4. 如图,在四边形ABCD中,点E在AD上,
∠BCE = ∠ACD = 90°, ∠BAC = ∠D,
BC=CE.
(1)求证:AC=CD;
(2)若∠ACB=30°,∠D=45°,求∠AEC的
度数.

(1)证明: $\because ∠BCE=∠ACD=90°, \therefore ∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠DCE. \therefore ∠ACB=∠DCE. 在△ABC 和△DEC 中,\begin{cases} ∠BAC=∠D, \\ ∠ACB=∠DCE, \\ BC=EC, \end{cases} \therefore △ABC≌△DEC(AAS). \therefore AC=CD. (2)解:由(1)知∠DCE=∠ACB=30°, \therefore ∠AEC=∠D+∠DCE=75°.$

【分析】
(1)要证明AC=CD，可通过证明两条边所在的三角形全等来推导。已知∠BCE和∠ACD均为90°，两个角同时减去公共角∠ACE，即可得到∠ACB=∠DCE，再结合题目给出的∠BAC=∠D、BC=CE的条件，可通过AAS判定△ABC与△DEC全等，利用全等三角形对应边相等的性质即可得证。
(2)求∠AEC的度数时，可观察到∠AEC是△DCE的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和。由(1)的全等结论可得∠DCE=∠ACB=30°，结合已知∠D=45°，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1)证明：$\because ∠BCE=∠ACD=90°$，
$\therefore ∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠DCE$，
$\therefore ∠ACB=∠DCE$。
在$△ ABC$ 和$△ DEC$ 中，
$\begin{cases} ∠BAC=∠D, \\ ∠ACB=∠DCE, \\ BC=EC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEC(AAS)$，
$\therefore AC=CD$。
(2)解：由(1)中$△ ABC≌△ DEC$的结论，可得$∠ DCE=∠ ACB=30°$，
$\because ∠AEC$是$△ DCE$的外角，
$\therefore ∠AEC=∠D+∠DCE=45°+30°=75°$。
【答案】
(1)已证得$AC=CD$；
(2)$∠ AEC=75{°}$
【知识点】
1.全等三角形的判定与性质
2.三角形外角的性质
3.角的和差计算
【点评】
本题是全等三角形应用的典型基础题，核心考察全等证明的逻辑推导和角度计算的能力，解题的关键是通过角的等量代换找到全等的判定条件，再利用全等的性质推导后续角度关系，能够帮助学生巩固全等证明的基本思路。
【难度系数】
0.75

类型4 一线三等角模型
模型呈现
（图：B、C、D在同一直线，△ABC，△CDE，∠B=α，∠ACE=α，∠D=α）
(α可为锐角、直角或钝角)
基本结论
如图,已知∠B=∠ACE=∠D=α, AB=CD 或 BC=或 AC=.
结论:△ABC≌△CDE
模型呈现
（图①：B、C、D共线，∠ABC=90°，∠AFE=90°，∠EDB=90°，F为AC与BE交点）
图①
（图②：∠ABC=90°，E在BD上，∠AED=90°，∠EDC=90°，C在右侧）
图②
一线三垂直
基本结论
如图,已知∠ABC=∠AFE=∠D=90°,AB=BD 或 BC=或 AC=.
结论:△ABC≌△BDE;
如图②,已知∠ABC=∠AED=∠D=90°,AB=BC 或 BE=或 AE=.
结论:△ABE≌△BCD

类型4:DE CE DE BE CD BD

【分析】
解决这类一线三等角模型的问题，首先先推导两个三角形的对应角相等：利用平角为180°、三角形内角和为180°（直角场景下用同角的余角相等），可证两个三角形有两组角对应相等，此时要判定三角形全等，只需补充一组对应边相等即可，结合全等三角形的对应边相等关系，就能写出需要填的对应边。
【解析】
1. 普通一线三等角场景：
已知∠B=∠ACE=∠D=α，由平角定义得∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°，由三角形内角和得∠ACB+∠B+∠A=180°，因此∠A=∠DCE。要证△ABC≌△CDE，已有两组角对应相等，补充对应边相等即可：AB=CD，或BC=DE，或AC=CE。
2. 图①一线三垂直场景：
已知∠ABC=∠AFE=∠D=90°，由同角的余角相等可得∠A=∠EBD，△ABC和△BDE两组角对应相等，要证全等补充对应边相等即可：AB=BD，或BC=DE，或AC=BE。
3. 图②一线三垂直场景：
已知∠ABC=∠AED=∠D=90°，由同角的余角相等可得∠A=∠CBD，△ABE和△BCD两组角对应相等，要证全等补充对应边相等即可：AB=BC，或BE=CD，或AE=BD。
【答案】
DE；CE；DE；BE；CD；BD
【知识点】
一线三等角模型；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形中常见的一线三等角模型的基础应用，熟练掌握模型中角相等的推导方法，结合全等三角形的判定和性质就能快速解题，该模型在全等证明的习题中使用率很高，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8

5. 一题多变 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D,A,E三点在直线$m$上,且$∠ BDA=∠ AEC=∠ BAC=α$.若$DE=10$,$BD=3$,求$CE$的长.

