4. 若二次函数$y = mx^{m^2 - 1} + 3x + (m - 4)$有最小值,则$m$的值是____。

$\sqrt{3}$.

因为函数是二次函数，所以$m^2 - 1 = 2$且$m \neq 0$。
由$m^2 - 1 = 2$，得$m^2 = 3$，解得$m = \sqrt{3}$或$m = -\sqrt{3}$。
又因为二次函数有最小值，所以二次项系数$m ＞ 0$，故$m = \sqrt{3}$。
$\sqrt{3}$

5. 将抛物线$y = 4x^2$向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的函数解析式为____。

y = 4(x + 2)² - 3.

$y = 4(x + 2)^2 - 3$

6. 已知二次函数$y = 3(x - a)^2$,若当$x ＞ 2$时,$y随x$的增大而增大,则$a$的取值范围是____。

a ≤ 2.

二次函数$y = 3(x - a)^2$的对称轴为直线$x = a$，且抛物线开口向上。当$x ＞ a$时，$y$随$x$的增大而增大。已知当$x ＞ 2$时，$y$随$x$的增大而增大，所以$a \leq 2$。
$a \leq 2$

7. 设点$A(-1,y_1)$,$B(1,y_2)$,$C(2,y_3)是抛物线y = -2(x - 1)^2 + m$上的三点,则$y_1$,$y_2$,$y_3$的大小关系是____ (用“$＜$”连接)。

y₁ ＜ y₃ ＜ y₂.

抛物线$y = -2(x - 1)^2 + m$的对称轴为直线$x=1$，开口向下。
点$A(-1,y_1)$到对称轴$x=1$的距离为$\vert -1 - 1\vert=2$；
点$B(1,y_2)$在对称轴上，距离为$0$；
点$C(2,y_3)$到对称轴$x=1$的距离为$\vert 2 - 1\vert=1$。
因为抛物线开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，所以$y_1＜y_3＜y_2$。
$y_1＜y_3＜y_2$

8. 如图,抛物线与$x轴交于A$,$B$两点,与$y轴交于点C$,它的顶点坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{25}{8})$,且与抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2$的开口方向、形状相同。
(1) 直接写出抛物线的函数解析式；
(2) 求点$A$,$B$,$C$三点的坐标；
(3) $M是线段AB$上的任意一点,当$\triangle MBC$为等腰三角形时,求点$M$的坐标。
]

（1）y = -$\frac{1}{2}$(x + $\frac{1}{2}$)² + $\frac{25}{8}$；（2）A(2,0)，B(-3,0)，C(0,3)；（3）点M的坐标为(0,0)或(3$\sqrt{2}$ - 3,0)。

（1）$y=-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2+\frac{25}{8}$
（2）令$y=0$，则$-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2+\frac{25}{8}=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-3$，所以$A(2,0)$，$B(-3,0)$；令$x=0$，得$y=-\frac{1}{2}(\frac{1}{2})^2+\frac{25}{8}=3$，所以$C(0,3)$
（3）设$M(m,0)$，$B(-3,0)$，$C(0,3)$，$BC=\sqrt{(-3-0)^2+(0-3)^2}=3\sqrt{2}$
①当$MB=MC$时，$(m+3)^2=m^2+3^2$，解得$m=0$，所以$M(0,0)$
②当$BC=BM$时，$|m+3|=3\sqrt{2}$，$m=-3+3\sqrt{2}$或$m=-3-3\sqrt{2}$（舍去），所以$M(3\sqrt{2}-3,0)$
③当$BC=MC$时，$m^2+3^2=(3\sqrt{2})^2$，解得$m=3$或$m=-3$（舍去），$M(3,0)$不在线段$AB$上，故舍去
综上，点$M$的坐标为$(0,0)$或$(3\sqrt{2}-3,0)$

已知二次函数$y_1 = -(x + 1)^2 + 4$的图象如图所示。
(1) 请在同一平面直角坐标系中画出二次函数$y_2 = -(x - 2)^2 + 1$的图象；
(2) 平行于$x轴的直线y = k在抛物线y_2 = -(x - 2)^2 + 1上截得线段AB = 4$,求抛物线$y_2 = -(x - 2)^2 + 1的顶点到线段AB$的距离；
(3) 当$-1 ＜ x ＜ 2$时,利用函数图象比较$y_1与y_2$的大小。
]

（1）如图所示：

（2）联立$\begin{cases}y = k\\y₂ = -(x - 2)² + 1\end{cases}$并消去y，得x₁ = 2 + $\sqrt{1 - k}$，x₂ = 2 - $\sqrt{1 - k}$。
∵ AB = 4，
∴ 2$\sqrt{1 - k}$ = 4，
∴ k = -3，
∴ 顶点(2,1)到线段AB的距离为4。
（3）当 -1 ＜ x ＜ 1时，y₁ ＞ y₂；当x = 1时，y₁ = y₂；当1 ＜ x ＜ 2时，y₁ ＜ y₂。