1. 若二次函数 $ y = - \frac{1}{2}(x - m)^{2} + 3 $,当 $ x \leqslant 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,则 $ m $ 的取值范围为( )

A.$ m = 2 $
B.$ m \gt 2 $
C.$ m \geqslant 2 $
D.$ m \leqslant 2 $

C.

二次函数$y = -\frac{1}{2}(x - m)^2 + 3$的对称轴为直线$x = m$，开口向下。
当$x \leq m$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知当$x \leq 2$时，$y$随$x$的增大而增大，所以$m \geq 2$。
C.

2. 点 $ P_{1}(-1,y_{1}) $,$ P_{2}(3,y_{2}) $,$ P_{3}(5,y_{3}) $ 均在二次函数 $ y = - x^{2} + 2x + c $ 的图象上,则 $ y_{1},y_{2},y_{3} $ 的大小关系是( )

A.$ y_{3} \gt y_{2} \gt y_{1} $
B.$ y_{3} \gt y_{1} = y_{2} $
C.$ y_{1} \gt y_{2} \gt y_{3} $
D.$ y_{1} = y_{2} \gt y_{3} $

D.

二次函数$y = -x^{2} + 2x + c$的对称轴为直线$x = -\frac{2}{2×(-1)} = 1$。
点$P_{1}(-1,y_{1})$到对称轴$x = 1$的距离为$| -1 - 1 | = 2$；
点$P_{2}(3,y_{2})$到对称轴$x = 1$的距离为$| 3 - 1 | = 2$；
点$P_{3}(5,y_{3})$到对称轴$x = 1$的距离为$| 5 - 1 | = 4$。
因为二次函数$y = -x^{2} + 2x + c$中$a = -1 ＜ 0$，所以抛物线开口向下，在对称轴两侧，距离对称轴越近，函数值越大。
由于点$P_{1}$和$P_{2}$到对称轴的距离相等，所以$y_{1} = y_{2}$；点$P_{3}$到对称轴的距离大于点$P_{1}$和$P_{2}$到对称轴的距离，所以$y_{3}$小于$y_{1}$和$y_{2}$。
综上，$y_{1} = y_{2} ＞ y_{3}$，答案选D。

3. 对于二次函数 $ y = - \frac{1}{4}x^{2} + x - 4 $,下列说法正确的是( )

A.当 $ x \gt 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
B.当 $ x = 2 $ 时,$ y $ 有最大值 $ - 3 $
C.图象的顶点坐标为 $ (-2,-7) $
D.图象与 $ x $ 轴有两个交点

B.

对于二次函数$y = -\frac{1}{4}x^{2} + x - 4$，其中$a=-\frac{1}{4}$，$b=1$，$c=-4$。
对称轴为$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2×(-\frac{1}{4})}=2$。
因为$a=-\frac{1}{4}＜0$，抛物线开口向下，所以当$x=2$时，$y$有最大值。
将$x=2$代入函数得：$y=-\frac{1}{4}×2^{2}+2 - 4=-\frac{1}{4}×4 + 2 - 4=-1 + 2 - 4=-3$，顶点坐标为$(2,-3)$。
A选项：当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小，A错误。
B选项：当$x = 2$时，$y$有最大值$-3$，B正确。
C选项：顶点坐标为$(2,-3)$，C错误。
D选项：$\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4×(-\frac{1}{4})×(-4)=1 - 4=-3＜0$，图象与$x$轴无交点，D错误。
结论：B

4. 将二次函数 $ y = - \frac{1}{2}x^{2} - 2x - 1 $ 通过配方化成 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的形式为 $ y = $____,它的图象的顶点坐标是____,对称轴是____。

$-\dfrac{1}{2}(x+2)^{2}+1$;$(-2,1)$;直线$x=-2$.

5. 对于一个二次函数 $ y = a(x - m)^{2} + k(a \neq 0) $ 中存在一点 $ P(x',y') $,使得 $ x' - m = y' - k \neq 0 $,则称 $ 2|x' - m| $ 为该抛物线的“开口大小”,那么抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x + 3 $ 的“开口大小”为____。

4.

将抛物线$y = \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x + 3$化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}\left(x^{2}+\frac{2}{3}x\right)+3\\&=\frac{1}{2}\left[\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}-\frac{1}{9}\right]+3\\&=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}-\frac{1}{18}+3\\&=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}+\frac{53}{18}\end{aligned}$
所以$m=-\frac{1}{3}$，$k=\frac{53}{18}$，$a=\frac{1}{2}$。
设点$P(x',y')$满足$x' - m = y' - k = t(t\neq0)$，则$x' = m + t=-\frac{1}{3}+t$，$y' = k + t=\frac{53}{18}+t$。
因为点$P$在抛物线上，所以$y' = a(x' - m)^{2}+k$，即：
$\frac{53}{18}+t=\frac{1}{2}t^{2}+\frac{53}{18}$
化简得$\frac{1}{2}t^{2}-t=0$，解得$t=2$（$t=0$舍去）。
“开口大小”为$2|t|=2×2=4$。
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6. 把抛物线 $ y = - \frac{1}{2}x^{2} + x $ 向____平移____个单位长度,再向____平移____个单位长度,得到抛物线 $ y = - \frac{1}{2}x^{2} $。

左;1;下;$\dfrac{1}{2}$.

7. 二次函数 $ y = - (x + 3)^{2} + h(t \leqslant x \leqslant t + 2) $ 的图象上任意两点连线不与 $ x $ 轴平行,则 $ t $ 的取值范围为____。

$t\leqslant -5$或$t\geqslant -3$.

二次函数$y=-(x + 3)^{2}+h$的对称轴为直线$x=-3$，开口向下。
若区间$[t,t + 2]$在对称轴左侧，即$t + 2\leqslant-3$，解得$t\leqslant-5$，此时函数在该区间单调递增，任意两点连线不与$x$轴平行。
若区间$[t,t + 2]$在对称轴右侧，即$t\geqslant-3$，此时函数在该区间单调递减，任意两点连线不与$x$轴平行。
综上，$t$的取值范围为$t\leqslant -5$或$t\geqslant -3$。

8. 如图,抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴相交于 $ A(-1,0) $,$ B(3,0) $ 两点,顶点 $ M $ 关于 $ x $ 轴的对称点是 $ M' $。
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线 $ AM' $ 与此抛物线的另一个交点为 $ C $,求 $ \triangle CAB $ 的面积。
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（1）抛物线的解析式为$y=x^{2}-2x-3$；（2）$\triangle CAB$的面积是24.

（1）解：将$A(-1,0)$，$B(3,0)$代入$y=x^{2}+bx+c$，得
$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\9 + 3b + c = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = -2 \\c = -3\end{cases}$
抛物线的解析式为$y=x^{2}-2x-3$。
（2）解：$y=x^{2}-2x-3=(x - 1)^{2}-4$，顶点$M(1,-4)$，则$M'(1,4)$。
设直线$AM'$的解析式为$y=kx + d$，将$A(-1,0)$，$M'(1,4)$代入，得
$\begin{cases}-k + d = 0 \\k + d = 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 2 \\d = 2\end{cases}$
直线$AM'$的解析式为$y=2x + 2$。
联立$\begin{cases}y = 2x + 2 \\y = x^{2}-2x - 3\end{cases}$
得$x^{2}-4x - 5 = 0$
解得$x_{1}=-1$（舍去），$x_{2}=5$
当$x = 5$时，$y=2×5 + 2=12$，则$C(5,12)$。
$AB=3 - (-1)=4$
$\triangle CAB$的面积为$\frac{1}{2}×4×12=24$。