1. 对于二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 5 $ 的图象,下列说法正确的是( )

A.开口向下
B.对称轴是直线 $ x = - 2 $
C.与 $ x $ 轴有两个交点
D.顶点坐标是 $ (2,1) $

D.

对于二次函数$y = x^{2}-4x + 5$：
因为二次项系数$1＞0$，所以抛物线开口向上，A错误；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2$，B错误；
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×5=16 - 20=-4＜0$，所以与$x$轴没有交点，C错误；
当$x = 2$时，$y=2^{2}-4×2 + 5=4-8 + 5=1$，顶点坐标是$(2,1)$，D正确。
D

2. 抛物线 $ y = x^{2} - 2x - m^{2} $($ m $ 是常数)的顶点在( )

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

D.

将抛物线$y = x^{2}-2x - m^{2}$化为顶点式：$y=(x - 1)^{2}-1 - m^{2}$，顶点坐标为$(1,-1 - m^{2})$。
因为$m^{2}\geq0$，所以$-1 - m^{2}\leq - 1$。
顶点横坐标$1＞0$，纵坐标$-1 - m^{2}＜0$，故顶点在第四象限。
D.

3. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图所示,则 $ a,b,c $ 满足( )

A.$ a \lt 0,b \lt 0,c \lt 0 $
B.$ a \gt 0,b \lt 0,c \lt 0 $
C.$ a \lt 0,b \gt 0,c \gt 0 $
D.$ a \gt 0,b \lt 0,c \gt 0 $
]

D.

解：
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
∵抛物线对称轴在$y$轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，又$a＞0$，
∴$b＜0$；
∵抛物线与$y$轴交于正半轴，
∴$c＞0$；
综上，$a＞0,b＜0,c＞0$。
D.

4. 若函数 $ y = - 3x^{2} + 12x + 5 $ 中,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,则 $ x $ 的取值范围是____。

$x＜2$.

5. 已知抛物线 $ y = x^{2} + (m - 1)x - 4 $ 的顶点的横坐标是 $ - 8 $,则 $ m = $____。

17.

对于抛物线$y = ax^{2}+bx + c$，其顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y=x^{2}+(m - 1)x-4$中，$a = 1$，$b=m - 1$。
已知顶点的横坐标是$-8$，则$-\frac{b}{2a}=-\frac{m - 1}{2×1}=-8$。
即$-\frac{m - 1}{2}=-8$，
两边同时乘以$2$得：$-(m - 1)=-16$，
去括号得：$-m + 1=-16$，
移项得：$-m=-16 - 1$，
$-m=-17$，
解得$m = 17$。
17

6. 已知抛物线 $ y = - x^{2} + 4x + m - 2 $ 的最大值为 $ - 1 $,则 $ m = $____。

$-3$.

对于抛物线$y = -x^{2} + 4x + m - 2$，其中$a=-1$，$b=4$，$c=m - 2$。
因为$a=-1＜0$，抛物线开口向下，所以在顶点处取得最大值。
顶点的横坐标为$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)} = 2$。
将$x = 2$代入抛物线方程可得最大值：
$\begin{aligned}y&=-(2)^{2}+4×2 + m - 2\\&=-4 + 8 + m - 2\\&=2 + m\end{aligned}$
已知最大值为$-1$，则$2 + m=-1$，解得$m=-3$。
$-3$

7. 已知函数 $ y = x^{2} - 2x - 2 $ 的图象如图所示,根据图中提供的信息,可求得使 $ y \geqslant 1 $ 成立的 $ x $ 的取值范围是____。
]

$x\leqslant -1$或$x\geqslant 3$.

解：令$y = 1$，则$x^{2}-2x - 2=1$，
即$x^{2}-2x - 3=0$，
因式分解得$(x - 3)(x + 1)=0$，
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$。
由函数图象可知，抛物线开口向上，
所以当$y \geqslant 1$时，$x \leqslant -1$或$x \geqslant 3$。
$x\leqslant -1$或$x\geqslant 3$

问题 已知抛物线 $ y = x^{2} + (a + 1)x + a $,其中 $ a $ 为实数。
(1)若抛物线经过点 $ (-1,m) $,则 $ m = $____；
(2)将抛物线向上平移 $ 2 $ 个单位长度,所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是____。

(1) 将 $ x = -1 $ 代入抛物线 $ y = x^2 + (a + 1)x + a $，得：
$ y = (-1)^2 + (a + 1)(-1) + a = 1 - a - 1 + a = 0 $，故 $ m = 0 $。
(2) 原抛物线 $ y = x^2 + (a + 1)x + a $ 的顶点纵坐标为：
$ \frac{4 × 1 × a - (a + 1)^2}{4 × 1} = \frac{4a - (a^2 + 2a + 1)}{4} = \frac{-a^2 + 2a - 1}{4} = -\frac{(a - 1)^2}{4} $。
向上平移 2 个单位后，顶点纵坐标为 $ -\frac{(a - 1)^2}{4} + 2 $。
因为 $ (a - 1)^2 \geq 0 $，所以 $ -\frac{(a - 1)^2}{4} \leq 0 $，当 $ a = 1 $ 时，$ -\frac{(a - 1)^2}{4} $ 取最大值 0，此时顶点纵坐标最大值为 $ 0 + 2 = 2 $。
(1) 0
(2) 2