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1.对于二次函数 $y=-2(x+3)^2$ 的图象，下列说法正确的是 （
A.开口向上
B.对称轴是直线 $x=3$
C.当 $x＞-3$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小
D.顶点坐标为 $(-2,-3)$
C
）A.开口向上
B.对称轴是直线 $x=3$
C.当 $x＞-3$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小
D.顶点坐标为 $(-2,-3)$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质，解题时先将给定的二次函数解析式与顶点式对照，确定$a、h、k$的值，再依次根据参数的意义判断开口方向、对称轴、顶点坐标，最后结合开口方向分析函数的增减性，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），相关性质如下：
1. 系数$a$决定开口方向：$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下；
2. 对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；
3. 当$a＜0$时，在对称轴左侧（$x＜h$），$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（$x＞h$），$y$随$x$的增大而减小。
将题中函数$y=-2(x+3)^2$改写为顶点式标准形式：$y=-2(x-(-3))^2+0$，可得$a=-2$，$h=-3$，$k=0$。
选项A：$a=-2＜0$，抛物线开口向下，A错误；
选项B：对称轴为直线$x=h=-3$，B错误；
选项C：抛物线开口向下，对称轴为$x=-3$，因此当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小，C正确；
选项D：顶点坐标为$(h,k)=(-3,0)$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象、性质规律，就能快速判断各选项的正误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质，解题时先将给定的二次函数解析式与顶点式对照，确定$a、h、k$的值，再依次根据参数的意义判断开口方向、对称轴、顶点坐标，最后结合开口方向分析函数的增减性，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），相关性质如下：
1. 系数$a$决定开口方向：$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下；
2. 对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；
3. 当$a＜0$时，在对称轴左侧（$x＜h$），$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（$x＞h$），$y$随$x$的增大而减小。
将题中函数$y=-2(x+3)^2$改写为顶点式标准形式：$y=-2(x-(-3))^2+0$，可得$a=-2$，$h=-3$，$k=0$。
选项A：$a=-2＜0$，抛物线开口向下，A错误；
选项B：对称轴为直线$x=h=-3$，B错误；
选项C：抛物线开口向下，对称轴为$x=-3$，因此当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小，C正确；
选项D：顶点坐标为$(h,k)=(-3,0)$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象、性质规律，就能快速判断各选项的正误。
【难度系数】
0.8
【典型例题2】将抛物线$y=2x^2$向左平移4个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为（）
A.$y=2x^2+4$
B.$y=2(x-4)^2$
C.$y=2(x+4)^2$
D.$y=2x^2-4$
【答案】C
【规律方法】 抛物线$y=a(x-h)^2$（$a≠0$）与$y=ax^2$的形状相同.把抛物线$y=ax^2$向左（$h＜0$）或向右（$h＞0$）平移$|h|$个单位长度，就可以得到抛物线$y=a(x-h)^2$.
A.$y=2x^2+4$
B.$y=2(x-4)^2$
C.$y=2(x+4)^2$
D.$y=2x^2-4$
【答案】C
【规律方法】 抛物线$y=a(x-h)^2$（$a≠0$）与$y=ax^2$的形状相同.把抛物线$y=ax^2$向左（$h＜0$）或向右（$h＞0$）平移$|h|$个单位长度，就可以得到抛物线$y=a(x-h)^2$.
答案
C
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆二次函数图像平移的核心规律：左右平移是对自变量x进行操作，遵循“左加右减”的原则，上下平移是对常数项进行操作，遵循“上加下减”的原则。本题明确是向左平移，属于左右平移，因此只需要对原解析式中的x进行变换即可，向左平移几个单位，就给x加上对应的单位长度，代入原解析式就能得到平移后的函数式。
【解析】
二次函数图像左右平移遵循“左加右减”的变换规则：将抛物线$y=ax^2$向左平移$m$（$m＞0$）个单位长度时，只需将解析式中的$x$替换为$x+m$，得到平移后的解析式为$y=a(x+m)^2$。
本题中，原抛物线解析式为$y=2x^2$，向左平移4个单位长度，因此将$x$替换为$x+4$，代入可得平移后的抛物线解析式为$y=2(x+4)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像平移、抛物线平移规律
【点评】
本题是二次函数平移类的基础题型，核心考查对“左加右减、上加下减”平移规则的理解和应用，解题时要注意区分左右平移和上下平移的不同变换对象，避免因混淆加减方向导致出错。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要回忆二次函数图像平移的核心规律：左右平移是对自变量x进行操作，遵循“左加右减”的原则，上下平移是对常数项进行操作，遵循“上加下减”的原则。本题明确是向左平移，属于左右平移，因此只需要对原解析式中的x进行变换即可，向左平移几个单位，就给x加上对应的单位长度，代入原解析式就能得到平移后的函数式。
