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(1)(教材P60复习题T13变式)如图，$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，AD，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的对应边上的中线.求证:$AD=A'D'$.
拓展思考:若 D,D'分别是边 BC 和 B'C'靠近同一组对应点的三等分点,则 AD 与 A'D'仍然相等吗? n 等分点呢?
拓展思考:若 D,D'分别是边 BC 和 B'C'靠近同一组对应点的三等分点,则 AD 与 A'D'仍然相等吗? n 等分点呢?
答案
1. 证明:
∵△ABC≌△A'B'C',
∴AB=A'B',∠B=∠B',BC=B'C'.
∵AD 和 A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'对应边上的中线,
∴BD=$\frac{1}{2}$BC,$B'D'$=$\frac{1}{2}B'C'$.
∴BD=B'D'.在△ABD 和△A'B'D'中，
$\begin{cases} AB=A'B', \\ ∠B=∠B', \\ BD=B'D', \end{cases}$
∴△ABD≌△A'B'D'(SAS).
∴AD=A'D'.
∵△ABC≌△A'B'C',
∴AB=A'B',∠B=∠B',BC=B'C'.
∵AD 和 A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'对应边上的中线,
∴BD=$\frac{1}{2}$BC,$B'D'$=$\frac{1}{2}B'C'$.
∴BD=B'D'.在△ABD 和△A'B'D'中，
$\begin{cases} AB=A'B', \\ ∠B=∠B', \\ BD=B'D', \end{cases}$
∴△ABD≌△A'B'D'(SAS).
∴AD=A'D'.
解析
【分析】
要证明$AD=A'D'$，可通过证明两条线段所在的$△ ABD$和$△ A'B'D'$全等推导。首先利用已知$△ ABC≌△ A'B'C'$，可得到对应边$AB=A'B'$、$BC=B'C'$，对应角$∠ B=∠ B'$；再结合中线的定义，可推出$BD=B'D'$，此时满足SAS的全等判定条件，即可证明两个三角形全等，进而得到对应边$AD=A'D'$。对于拓展问题，三等分点、n等分点的情况可类比中线的推导思路，只要证明$BD=B'D'$，即可用同样的全等判定得到$AD=A'D'$。
【解析】
1. 证明：
$\because△ ABC≌△ A'B'C'$，
$\therefore AB=A'B'$，$∠ B=∠ B'$，$BC=B'C'$。
$\because AD$和$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$对应边上的中线，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$，
$\therefore BD=B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\begin{cases} AB=A'B', \\ ∠ B=∠ B', \\ BD=B'D', \end{cases}$
$\therefore△ ABD≌△ A'B'D'(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=A'D'$。
拓展思考解答：
若$D,D'$分别是边$BC$和$B'C'$靠近同一组对应点的三等分点，则$BD=\frac{1}{3}BC$，$B'D'=\frac{1}{3}B'C'$，结合$BC=B'C'$可得$BD=B'D'$，同理可证$△ ABD≌△ A'B'D'(\mathrm{SAS})$，故$AD=A'D'$，仍然相等；
若为$n$等分点，同理可得$BD=\frac{1}{n}BC$，$B'D'=\frac{1}{n}B'C'$，即$BD=B'D'$，仍可通过SAS证明$△ ABD≌△ A'B'D'$，故$AD=A'D'$，仍然相等。
【答案】
$AD=A'D'$得证；三等分点时$AD$与$A'D'$相等，$n$等分点时$AD$与$A'D'$也相等。
【知识点】
全等三角形的性质，三角形中线定义，SAS判定全等
【点评】
本题是全等三角形性质与判定的基础应用题目，核心解题思路是通过证明线段所在三角形全等得到线段相等，本题结论可推广为全等三角形对应边上的等分点到对应顶点的距离相等，有助于加深对全等三角形性质的理解。
【难度系数】
0.8
要证明$AD=A'D'$，可通过证明两条线段所在的$△ ABD$和$△ A'B'D'$全等推导。首先利用已知$△ ABC≌△ A'B'C'$，可得到对应边$AB=A'B'$、$BC=B'C'$，对应角$∠ B=∠ B'$；再结合中线的定义，可推出$BD=B'D'$，此时满足SAS的全等判定条件，即可证明两个三角形全等，进而得到对应边$AD=A'D'$。对于拓展问题，三等分点、n等分点的情况可类比中线的推导思路，只要证明$BD=B'D'$，即可用同样的全等判定得到$AD=A'D'$。
【解析】
1. 证明：
$\because△ ABC≌△ A'B'C'$，
$\therefore AB=A'B'$，$∠ B=∠ B'$，$BC=B'C'$。
