ BC$时，DP的长度最小。
2. 推导角相等：
已知$∠ A=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD + ∠ ADB = 90°$；
已知$∠ BDC=90°$，在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ DBC + ∠ C = 90°$；
又$\because ∠ ADB = ∠ C$，根据等角的余角相等，可得$∠ ABD = ∠ DBC$，即BD平分$∠ ABC$。
3. 利用角平分线的性质计算：
角平分线上的点到角两边的距离相等，点D在角平分线BD上，且$DA ⊥ AB$，$DP ⊥ BC$，$\therefore DP = AD$。
已知$AD=6$，因此DP的最小值为6。
【答案】
B
【知识点】
垂线段最短；等角的余角相等；角平分线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先明确动点线段取最小值的位置，再通过角的关系推导得到角平分线，最后结合角平分线的性质即可快速求解，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
5.(5分)(内蒙古中考)如图,直线$AB// CD$,点E,F分别在直线AB,CD上,连接EF,以点E为圆心,适当长为半径画弧.交射线EA于点M,交EF于点N.再分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧(两弧半径相等),两弧在$∠ AEF$的内部相交于点H,画射线EH交CD于点G.若$∠ AEF=80°$,则$∠ EGF$的度数为 (
A.$100°$
B.$80°$
C.$50°$
D.$40°$
(第5题图) (第6题图)
D
)A.$100°$
B.$80°$
C.$50°$
D.$40°$
(第5题图) (第6题图)
答案
5. D
解析
【分析】
解题时首先识别题中的尺规作图属于作角平分线的操作，得到EG是∠AEF的角平分线，根据角平分线定义先求出∠AEG的度数；再结合AB//CD的条件，利用平行线的内错角相等的性质，即可求出∠EGF的度数。
【解析】
解：由尺规作图的方法可知，射线EH（即EG）是∠AEF的角平分线，
∴$∠ AEG=\frac{1}{2}∠ AEF$，
∵$∠ AEF=80°$，
∴$∠ AEG=\frac{1}{2}×80°=40°$，
又
∵$AB// CD$，
∴$∠ EGF=∠ AEG=40°$（两直线平行，内错角相等）。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
尺规作角平分线；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先识别角平分线的尺规作图，再结合角平分线定义和平行线的性质进行角度计算，考查学生对基础作图和几何性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别题中的尺规作图属于作角平分线的操作，得到EG是∠AEF的角平分线，根据角平分线定义先求出∠AEG的度数；再结合AB//CD的条件，利用平行线的内错角相等的性质，即可求出∠EGF的度数。
【解析】
解：由尺规作图的方法可知，射线EH（即EG）是∠AEF的角平分线，
∴$∠ AEG=\frac{1}{2}∠ AEF$，
∵$∠ AEF=80°$，
∴$∠ AEG=\frac{1}{2}×80°=40°$，
又
∵$AB// CD$，
∴$∠ EGF=∠ AEG=40°$（两直线平行，内错角相等）。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
尺规作角平分线；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先识别角平分线的尺规作图，再结合角平分线定义和平行线的性质进行角度计算，考查学生对基础作图和几何性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
6.(5分)如图,在$△ ABC$中,AD是角平分线,$DE\bot AB$于点E,$DF\bot AC$于点F,且$DE=2$,$AC=4$,则$△ ADC$的面积是
4
.答案
6. 4
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AD是角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，因此可以得到DF和DE长度相等，求出△ADC的高DF的长度；再结合三角形面积公式，以AC为底，DF为高，代入数值计算即可得到△ADC的面积。
【解析】
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得：DF = DE = 2，
又
∵AC = 4，
∴$S_{△ ADC}=\frac{1}{2} × AC × DF = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查角平分线性质的直接应用，熟练掌握角平分线的性质是快速解题的核心，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AD是角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，因此可以得到DF和DE长度相等，求出△ADC的高DF的长度；再结合三角形面积公式，以AC为底，DF为高，代入数值计算即可得到△ADC的面积。
【解析】
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得：DF = DE = 2，
又
∵AC = 4，
∴$S_{△ ADC}=\frac{1}{2} × AC × DF = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查角平分线性质的直接应用，熟练掌握角平分线的性质是快速解题的核心，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
7.(5分)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$∠ ABC$的平分线交AC于点D,$DE⊥ BC$于点E.若$△ ABC$与$△ CDE$的周长分别为13,3,则AB的长为
5
。答案
7. 5
解析
【分析】
解题思路：首先利用角平分线的性质得到AD=DE，再通过HL证明Rt△ABD≌Rt△EBD，得到AB=BE；接下来将两个三角形的周长用相等的线段进行等量代换，把△CDE的周长转化为AC+EC，再代入△ABC的周长表达式中，消去公共的(AC+EC)部分，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，∠BAC=90°即DA⊥AB，DE⊥BC