【解析】
二次函数图像左右平移遵循“左加右减”的变换规则：将抛物线$y=ax^2$向左平移$m$（$m＞0$）个单位长度时，只需将解析式中的$x$替换为$x+m$，得到平移后的解析式为$y=a(x+m)^2$。
本题中，原抛物线解析式为$y=2x^2$，向左平移4个单位长度，因此将$x$替换为$x+4$，代入可得平移后的抛物线解析式为$y=2(x+4)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像平移、抛物线平移规律
【点评】
本题是二次函数平移类的基础题型，核心考查对“左加右减、上加下减”平移规则的理解和应用，解题时要注意区分左右平移和上下平移的不同变换对象，避免因混淆加减方向导致出错。
【难度系数】
0.8
2. 如果抛物线$y=(x-2)^2$向左平移1个单位长度后经过点$A(1,m)$，那么$m$的值是
0
。答案
2. 0
解析
【分析】
解题思路：首先回忆二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”（左右平移针对自变量x进行加减，上下平移针对函数整体进行加减），先求出平移后的抛物线解析式，再将点A的横坐标代入平移后的解析式，计算得到的函数值就是m的值。
【解析】
步骤1：求平移后的抛物线解析式
抛物线平移遵循“左加右减”的规律，原抛物线$y=(x-2)^2$向左平移1个单位长度，需给自变量x加上1，可得平移后的解析式为：
$y=(x-2+1)^2=(x-1)^2$
步骤2：代入点A的坐标求m
因为平移后的抛物线经过点$A(1,m)$，将$x=1$，$y=m$代入$y=(x-1)^2$得：
$m=(1-1)^2=0$
【答案】
0
【知识点】
1.二次函数图象的平移规律
2.二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数的平移规则，只要熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律，明确平移时仅对自变量x进行调整，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”（左右平移针对自变量x进行加减，上下平移针对函数整体进行加减），先求出平移后的抛物线解析式，再将点A的横坐标代入平移后的解析式，计算得到的函数值就是m的值。
【解析】
步骤1：求平移后的抛物线解析式
抛物线平移遵循“左加右减”的规律，原抛物线$y=(x-2)^2$向左平移1个单位长度，需给自变量x加上1，可得平移后的解析式为：
$y=(x-2+1)^2=(x-1)^2$
步骤2：代入点A的坐标求m
因为平移后的抛物线经过点$A(1,m)$，将$x=1$，$y=m$代入$y=(x-1)^2$得：
$m=(1-1)^2=0$
【答案】
0
【知识点】
1.二次函数图象的平移规律
2.二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数的平移规则，只要熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律，明确平移时仅对自变量x进行调整，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
1. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$ 的图象大致是（
D
）答案
1. D
解析
【分析】
要判断二次函数的图象，可先根据二次函数顶点式的参数特征确定图象的关键性质：首先看二次项系数a的符号确定开口方向，排除开口方向错误的选项；再根据顶点式确定顶点坐标，排除顶点位置不符的选项；还可验证函数与y轴的交点进一步确认正确选项。
【解析】
1. 确定开口方向：二次函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$中，二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上，可排除开口向下的B选项。
2. 确定顶点坐标：对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，顶点坐标为$(h,k)$，代入得该函数顶点坐标为$(2,0)$，即抛物线与x轴仅有一个交点，且交点在x轴正半轴：
A选项抛物线过原点，顶点在x轴下方，不符合特征，排除；
C选项抛物线顶点在y轴上，不符合特征，排除；
3. 验证y轴交点：令$x=0$，代入得$y=\frac{1}{2}×(0-2)^2=2＞0$，即抛物线与y轴交于正半轴，D选项符合该特征。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象判断
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，解题时可通过开口方向、顶点坐标、与坐标轴交点等图象特征逐一排除错误选项，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数的图象，可先根据二次函数顶点式的参数特征确定图象的关键性质：首先看二次项系数a的符号确定开口方向，排除开口方向错误的选项；再根据顶点式确定顶点坐标，排除顶点位置不符的选项；还可验证函数与y轴的交点进一步确认正确选项。
【解析】
1. 确定开口方向：二次函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$中，二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上，可排除开口向下的B选项。
2. 确定顶点坐标：对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，顶点坐标为$(h,k)$，代入得该函数顶点坐标为$(2,0)$，即抛物线与x轴仅有一个交点，且交点在x轴正半轴：
A选项抛物线过原点，顶点在x轴下方，不符合特征，排除；
C选项抛物线顶点在y轴上，不符合特征，排除；
3. 验证y轴交点：令$x=0$，代入得$y=\frac{1}{2}×(0-2)^2=2＞0$，即抛物线与y轴交于正半轴，D选项符合该特征。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象判断