$\because AD$和$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$对应边上的中线，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$，
$\therefore BD=B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\begin{cases} AB=A'B', \\ ∠ B=∠ B', \\ BD=B'D', \end{cases}$
$\therefore△ ABD≌△ A'B'D'(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=A'D'$。
拓展思考解答：
若$D,D'$分别是边$BC$和$B'C'$靠近同一组对应点的三等分点，则$BD=\frac{1}{3}BC$，$B'D'=\frac{1}{3}B'C'$，结合$BC=B'C'$可得$BD=B'D'$，同理可证$△ ABD≌△ A'B'D'(\mathrm{SAS})$，故$AD=A'D'$，仍然相等；
若为$n$等分点，同理可得$BD=\frac{1}{n}BC$，$B'D'=\frac{1}{n}B'C'$，即$BD=B'D'$，仍可通过SAS证明$△ ABD≌△ A'B'D'$，故$AD=A'D'$，仍然相等。
【答案】
$AD=A'D'$得证；三等分点时$AD$与$A'D'$相等，$n$等分点时$AD$与$A'D'$也相等。
【知识点】
全等三角形的性质，三角形中线定义，SAS判定全等
【点评】
本题是全等三角形性质与判定的基础应用题目，核心解题思路是通过证明线段所在三角形全等得到线段相等，本题结论可推广为全等三角形对应边上的等分点到对应顶点的距离相等，有助于加深对全等三角形性质的理解。
【难度系数】
0.8
【运用结论】挖掘基本模型条件：$△ ABC ≌ △ ACB$
如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$，$E$分别在边$AB$和$AC$上，连接$BE$，$CD$，交于点$F$。若$AB=3AD$，$AC=3AE$，$BE=2$，则$CD$的长为
(2)如图，$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，$AE$，$A'E'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的对应边上的高。求证：$AE=A'E'$。
延伸：若$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，则$S_{△ ABC}$
(3)(教材 P45 习题 T16 原题呈现)如图，$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，$AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$，$△ A'B'C'$的对应角的平分线。求证：$AD=A'D'$。
如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$，$E$分别在边$AB$和$AC$上，连接$BE$，$CD$，交于点$F$。若$AB=3AD$，$AC=3AE$，$BE=2$，则$CD$的长为
2
。(2)如图，$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，$AE$，$A'E'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的对应边上的高。求证：$AE=A'E'$。
延伸：若$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，则$S_{△ ABC}$
=
$S_{△ A'B'C'}$。(填“=”或“≠”)(3)(教材 P45 习题 T16 原题呈现)如图，$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，$AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$，$△ A'B'C'$的对应角的平分线。求证：$AD=A'D'$。
答案
2. CD的长为2
(2) 证明:
∵△ABC≌△A'B'C',
∴AB=A'B',∠B=∠B'.
∵AE,A'E'分别是△ABC和△A'B'C'对应边上的高,
∴∠BEA=90°,∠B'E'A'=90°.
∴∠BEA=∠B'E'A'.在△ABE和△A'B'E'中，
$\begin{cases} ∠BEA=∠B'E'A', \\ ∠B=∠B', \\ AB=A'B', \end{cases}$
∴△ABE≌△A'B'E'(AAS).
∴AE=A'E'.
延伸：=
(3) 证明:
∵△ABC≌△A'B'C',
∴AB=A'B',∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'.
∵AD和A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的对应角的平分线,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C'.
