1. 如图，$∠ C=∠ D=90°$，有下列条件：①$AC=AD$；②$∠ ABC=∠ ABD$；③$BC=BD$。添加其中一个能判定$△ ABC$与$△ ABD$全等的条件的个数是（）


A.0
B.1
C.2
D.3

1. D

【分析】
首先明确△ABC和△ABD的已知条件：两个三角形都是直角三角形（∠C=∠D=90°），且有公共边AB=AB，接下来只需逐个验证给出的3个条件是否符合全等三角形的判定定理即可。全等三角形判定对直角三角形既适用普通的AAS、ASA等判定，也适用专属的HL判定，我们按这个思路逐一判断每个条件是否能证全等。
【解析】
已知∠C=∠D=90°，AB为△ABC和△ABD的公共边，即AB=AB：
1. 若添加条件①AC=AD：
在Rt△ABC和Rt△ABD中，$\{\begin{array}{l}AB=AB\\ AC=AD\end{array} $，根据直角三角形全等的HL判定定理，可得Rt△ABC≌Rt△ABD，故①符合要求；
2. 若添加条件②∠ABC=∠ABD：
在△ABC和△ABD中，$\{\begin{array}{l}∠ C=∠ D\\ ∠ ABC=∠ ABD\\ AB=AB\end{array} $，根据全等三角形的AAS判定定理，可得△ABC≌△ABD，故②符合要求；
3. 若添加条件③BC=BD：
在Rt△ABC和Rt△ABD中，$\{\begin{array}{l}AB=AB\\ BC=BD\end{array} $，根据直角三角形全等的HL判定定理，可得Rt△ABC≌Rt△ABD，故③符合要求。
综上，3个条件都能判定两个三角形全等。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形判定，HL判定定理，AAS判定定理
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，解题时要注意挖掘题目中隐含的公共边相等的条件，直角三角形既可以使用普通全等判定方法，也可以使用HL判定，熟练掌握各类判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$OA=OB$，$OC=OD$，$∠ AOC=∠ BOD$。
求证：$△ AOD ≌ △ BOC$。

证明：$\because ∠AOC=∠BOD, \therefore ∠AOC+∠COD=∠BOD+∠COD, 即∠AOD=∠BOC. 在△AOD 和△BOC 中,\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOD=∠BOC, \\ OD=OC, \end{cases} \therefore △AOD≌△BOC(SAS).$

【分析】
要证明$△ AOD ≌ △ BOC$，首先回忆三角形全等的判定定理，题目已给出两组对应边相等：$OA=OB$、$OC=OD$，因此只需证明两组边的夹角$∠ AOD$和$∠ BOC$相等即可。观察已知条件$∠ AOC=∠ BOD$，两个角同时加上公共角$∠ COD$，根据等式的性质即可得到$∠ AOD=∠ BOC$，满足SAS的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：$\because ∠AOC=∠BOD, \therefore ∠AOC+∠COD=∠BOD+∠COD, 即∠AOD=∠BOC.$
在$△ AOD$ 和$△ BOC$ 中,
$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOD=∠BOC, \\ OD=OC, \end{cases}$
$\therefore △ AOD≌△ BOC(\mathrm{SAS}).$
【答案】
$△ AOD≌△ BOC$，证明过程见解析。
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，核心是通过角的和差关系推导得到全等判定所需的夹角条件，解题时要注意挖掘图形中公共角、公共边等隐含条件，熟练掌握全等三角形的判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8

类型2 平移模型
模型
呈现
基本
结论
已知:如图,BC//DF,AC//DE,AC=DE或BC=DF或AE=.
结论:△ABC≌△EFD
A E B F C D l B(E) 图1

类型2:BF

【分析】
本题是全等三角形的平移模型问题，解题思路如下：第一步，先根据两组边平行的条件，利用平行线的性质得到两组对应角相等；第二步，明确要判定三角形全等，已有两组角对应相等，只需补充一组对应边相等即可；第三步，分析AE和待填线段的关系，通过线段和差的转化，得到全等需要的对应边AB=EF，即可推出待填的线段。
【解析】
解：
∵BC//DF，
∴∠ABC=∠F（两直线平行，同位角相等），
∵AC//DE，
∴∠A=∠DEF（两直线平行，同位角相等）。
若AE=BF，则AE+EB=BF+EB，即AB=EF。
在△ABC和△EFD中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ DEF \\AB=EF \\∠ ABC=∠ F\end{array} $
∴△ABC≌△EFD（ASA），满足题目结论要求，故横线处填BF。
【答案】
BF
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；线段和差关系
【点评】
本题考查全等三角形平移模型的应用，解题的关键是结合平行线性质得到对应角相等，再通过线段和差推导全等所需的对应边相等，属于全等判定的基础应用类题目，熟练掌握平移类全等的边、角对应关系可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在$△ ABC$和$△ DEF$中,点$B,E,C,F$在同一条直线上,$AB=DE$,给出下列三个条件:①$AC=DF$;②$∠ ABC=∠ DEF$;③$BE=CF$.解答下列问题:
(1)请选择两个合适的条件作为已知条件,余下一个作为结论,并给出证明过程:我选择作为已知条件,作为结论;(填序号)
(2)在(1)的条件下,若$AD// BF$,$AC$与$DE$相交于点$O$,$∠ ABC=55°$,$∠ DAC=48°$,求$∠ COE$的度数.

3. 解:(1)答案不唯一,如:①③ ② 证明如下：$\because BE=CF,\therefore BE+EC=CF+EC,即 BC=EF. 在△ABC 和△DEF 中,\begin{cases} AB=DE, \\ AC=DF, \\ BC=EF, \end{cases} \therefore △ABC≌△DEF(SSS). \therefore ∠ABC=∠DEF. (2) \because AD// BF,∠DAC=48°, \therefore ∠ACB=∠DAC=48°. 由(1)可得∠DEF=∠ABC=55°, \therefore ∠COE=180°-∠ACB-∠DEF=77°.$

【分析】
(1) 本题可结合全等三角形的判定定理选择条件：已知AB=DE，若选①③作为已知条件，先通过BE=CF推导得到BC=EF，即可用SSS判定定理证明△ABC≌△DEF，进而推出对应角相等得到结论②；也可选择②③作为已知，用SAS判定全等推结论①，此处以参考答案的组合为例讲解。
(2) 求∠COE的度数时，先利用平行线的内错角相等得到∠ACB的度数，再结合(1)中全等三角形对应角相等得到∠DEF的度数，最后根据三角形内角和为180°，在△OEC中计算∠COE即可。
【解析】
(1) 选择①③作为已知条件，②作为结论，证明如下：
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即$BC=EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases} AB=DE \\ AC=DF \\ BC=EF \end{cases}$
∴$△ ABC≌△ DEF(\mathrm{SSS})$，
∴$∠ ABC=∠ DEF$。
(2) 解：
∵$AD// BF$，$∠ DAC=48°$，根据两直线平行，内错角相等，
∴$∠ ACB=∠ DAC=48°$。
由(1)可得$∠ DEF=∠ ABC=55°$，
在$△ OEC$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ COE=180°-∠ ACB-∠ DEF=180°-48°-55°=77°$。
【答案】
(1) ①③，②（答案不唯一）；(2) $77°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形的基础综合题，核心是掌握全等三角形的判定定理，能结合已知条件合理选择判定方法构造全等，再结合平行线、三角形内角和的性质求解角度，是全等章节的常考题型。
【难度系数】
0.7