【变式题】本质不变,一线三等角中的等角:钝角→直角
在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$.分别过点$B,C$向直线$l$作垂线,垂足分别为$E,F$.
(1)如图①,若直线$l$与斜边$BC$不相交,求证:$EF=BE+CF$;
(2)如图②,若直线$l$与斜边$BC$相交,其他条件不变,且$BE=10$,$CF=3$,则线段$EF$的长为.

5. 解: $\because ∠AEC=∠BAC=α, \therefore ∠ACE+∠CAE=∠BAD+∠CAE=180°-α. \therefore ∠BAD=∠ACE. 在△BAD 和△ACE 中,\begin{cases} ∠BDA=∠AEC, \\ ∠BAD=∠ACE, \\ AB=CA, \end{cases} \therefore △BAD≌△ACE(AAS). \therefore CE=AD,AE=BD=3. \because DE=10, \therefore CE=AD=DE-AE=7.$
【变式题】(1)证明: $\because BE⊥EF,CF⊥EF, \therefore ∠BEA=∠AFC=90°=∠BAC. \therefore ∠BAE+∠CAF=∠ACF+∠CAF=90°. \therefore ∠BAE=∠ACF. 在△ABE 和△CAF 中,\begin{cases} ∠BEA=∠AFC, \\ ∠BAE=∠ACF, \\ AB=CA, \end{cases} \therefore △ABE≌△CAF(AAS). \therefore AE=CF,BE=AF. \therefore EF=AF+AE=BE+CF. (2)解:7$

【分析】
原题属于一线三等角全等模型题，已知AB=AC，且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，解题时首先利用角的和差关系推导一组对应角相等，再结合已知等角、等边，用AAS判定△BAD和△ACE全等，之后利用全等三角形对应边相等的性质，结合DE的长度做差即可求出CE的长度。变式题是一线三等角的直角特例：(1)当直线l与BC不相交时，先由垂直得到三个直角，推导∠BAE=∠ACF，证△ABE≌△CAF，将EF拆分为AF+AE，替换为BE+CF即可完成证明；(2)当直线l与BC相交时，全等关系依然成立，此时EF为两条对应边的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
原题解答：
$\because ∠AEC=∠BAC=α, \therefore ∠ACE+∠CAE=∠BAD+∠CAE=180°-α$
$\therefore ∠BAD=∠ACE$
在$△BAD$ 和$△ACE$ 中,
$\begin{cases} ∠BDA=∠AEC, \\ ∠BAD=∠ACE, \\ AB=CA, \end{cases}$
$\therefore △BAD≌△ACE(AAS)$
$\therefore CE=AD,AE=BD=3$
$\because DE=10, \therefore CE=AD=DE-AE=10-3=7$
变式题解答：
(1)证明：
$\because BE⊥EF,CF⊥EF, \therefore ∠BEA=∠AFC=90°=∠BAC$
$\therefore ∠BAE+∠CAF=∠ACF+∠CAF=90°$
$\therefore ∠BAE=∠ACF$
在$△ABE$ 和$△CAF$ 中,
$\begin{cases} ∠BEA=∠AFC, \\ ∠BAE=∠ACF, \\ AB=CA, \end{cases}$
$\therefore △ABE≌△CAF(AAS)$
$\therefore AE=CF,BE=AF$
$\therefore EF=AF+AE=BE+CF$，得证。
(2)解：同理可证$△ABE≌△CAF(AAS)$，$\therefore AE=CF=3,BE=AF=10$，$\therefore EF=AF-AE=10-3=7$
【答案】
原题：$CE=7$；变式题(1)证明见解析；(2)$7$
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；一线三等角模型
【点评】
本题组是一线三等角全等模型的典型考法，不管是钝角还是直角场景，核心都是通过角的和差推导对应角相等，结合已知等边证明三角形全等，再利用全等性质完成线段的和差运算，掌握该模型可快速找到解题突破口，简化推导过程。
【难度系数】
0.7