∴∠BAD=∠B'A'D'.在△ABD和△A'B'D'中，$\begin{cases} ∠BAD=∠B'A'D', \\ AB=A'B', \\ ∠B=∠B', \end{cases}$
∴△ABD≌△A'B'D'(ASA).
∴AD=A'D'.
(2) 证明:
∵△ABC≌△A'B'C',
∴AB=A'B',∠B=∠B'.
∵AE,A'E'分别是△ABC和△A'B'C'对应边上的高,
∴∠BEA=90°,∠B'E'A'=90°.
∴∠BEA=∠B'E'A'.在△ABE和△A'B'E'中，
$\begin{cases} ∠BEA=∠B'E'A', \\ ∠B=∠B', \\ AB=A'B', \end{cases}$
∴△ABE≌△A'B'E'(AAS).
∴AE=A'E'.
延伸：=
(3) 证明:
∵△ABC≌△A'B'C',
∴AB=A'B',∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'.
∵AD和A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的对应角的平分线,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C'.
∴∠BAD=∠B'A'D'.在△ABD和△A'B'D'中，$\begin{cases} ∠BAD=∠B'A'D', \\ AB=A'B', \\ ∠B=∠B', \end{cases}$
∴△ABD≌△A'B'D'(ASA).
∴AD=A'D'.
解析
【分析】
(1) 求CD长度的思路：先根据已知AB=AC，AB=3AD、AC=3AE推导得AD=AE，观察△ABE和△ACD，两组对应边AB=AC、AE=AD，且有公共夹角∠A，满足SAS全等判定条件，证得两三角形全等后，利用全等三角形对应边相等即可得到CD的长度。
(2) 证明对应高相等的思路：先由全等三角形性质得到AB=A'B'、∠B=∠B'，结合高的定义得∠BEA=∠B'E'A'=90°，用AAS判定△ABE≌△A'B'E'，即可推出AE=A'E'；全等三角形能完全重合，因此面积相等，可直接填写延伸空。
(3) 证明对应角平分线相等的思路：先由全等三角形性质得AB=A'B'、∠B=∠B'、∠BAC=∠B'A'C'，结合角平分线定义推导得∠BAD=∠B'A'D'，用ASA判定△ABD≌△A'B'D'，即可得到AD=A'D'。
【解析】
(1) 解：
∵AB=AC，AB=3AD，AC=3AE，
∴AD=AE，
在△ABE和△ACD中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠A=∠A \\ AE=AD \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴CD=BE=2。
(2) 证明：
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=A'B'，∠B=∠B'。
∵AE，A'E'分别是△ABC和△A'B'C'对应边上的高，
∴∠BEA=90°，∠B'E'A'=90°，
∴∠BEA=∠B'E'A'。
在△ABE和△A'B'E'中：
$\begin{cases} ∠BEA=∠B'E'A' \\ ∠B=∠B' \\ AB=A'B' \end{cases}$
∴△ABE≌△A'B'E'（AAS），
∴AE=A'E'。
延伸：全等三角形可以完全重合，因此面积相等，故填“=”。
(3) 证明：
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=A'B'，∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'。
∵AD和A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的对应角的平分线，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C'，
∴∠BAD=∠B'A'D'。
在△ABD和△A'B'D'中：
$\begin{cases} ∠BAD=∠B'A'D' \\ AB=A'B' \\ ∠B=∠B' \end{cases}$
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA），
∴AD=A'D'。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) 证明见解析，延伸：$\boldsymbol{=}$；(3) 证明见解析
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形高的定义
3. 角平分线的定义
【点评】
本题从基础的全等判定应用出发，逐步探究全等三角形对应高、对应角平分线的性质，既巩固了全等三角形的判定定理，又加深了对全等三角形“对应特殊线段相等、面积相等”规律的理解，是全等三角形章节的典型基础习题。
【难度系数】
0.7
(1) 求CD长度的思路：先根据已知AB=AC，AB=3AD、AC=3AE推导得AD=AE，观察△ABE和△ACD，两组对应边AB=AC、AE=AD，且有公共夹角∠A，满足SAS全等判定条件，证得两三角形全等后，利用全等三角形对应边相等即可得到CD的长度。
