1. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $($ a,b,c $ 为常数,且 $ a \neq 0 $)中的 $ x $ 与 $ y $ 的部分对应值如下表。下列结论错误的是( )
| $ x $ | …$ $ | $ - 1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | …$ $ |
| $ y $ | …$ $ | $ 0 $ | $ 3 $ | $ 4 $ | $ 3 $ | $ $ | …$ $ |


A.$ a \lt 0 $
B.$ 2a + b = 0 $
C.当 $ x \gt 1 $ 时,$ y $ 的值随 $ x $ 的增大而增大
D.表中盖住的数是 $ 0 $

C.

将点$(-1,0)$，$(0,3)$，$(1,4)$代入$y = ax^{2}+bx + c$，得：
$\begin{cases}a - b + c = 0 \\c = 3 \\a + b + c = 4\end{cases}$
解得$a=-1$，$b=2$，$c=3$，函数解析式为$y=-x^{2}+2x + 3$。
A. $a=-1\lt0$，正确。
B. $2a + b=2×(-1)+2=0$，正确。
C. 对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1$，$a\lt0$，当$x\gt1$时，$y$随$x$增大而减小，错误。
D. 当$x=3$时，$y=-9 + 6 + 3=0$，正确。
结论错误的是C。

2. 如图,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A(-3,0) $ 和点 $ B(1,0) $,与 $ y $ 轴相交于点 $ C $。有下列说法：① $ abc \lt 0 $；② 抛物线的对称轴为直线 $ x = - 1 $；③ 当 $ - 3 \lt x \lt 0 $ 时,$ ax^{2} + bx + c \gt 0 $；④ 当 $ x \gt 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；⑤ $ am^{2} + bm \leqslant a - b $($ m $ 为任意实数)。其中正确的是( )

A.①②③
B.②④⑤
C.②③⑤
D.③④⑤
]

C.

解：②抛物线与$x$轴交于$A(-3,0)$、$B(1,0)$，对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$，正确；
①抛物线开口向下，$a＜0$；对称轴$x=-1=-\frac{b}{2a}$，得$b=2a＜0$；与$y$轴交于正半轴，$c＞0$，则$abc＞0$，错误；
③当$-3＜x＜1$时，抛物线在$x$轴上方，故$-3＜x＜0$时，$ax^{2}+bx+c＞0$，正确；
④当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小，故$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，错误；
⑤抛物线顶点横坐标为$-1$，当$x=-1$时，$y$有最大值$a(-1)^{2}+b(-1)+c=a - b + c$，对任意实数$m$，$am^{2}+bm + c\leqslant a - b + c$，即$am^{2}+bm\leqslant a - b$，正确。
综上，正确的是②③⑤。
C

3. 在平面直角坐标系中,点 $ A(m,y_{1}) $,$ B(m + 1,y_{2}) $ 在抛物线 $ y = (x - 1)^{2} - 2 $ 上。当 $ y_{1} \lt y_{2} $ 时,抛物线上 $ A,B $ 两点之间(含 $ A,B $ 两点)的图象的最高点的纵坐标为 $ 3 $,则 $ m $ 的值为____。

$\sqrt{5}$.

∵点$A(m,y_{1})$，$B(m + 1,y_{2})$在抛物线$y=(x - 1)^{2}-2$上，
$\therefore y_{1}=(m - 1)^{2}-2$，$y_{2}=(m + 1 - 1)^{2}-2=m^{2}-2$。
$\because y_{1}\lt y_{2}$，
$\therefore (m - 1)^{2}-2\lt m^{2}-2$，
$(m^{2}-2m + 1)-2\lt m^{2}-2$，
$-2m + 1\lt 0$，
解得$m\gt\frac{1}{2}$。
抛物线$y=(x - 1)^{2}-2$开口向上，对称轴为直线$x = 1$。
当$m + 1\leqslant1$，即$m\leqslant0$时，与$m\gt\frac{1}{2}$矛盾，舍去。
当$m\lt1\lt m + 1$，即$0\lt m\lt1$时，又$m\gt\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}\lt m\lt1$。此时$B$点在对称轴右侧，$A$点在对称轴左侧，$B$点距离对称轴更远，$y_{2}$较大。由题意$y_{2}=3$，即$m^{2}-2=3$，$m^{2}=5$，$m=\pm\sqrt{5}$，不合$\frac{1}{2}\lt m\lt1$，舍去。
当$m\geqslant1$时，$A$、$B$在对称轴右侧，$y$随$x$增大而增大，$y_{2}$较大。由$y_{2}=3$，$m^{2}-2=3$，$m^{2}=5$，$m=\sqrt{5}$（$m=-\sqrt{5}$舍去）。
综上，$m=\sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$

4. 根据以下条件,求二次函数的解析式：
(1)图象的顶点坐标为 $ (2,-1) $,且过点 $ (1,3) $；
(2)图象经过两点 $ (1,0) $,$ (0,-3) $,且对称轴为 $ x = 2 $。

（1）$y=4x^{2}-16x+15$；（2）$y=-x^{2}+4x-3$.

（1）设二次函数的解析式为$y=a(x-2)^{2}-1$，将点$(1,3)$代入得$3=a(1-2)^{2}-1$，解得$a=4$，所以解析式为$y=4(x-2)^{2}-1=4x^{2}-16x+15$。
（2）设二次函数的解析式为$y=ax^{2}+bx+c$，由题意得$\begin{cases}a+b+c=0\\c=-3\\-\dfrac{b}{2a}=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-1\\b=4\\c=-3\end{cases}$，所以解析式为$y=-x^{2}+4x-3$。

5. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 是由抛物线 $ y = x^{2} $ 平移得到的,且 $ a:b:c = 2:5:1 $。求：
(1)抛物线的函数解析式；
(2)顶点坐标和对称轴；
(3)$ x $ 取什么值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？$ x $ 取什么值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？

（1）$y=x^{2}+\dfrac{5}{2}x+\dfrac{1}{2}$；（2）$\left(-\dfrac{5}{4},-\dfrac{17}{16}\right)$,直线$x=-\dfrac{5}{4}$；（3）$x＞-\dfrac{5}{4}$,$x＜-\dfrac{5}{4}$.

（1）因为抛物线$y = ax^{2}+bx + c$是由抛物线$y=x^{2}$平移得到的，所以$a = 1$。
又因为$a:b:c=2:5:1$，设$a = 2k$，$b = 5k$，$c=k$，则$2k=1$，解得$k=\dfrac{1}{2}$，所以$b = 5×\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$，$c=\dfrac{1}{2}$，抛物线解析式为$y=x^{2}+\dfrac{5}{2}x+\dfrac{1}{2}$。
（2）对于抛物线$y=x^{2}+\dfrac{5}{2}x+\dfrac{1}{2}$，对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{\dfrac{5}{2}}{2×1}=-\dfrac{5}{4}$，将$x=-\dfrac{5}{4}$代入解析式得$y=\left(-\dfrac{5}{4}\right)^{2}+\dfrac{5}{2}×\left(-\dfrac{5}{4}\right)+\dfrac{1}{2}=\dfrac{25}{16}-\dfrac{25}{8}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{25}{16}-\dfrac{50}{16}+\dfrac{8}{16}=-\dfrac{17}{16}$，顶点坐标为$\left(-\dfrac{5}{4},-\dfrac{17}{16}\right)$，对称轴为直线$x=-\dfrac{5}{4}$。
（3）因为抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\dfrac{5}{4}$，所以当$x＞-\dfrac{5}{4}$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜-\dfrac{5}{4}$时，$y$随$x$的增大而减小。