已知抛物线经过 $ A(-1,0) $,$ B(3,0) $,$ C(0,3) $ 三点。
(1)求抛物线的函数解析式和顶点坐标,并画出这条抛物线；
(2)若点 $ (x_{0},y_{0}) $ 在抛物线上,且 $ 0 \leqslant x_{0} \leqslant 4 $,试写出 $ y_{0} $ 的取值范围。

（1）$y=-x^{2}+2x+3$,顶点坐标为$(1,4)$,图略；（2）$-5\leqslant y_{0}\leqslant 4$.

（1）设抛物线的函数解析式为$y = ax^2 + bx + c$，将$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}a - b + c = 0 \\9a + 3b + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
解得$a = -1$，$b = 2$，$c = 3$，所以抛物线的函数解析式为$y = -x^2 + 2x + 3$。
将其化为顶点式：$y = -(x - 1)^2 + 4$，顶点坐标为$(1,4)$。
（2）当$x = 0$时，$y = 3$；当$x = 1$时，$y = 4$；当$x = 4$时，$y = -4^2 + 2×4 + 3 = -5$。
因为抛物线开口向下，在$0 \leqslant x_0 \leqslant 4$范围内，$y_0$的最大值为$4$，最小值为$-5$，所以$-5 \leqslant y_0 \leqslant 4$。

1. 如果点 $ (-1,3) $ 和 $ (4,3) $ 都是抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 上的点,那么抛物线的对称轴为( )

A.直线 $ x = - \frac{3}{2} $
B.直线 $ x = \frac{3}{2} $
C.直线 $ x = \frac{5}{2} $
D.直线 $ x = - \frac{5}{2} $

B.

因为点$(-1,3)$和$(4,3)$的纵坐标相同，所以这两点关于抛物线的对称轴对称。
抛物线对称轴为直线$x = \frac{-1 + 4}{2} = \frac{3}{2}$
B.

2. 已知二次函数 $ y = (x - h)^{2} + 1 $($ h $ 为常数),在自变量 $ x $ 的值满足 $ 1 \leqslant x \leqslant 3 $ 的情况下,与其对应的函数值 $ y $ 的最小值为 $ 5 $,则 $ h $ 的值为( )

A.$ 1 $ 或 $ - 5 $
B.$ - 1 $ 或 $ 5 $
C.$ 1 $ 或 $ - 3 $
D.$ 1 $ 或 $ 3 $

B.

二次函数$y=(x-h)^2 + 1$的对称轴为直线$x=h$，开口向上，函数最小值为$1$。
当$h ＜ 1$时，在$1 \leq x \leq 3$范围内，$y$随$x$增大而增大，$x=1$时$y$最小。
$(1 - h)^2 + 1 = 5$
$(1 - h)^2 = 4$
$1 - h = \pm 2$
解得$h = -1$（$h=3$舍去）。
当$h ＞ 3$时，在$1 \leq x \leq 3$范围内，$y$随$x$增大而减小，$x=3$时$y$最小。
$(3 - h)^2 + 1 = 5$
$(3 - h)^2 = 4$
$3 - h = \pm 2$
解得$h = 5$（$h=1$舍去）。
当$1 \leq h \leq 3$时，$y$最小值为$1$，不合题意。
综上，$h=-1$或$5$。
B.

3. 试写出一个开口向上,对称轴为直线 $ x = - 2 $,且与 $ y $ 轴的交点的坐标为 $ (0,-3) $ 的抛物线的函数解析式：____。

答案不唯一,如:$y=x^{2}+4x-3$.

$y=x^{2}+4x-3$

4. 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如下表：
| 温度 $ t/{\hspace{0pt}}^{\circ }C $ | $ - 4 $ | $ - 2 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 4 $ |
| 植物高度增长量 $ l/mm $ | $ 41 $ | $ 49 $ | $ 49 $ | $ 46 $ | $ 25 $ |

科学家经过猜想,推测出 $ l $ 与 $ t $ 之间是二次函数关系。由此可以推测最适合这种植物生长的温度为____ $ {\hspace{0pt}}^{\circ }C $。

$-1$.

设二次函数解析式为$l=at^{2}+bt+c$。
将$(-2,49)$，$(0,49)$，$(1,46)$代入得：
$\begin{cases}4a - 2b + c = 49 \\c = 49 \\a + b + c = 46\end{cases}$
由$c = 49$，代入$4a - 2b + 49 = 49$得$4a - 2b = 0$，即$2a - b = 0$ ①；
代入$a + b + 49 = 46$得$a + b = -3$ ②；
① + ②得$3a = -3$，解得$a = -1$；
将$a = -1$代入②得$-1 + b = -3$，解得$b = -2$；
所以函数解析式为$l=-t^{2}-2t + 49$，对称轴为$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$。
$-1$

问题 根据下列条件,求关于 $ x $ 的二次函数的解析式：
(1)当 $ x = 1 $ 时,$ y = 0 $；当 $ x = 0 $ 时,$ y = - 2 $；当 $ x = 2 $ 时,$ y = 3 $。
(2)抛物线的顶点坐标为 $ (-1,-2) $ 且经过点 $ (1,10) $。

(1)设二次函数解析式为$y = ax^2 + bx + c$，将$(1,0)$，$(0,-2)$，$(2,3)$代入得：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \\c = -2 \\4a + 2b + c = 3\end{cases}$
由$c = -2$，代入$a + b + c = 0$得$a + b = 2$，代入$4a + 2b + c = 3$得$4a + 2b = 5$。
由$a + b = 2$得$b = 2 - a$，代入$4a + 2b = 5$：$4a + 2(2 - a) = 5$，解得$a = \frac{1}{2}$，$b = \frac{3}{2}$。
解析式为$y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x - 2$。
(2)设二次函数解析式为$y = a(x + 1)^2 - 2$，将$(1,10)$代入得：$a(1 + 1)^2 - 2 = 10$，即$4a = 12$，$a = 3$。
解析式为$y = 3(x + 1)^2 - 2 = 3x^2 + 6x + 1$。