(2) 证明对应高相等的思路：先由全等三角形性质得到AB=A'B'、∠B=∠B'，结合高的定义得∠BEA=∠B'E'A'=90°，用AAS判定△ABE≌△A'B'E'，即可推出AE=A'E'；全等三角形能完全重合，因此面积相等，可直接填写延伸空。
(3) 证明对应角平分线相等的思路：先由全等三角形性质得AB=A'B'、∠B=∠B'、∠BAC=∠B'A'C'，结合角平分线定义推导得∠BAD=∠B'A'D'，用ASA判定△ABD≌△A'B'D'，即可得到AD=A'D'。
【解析】
(1) 解：
∵AB=AC，AB=3AD，AC=3AE，
∴AD=AE，
在△ABE和△ACD中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠A=∠A \\ AE=AD \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴CD=BE=2。
(2) 证明：
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=A'B'，∠B=∠B'。
∵AE，A'E'分别是△ABC和△A'B'C'对应边上的高，
∴∠BEA=90°，∠B'E'A'=90°，
∴∠BEA=∠B'E'A'。
在△ABE和△A'B'E'中：
$\begin{cases} ∠BEA=∠B'E'A' \\ ∠B=∠B' \\ AB=A'B' \end{cases}$
∴△ABE≌△A'B'E'（AAS），
∴AE=A'E'。
延伸：全等三角形可以完全重合，因此面积相等，故填“=”。
(3) 证明：
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=A'B'，∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'。
∵AD和A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的对应角的平分线，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C'，
∴∠BAD=∠B'A'D'。
在△ABD和△A'B'D'中：
$\begin{cases} ∠BAD=∠B'A'D' \\ AB=A'B' \\ ∠B=∠B' \end{cases}$
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA），
∴AD=A'D'。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) 证明见解析，延伸：$\boldsymbol{=}$；(3) 证明见解析
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形高的定义
3. 角平分线的定义
【点评】
本题从基础的全等判定应用出发，逐步探究全等三角形对应高、对应角平分线的性质，既巩固了全等三角形的判定定理，又加深了对全等三角形“对应特殊线段相等、面积相等”规律的理解，是全等三角形章节的典型基础习题。
【难度系数】
0.7
拓展思考:若$∠ BAD=\frac{1}{n}∠ BAC,∠ B'A'D'=\frac{1}{n}∠ B'A'C'$,则AD与A'D'仍然相等吗？
方法总结:全等三角形对应中线、角平分线、高相等.
【变式题】求证:有两个角及其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等.
已知:如图,在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中,$∠ B=∠ B',∠ BAC=∠ B'A'C',AD,A'D'$分别是$∠ BAC,∠ B'A'C'$的平分线,且
求证:$△ ABC≌△ A'B'C'$.
方法总结:全等三角形对应中线、角平分线、高相等.
【变式题】求证:有两个角及其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等.
已知:如图,在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中,$∠ B=∠ B',∠ BAC=∠ B'A'C',AD,A'D'$分别是$∠ BAC,∠ B'A'C'$的平分线,且
AD=A'D'
.求证:$△ ABC≌△ A'B'C'$.
答案
【变式题】解:AD=A'D' 证明如下:
∵AD,A'D'分别是∠BAC,∠B'A'C'的平分线,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C'.
∵∠BAC=∠B'A'C',
∴∠BAD=∠B'A'D'.在△BAD和△B'A'D'中，
$\begin{cases} ∠BAD=∠B'A'D', \\ ∠B=∠B', \\ AD=A'D', \end{cases}$
∴△BAD≌△B'A'D'(AAS).
∴AB=A'B'.在△ABC和△A'B'C'中，
$\begin{cases} ∠B=∠B', \\ AB=A'B', \\ ∠BAC=∠B'A'C', \end{cases}$
∴△ABC≌△A'B'C'(ASA).
∵AD,A'D'分别是∠BAC,∠B'A'C'的平分线,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C'.