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，解题时可通过开口方向、顶点坐标、与坐标轴交点等图象特征逐一排除错误选项，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
2.若二次函数$y=(a-5)(x-1)^2$的图象如图所示，则a的值可能是（
A.7
B.6
C.5
D.4
D
）A.7
B.6
C.5
D.4
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先观察二次函数的形式为顶点式，先确定二次项系数，再结合图象的开口方向判断二次项系数的符号：抛物线开口向下说明二次项系数小于0，由此列不等式求解a的取值范围，最后对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
二次函数$y=(a-5)(x-1)^2$的二次项系数为$a-5$，
由图象可知抛物线开口向下，因此二次项系数小于0，即：
$a-5＜0$
解得$a＜5$，
四个选项中只有4满足$a＜5$，因此a的值可能是4。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与性质，不等式的求解
【点评】
本题主要考查二次函数开口方向与二次项系数的对应关系，难度较低，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察二次函数的形式为顶点式，先确定二次项系数，再结合图象的开口方向判断二次项系数的符号：抛物线开口向下说明二次项系数小于0，由此列不等式求解a的取值范围，最后对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
二次函数$y=(a-5)(x-1)^2$的二次项系数为$a-5$，
由图象可知抛物线开口向下，因此二次项系数小于0，即：
$a-5＜0$
解得$a＜5$，
四个选项中只有4满足$a＜5$，因此a的值可能是4。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与性质，不等式的求解
【点评】
本题主要考查二次函数开口方向与二次项系数的对应关系，难度较低，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 已知点$(-4,y_1),(-2,y_2)$和$(-1,y_3)$都在二次函数$y=a(x+2)^2(a＜0)$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
C
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
答案
3. C
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，首先从给出的二次函数顶点式入手：①先确定二次函数的开口方向、对称轴，因为a＜0，抛物线开口向下，顶点是最高点，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大；②再计算三个点的横坐标到对称轴的距离，通过距离大小即可判断函数值的大小关系，也可以直接将三个点的横坐标代入解析式，求出$y_1、y_2、y_3$的表达式后再比较大小。
【解析】
方法一：利用二次函数性质比较
已知二次函数$y=a(x+2)^2(a＜0)$，
∴该抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$，顶点$(-2,y_2)$是抛物线的最高点，即$y_2$是三个函数值中的最大值；
抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大：
点$(-4,y_1)$到对称轴$x=-2$的距离为$|-4-(-2)|=2$，
点$(-1,y_3)$到对称轴$x=-2$的距离为$|-1-(-2)|=1$，
∵$2＞1$，
∴$y_1＜y_3$，
综上可得$y_1＜y_3＜y_2$。
方法二：代入求值比较
将三个点的横坐标分别代入解析式：
$y_1=a(-4+2)^2=4a$，
$y_2=a(-2+2)^2=0$，
$y_3=a(-1+2)^2=a$，
∵$a＜0$，
∴$4a ＜ a ＜ 0$，即$y_1＜y_3＜y_2$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数的图象与性质，函数值大小比较
【点评】
本题属于二次函数的基础应用题，解题核心是掌握二次函数开口方向、对称轴与函数值变化的关系，两种解题方法都比较常用，同学们可以根据自己的习惯选择。
【难度系数】
0.75
要比较三个点的函数值大小，首先从给出的二次函数顶点式入手：①先确定二次函数的开口方向、对称轴，因为a＜0，抛物线开口向下，顶点是最高点，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大；②再计算三个点的横坐标到对称轴的距离，通过距离大小即可判断函数值的大小关系，也可以直接将三个点的横坐标代入解析式，求出$y_1、y_2、y_3$的表达式后再比较大小。
【解析】
方法一：利用二次函数性质比较
已知二次函数$y=a(x+2)^2(a＜0)$，
∴该抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$，顶点$(-2,y_2)$是抛物线的最高点，即$y_2$是三个函数值中的最大值；
抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大：
点$(-4,y_1)$到对称轴$x=-2$的距离为$|-4-(-2)|=2$，
点$(-1,y_3)$到对称轴$x=-2$的距离为$|-1-(-2)|=1$，
∵$2＞1$，
∴$y_1＜y_3$，
综上可得$y_1＜y_3＜y_2$。
方法二：代入求值比较
将三个点的横坐标分别代入解析式：
$y_1=a(-4+2)^2=4a$，
$y_2=a(-2+2)^2=0$，
$y_3=a(-1+2)^2=a$，
∵$a＜0$，
∴$4a ＜ a ＜ 0$，即$y_1＜y_3＜y_2$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数的图象与性质，函数值大小比较
【点评】