∴根据角平分线的性质，得AD=DE
在Rt△ABD和Rt△EBD中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\quad(\mathrm{公共边})\\AD=DE\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL）
∴AB=BE
∵△CDE的周长为3
∴$CD+DE+EC=CD+AD+EC=AC+EC=3$
∵△ABC的周长为13
∴$AB+AC+BC=13$
又
∵BC=BE+EC，且BE=AB
∴代入得：$AB+AC+AB+EC=2AB+(AC+EC)=13$
把$AC+EC=3$代入上式：
$2AB+3=13$
解得$AB=5$
【答案】
5
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形周长计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是通过全等转化相等线段，结合周长的等量代换消去未知量，无需单独计算每一条边的长度，对等量代换的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先利用角平分线的性质得到AD=DE，再通过HL证明Rt△ABD≌Rt△EBD，得到AB=BE；接下来将两个三角形的周长用相等的线段进行等量代换，把△CDE的周长转化为AC+EC，再代入△ABC的周长表达式中，消去公共的(AC+EC)部分，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，∠BAC=90°即DA⊥AB，DE⊥BC
∴根据角平分线的性质，得AD=DE
在Rt△ABD和Rt△EBD中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\quad(\mathrm{公共边})\\AD=DE\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL）
∴AB=BE
∵△CDE的周长为3
∴$CD+DE+EC=CD+AD+EC=AC+EC=3$
∵△ABC的周长为13
∴$AB+AC+BC=13$
又
∵BC=BE+EC，且BE=AB
∴代入得：$AB+AC+AB+EC=2AB+(AC+EC)=13$
把$AC+EC=3$代入上式：
$2AB+3=13$
解得$AB=5$
【答案】
5
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形周长计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是通过全等转化相等线段，结合周长的等量代换消去未知量，无需单独计算每一条边的长度，对等量代换的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
8.(8分)如图，$CD⊥AB$于点$D$，$BE⊥AC$于点$E$，$BE$，$CD$交于点$O$，且$AO$平分$∠BAC$.求证:$OB=OC$.
答案
证明:$\because CD⊥ AB,BE⊥ AC,AO$平分$∠ BAC,\therefore OD=OE,∠ BDO=∠ CEO=90°$. 在$△ BOD$ 和 $△ COE$中,$\begin{cases}∠ BDO=∠ CEO,\\OD=OE,\\∠ BOD=∠ COE,\end{cases}$ $\therefore △ BOD ≌ △ COE (\mathrm{ASA}).$ $\therefore OB=OC.$
解析
【分析】
要证$OB=OC$，可通过证明$OB$、$OC$所在的$△ BOD$和$△ COE$全等来推导。首先根据已知条件：$AO$平分$∠ BAC$，且$CD⊥ AB$、$BE⊥ AC$，由角平分线的性质可得$OD=OE$；再由垂直的定义可知$∠ BDO=∠ CEO=90°$，结合对顶角$∠ BOD=∠ COE$，即可通过ASA判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到$OB=OC$。
【解析】
证明：$\because CD⊥ AB,BE⊥ AC,AO$平分$∠ BAC$，
$\therefore OD=OE,∠ BDO=∠ CEO=90°$。
在$△ BOD$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ BDO=∠ CEO,\\OD=OE,\\∠ BOD=∠ COE,\end{cases}$
$\therefore △ BOD≌△ COE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore OB=OC$。
【答案】
$OB=OC$
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是先通过角平分线性质得到相等的线段，再结合垂直、对顶角相等的条件找到三角形全等的判定依据，熟练掌握相关基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要证$OB=OC$，可通过证明$OB$、$OC$所在的$△ BOD$和$△ COE$全等来推导。首先根据已知条件：$AO$平分$∠ BAC$，且$CD⊥ AB$、$BE⊥ AC$，由角平分线的性质可得$OD=OE$；再由垂直的定义可知$∠ BDO=∠ CEO=90°$，结合对顶角$∠ BOD=∠ COE$，即可通过ASA判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到$OB=OC$。
【解析】
证明：$\because CD⊥ AB,BE⊥ AC,AO$平分$∠ BAC$，
$\therefore OD=OE,∠ BDO=∠ CEO=90°$。
在$△ BOD$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ BDO=∠ CEO,\\OD=OE,\\∠ BOD=∠ COE,\end{cases}$
$\therefore △ BOD≌△ COE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore OB=OC$。
【答案】
$OB=OC$
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是先通过角平分线性质得到相等的线段，再结合垂直、对顶角相等的条件找到三角形全等的判定依据，熟练掌握相关基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