∵∠BAC=∠B'A'C',
∴∠BAD=∠B'A'D'.在△BAD和△B'A'D'中，
$\begin{cases} ∠BAD=∠B'A'D', \\ ∠B=∠B', \\ AD=A'D', \end{cases}$
∴△BAD≌△B'A'D'(AAS).
∴AB=A'B'.在△ABC和△A'B'C'中，
$\begin{cases} ∠B=∠B', \\ AB=A'B', \\ ∠BAC=∠B'A'C', \end{cases}$
∴△ABC≌△A'B'C'(ASA).
解析
【分析】
要证明$△ ABC≌△ A'B'C'$，已知$∠ B=∠ B'$、$∠ BAC=∠ B'A'C'$，根据ASA全等判定规则，只需再得到一组对应边$AB=A'B'$即可。题目给出了角平分线的条件，首先补全已知条件为$AD=A'D'$，我们可以先利用角平分线的定义推导得$∠ BAD=∠ B'A'D'$，结合已知的$∠ B=∠ B'$、$AD=A'D'$，先证明$△ BAD≌△ B'A'D'$，即可得到$AB=A'B'$，进而证明大三角形全等。
【解析】
首先补全已知条件：$\boldsymbol{AD=A'D'}$，证明过程如下：
∵$AD$、$A'D'$分别是$∠ BAC$、$∠ B'A'C'$的平分线，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ B'A'D'=\frac{1}{2}∠ B'A'C'$。
又
∵$∠ BAC=∠ B'A'C'$，
∴$∠ BAD=∠ B'A'D'$。
在$△ BAD$和$△ B'A'D'$中：
$\begin{cases} ∠ BAD=∠ B'A'D' \\ ∠ B=∠ B' \\ AD=A'D' \end{cases}$
∴$△ BAD≌△ B'A'D'$（AAS），
∴$AB=A'B'$。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中：
$\begin{cases} ∠ B=∠ B' \\ AB=A'B' \\ ∠ BAC=∠ B'A'C' \end{cases}$
∴$△ ABC≌△ A'B'C'$（ASA）。
【答案】
已知横线处填$\boldsymbol{AD=A'D'}$，$△ ABC≌△ A'B'C'$得证。
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础综合题，通过先证明小三角形全等获得证明大三角形全等缺少的边条件，体现了转化的数学思想，有助于理解全等三角形对应角平分线的相关性质。
【难度系数】
0.7
要证明$△ ABC≌△ A'B'C'$，已知$∠ B=∠ B'$、$∠ BAC=∠ B'A'C'$，根据ASA全等判定规则，只需再得到一组对应边$AB=A'B'$即可。题目给出了角平分线的条件，首先补全已知条件为$AD=A'D'$，我们可以先利用角平分线的定义推导得$∠ BAD=∠ B'A'D'$，结合已知的$∠ B=∠ B'$、$AD=A'D'$，先证明$△ BAD≌△ B'A'D'$，即可得到$AB=A'B'$，进而证明大三角形全等。
【解析】
首先补全已知条件：$\boldsymbol{AD=A'D'}$，证明过程如下：
∵$AD$、$A'D'$分别是$∠ BAC$、$∠ B'A'C'$的平分线，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ B'A'D'=\frac{1}{2}∠ B'A'C'$。
又
∵$∠ BAC=∠ B'A'C'$，
∴$∠ BAD=∠ B'A'D'$。
在$△ BAD$和$△ B'A'D'$中：
$\begin{cases} ∠ BAD=∠ B'A'D' \\ ∠ B=∠ B' \\ AD=A'D' \end{cases}$
∴$△ BAD≌△ B'A'D'$（AAS），
∴$AB=A'B'$。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中：
$\begin{cases} ∠ B=∠ B' \\ AB=A'B' \\ ∠ BAC=∠ B'A'C' \end{cases}$
∴$△ ABC≌△ A'B'C'$（ASA）。
【答案】
已知横线处填$\boldsymbol{AD=A'D'}$，$△ ABC≌△ A'B'C'$得证。
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础综合题，通过先证明小三角形全等获得证明大三角形全等缺少的边条件，体现了转化的数学思想，有助于理解全等三角形对应角平分线的相关性质。
【难度系数】
0.7