本题属于二次函数的基础应用题，解题核心是掌握二次函数开口方向、对称轴与函数值变化的关系，两种解题方法都比较常用，同学们可以根据自己的习惯选择。
【难度系数】
0.75
4.已知二次函数$y=-(x+h)^2$，当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小.当$x=3$时，$y$的值为（
A.$-16$
B.$-1$
C.$-9$
D.$0$
A
）A.$-16$
B.$-1$
C.$-9$
D.$0$
答案
4. A
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-m)^2+k$的性质：当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴直线$x=m$左侧，$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。本题中给出的函数增减性的分界点就是对称轴，因此先根据增减性确定对称轴，进而求出参数$h$的值，最后将$x=3$代入解析式计算$y$的值即可。
【解析】
1. 分析二次函数的基本性质：
二次函数$y=-(x+h)^2$中，$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-h$。
2. 根据增减性确定对称轴：
由题意，当$x＜-1$时$y$随$x$的增大而增大，当$x＞-1$时$y$随$x$的增大而减小，说明抛物线的对称轴为直线$x=-1$。
因此可得等式：$-h=-1$，解得$h=1$。
3. 代入计算$x=3$时的$y$值：
将$h=1$代入解析式，得$y=-(x+1)^2$，
把$x=3$代入得：$y=-(3+1)^2=-16$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数的对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是根据二次函数的增减性判断出对称轴的位置，进而求出未知参数，最后代入求值即可，熟练掌握二次函数的图像与性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-m)^2+k$的性质：当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴直线$x=m$左侧，$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。本题中给出的函数增减性的分界点就是对称轴，因此先根据增减性确定对称轴，进而求出参数$h$的值，最后将$x=3$代入解析式计算$y$的值即可。
【解析】
1. 分析二次函数的基本性质：
二次函数$y=-(x+h)^2$中，$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-h$。
2. 根据增减性确定对称轴：
由题意，当$x＜-1$时$y$随$x$的增大而增大，当$x＞-1$时$y$随$x$的增大而减小，说明抛物线的对称轴为直线$x=-1$。
因此可得等式：$-h=-1$，解得$h=1$。
3. 代入计算$x=3$时的$y$值：
将$h=1$代入解析式，得$y=-(x+1)^2$，
把$x=3$代入得：$y=-(3+1)^2=-16$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数的对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是根据二次函数的增减性判断出对称轴的位置，进而求出未知参数，最后代入求值即可，熟练掌握二次函数的图像与性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
5.已知抛物线$y=-3x^2$.若抛物线不动,把y轴向右平移3个单位长度,则在新平面直角坐标系中抛物线对应的函数解析式为
$y=-3(x+3)^2$
.答案
5. $y=-3(x+3)^2$
解析
【分析】
解题时首先要明确坐标轴平移与函数图象平移的等价关系：当图象不动，坐标轴平移时，等价于坐标轴不动，图象向坐标轴平移的反方向平移相同距离。本题中y轴向右平移3个单位，就等价于坐标系不动，抛物线向左平移3个单位，再结合二次函数图象平移“左加右减（针对自变量x）”的规律即可求解。
【解析】
步骤1：转换平移对象
抛物线保持不动，y轴向右平移3个单位，等价于y轴位置不变，抛物线向左平移3个单位长度。
步骤2：应用二次函数平移规律
对于二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图象，向左平移$m$个单位时，自变量$x$需要加上$m$（即“左加”）。
原抛物线解析式为$y=-3x^2$，可写成顶点式$y=-3(x-0)^2$，向左平移3个单位后，给$x$加上3，可得新的解析式为$y=-3(x+3)^2$。
【答案】
$y=-3(x+3)^2$
【知识点】
二次函数平移规律，坐标平移变换，函数解析式求解
【点评】
本题的易错点是容易混淆平移方向，解题核心是掌握“坐标轴平移和图象平移方向相反”的转换逻辑，再结合二次函数平移的口诀即可快速得出结果。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确坐标轴平移与函数图象平移的等价关系：当图象不动，坐标轴平移时，等价于坐标轴不动，图象向坐标轴平移的反方向平移相同距离。本题中y轴向右平移3个单位，就等价于坐标系不动，抛物线向左平移3个单位，再结合二次函数图象平移“左加右减（针对自变量x）”的规律即可求解。
【解析】
步骤1：转换平移对象
抛物线保持不动，y轴向右平移3个单位，等价于y轴位置不变，抛物线向左平移3个单位长度。
步骤2：应用二次函数平移规律
对于二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图象，向左平移$m$个单位时，自变量$x$需要加上$m$（即“左加”）。
原抛物线解析式为$y=-3x^2$，可写成顶点式$y=-3(x-0)^2$，向左平移3个单位后，给$x$加上3，可得新的解析式为$y=-3(x+3)^2$。
【答案】
$y=-3(x+3)^2$
【知识点】
二次函数平移规律，坐标平移变换，函数解析式求解
【点评】
本题的易错点是容易混淆平移方向，解题核心是掌握“坐标轴平移和图象平移方向相反”的转换逻辑，再结合二次函数平移的口诀即可快速得出结果。
【难度系数】
0.6
