登录
6.已知抛物线$y=\frac{1}{5}(x-5)^2$的顶点为点A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C.
(1)求A，B，C三点的坐标.
(2)连接AB，AC，求$△ ABC$的面积.
(3)试判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
(1)求A，B，C三点的坐标.
(2)连接AB，AC，求$△ ABC$的面积.
(3)试判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
答案
6. (1)
∵抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 的顶点为点 A，
∴点 A 的坐标为(5,0).
把 x=0 代入 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$,得 y=5.
∴点 B 的坐标为(0,5).
易知抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 的对称轴为直线x=5.
∴点 C 的坐标为(10,5).
(2)$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×10×5=25$.
(3)△ABC 是等腰直角三角形.
理由:由(1)知 A(5,0),B(0,5),C(10,5).
∴$AB=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$,$AC=\sqrt{(10-5)^2+5^2}=5\sqrt{2}$,BC=10.
∴$AB^2+AC^2=BC^2$.
又 AB=AC，
∴△ABC 是等腰直角三角形.
∵抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 的顶点为点 A，
∴点 A 的坐标为(5,0).
把 x=0 代入 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$,得 y=5.
∴点 B 的坐标为(0,5).
易知抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 的对称轴为直线x=5.
∴点 C 的坐标为(10,5).
(2)$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×10×5=25$.
(3)△ABC 是等腰直角三角形.
理由:由(1)知 A(5,0),B(0,5),C(10,5).
∴$AB=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$,$AC=\sqrt{(10-5)^2+5^2}=5\sqrt{2}$,BC=10.
∴$AB^2+AC^2=BC^2$.
又 AB=AC，
∴△ABC 是等腰直角三角形.
解析
【分析】
(1) 求解A、B、C三点坐标的思路：首先抛物线顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可直接得到点A的坐标；点B是抛物线与y轴的交点，只需令x=0代入抛物线解析式，计算对应的y值即可得到B点坐标；因为BC平行于x轴，所以B、C两点纵坐标相同，又因为抛物线关于对称轴直线x=5对称，点B和点C关于对称轴对称，由此可求出点C的坐标。
(2) 求解$△ ABC$面积的思路：BC为水平线段，长度可通过C、B两点横坐标作差得到，点A到BC所在直线（y=5）的距离为两点纵坐标之差的绝对值，将其作为三角形的高，代入三角形面积公式即可算出面积。
(3) 判断$△ ABC$形状的思路：利用两点间距离公式分别计算AB、AC、BC三边的长度，先观察是否有边相等，再验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，结合等腰三角形和直角三角形的判定条件即可得出结论。
【解析】
(1)
∵抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 的顶点为点A，
∴点A的坐标为$(5,0)$。
把$x=0$代入 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$，得 $y=\frac{1}{5}×(0-5)^2=5$，
∴点B的坐标为$(0,5)$。
易知抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 的对称轴为直线$x=5$，
∵BC平行于x轴，
∴B、C关于对称轴$x=5$对称，纵坐标均为5，
∴点C的坐标为$(10,5)$。
(2) BC的长度为$10-0=10$，点A到直线BC的距离为$5-0=5$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×10×5=25$。
(3) $△ ABC$是等腰直角三角形，理由如下：
由(1)知A$(5,0)$，B$(0,5)$，C$(10,5)$，
∴$AB=\sqrt{(5-0)^2+(0-5)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{(10-5)^2+(5-0)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
$BC=10-0=10$，
∴$AB=AC$，且$AB^2+AC^2=(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2=50+50=100=10^2=BC^2$，
∴$△ ABC$是等腰直角三角形。
【答案】
(1) $A(5,0)$，$B(0,5)$，$C(10,5)$；
(2) $25$；
(3) 等腰直角三角形。
【知识点】
抛物线的性质；三角形面积计算；勾股定理逆定理
【点评】
本题属于基础综合题，将抛物线的基本性质与三角形的相关知识结合考查，解题的关键是熟练掌握抛物线顶点、与坐标轴交点坐标的求解方法，能灵活利用坐标计算线段长度，进而解决三角形的面积和形状判定问题。
【难度系数】
0.7
(1) 求解A、B、C三点坐标的思路：首先抛物线顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可直接得到点A的坐标；点B是抛物线与y轴的交点，只需令x=0代入抛物线解析式，计算对应的y值即可得到B点坐标；因为BC平行于x轴，所以B、C两点纵坐标相同，又因为抛物线关于对称轴直线x=5对称，点B和点C关于对称轴对称，由此可求出点C的坐标。
(2) 求解$△ ABC$面积的思路：BC为水平线段，长度可通过C、B两点横坐标作差得到，点A到BC所在直线（y=5）的距离为两点纵坐标之差的绝对值，将其作为三角形的高，代入三角形面积公式即可算出面积。
(3) 判断$△ ABC$形状的思路：利用两点间距离公式分别计算AB、AC、BC三边的长度，先观察是否有边相等，再验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，结合等腰三角形和直角三角形的判定条件即可得出结论。
【解析】
(1)
∵抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 的顶点为点A，
∴点A的坐标为$(5,0)$。
把$x=0$代入 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$，得 $y=\frac{1}{5}×(0-5)^2=5$，
∴点B的坐标为$(0,5)$。
易知抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 的对称轴为直线$x=5$，
∵BC平行于x轴，
∴B、C关于对称轴$x=5$对称，纵坐标均为5，
∴点C的坐标为$(10,5)$。
(2) BC的长度为$10-0=10$，点A到直线BC的距离为$5-0=5$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×10×5=25$。
(3) $△ ABC$是等腰直角三角形，理由如下：
由(1)知A$(5,0)$，B$(0,5)$，C$(10,5)$，
∴$AB=\sqrt{(5-0)^2+(0-5)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{(10-5)^2+(5-0)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
$BC=10-0=10$，
∴$AB=AC$，且$AB^2+AC^2=(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2=50+50=100=10^2=BC^2$，
∴$△ ABC$是等腰直角三角形。
【答案】
(1) $A(5,0)$，$B(0,5)$，$C(10,5)$；
(2) $25$；
(3) 等腰直角三角形。
【知识点】
抛物线的性质；三角形面积计算；勾股定理逆定理
【点评】
本题属于基础综合题，将抛物线的基本性质与三角形的相关知识结合考查，解题的关键是熟练掌握抛物线顶点、与坐标轴交点坐标的求解方法，能灵活利用坐标计算线段长度，进而解决三角形的面积和形状判定问题。
【难度系数】
0.7
7. 设函数 $y_1=-(x-m)^2$，$y_2=-(x-n)^2$，直线 $x=1$ 与函数 $y_1,y_2$ 的图象分别交于点 $A(1,a_1),B(1,a_2)$，下列结论正确的是（
A.若 $m＜1＜n$，则 $a_1＞a_2$
B.若 $m＜1＜n$，则 $a_1＜a_2$
C.若 $m＜n＜1$，则 $a_1＜a_2$
D.若 $m＜n＜1$，则 $a_2＜a_1$
C
）A.若 $m＜1＜n$，则 $a_1＞a_2$
B.若 $m＜1＜n$，则 $a_1＜a_2$
C.若 $m＜n＜1$，则 $a_1＜a_2$
D.若 $m＜n＜1$，则 $a_2＜a_1$
答案
7. C 【解析】如图1和图2,若$m＜1＜n$,则$a_1＞a_2$或$a_1＜a_2$,故A,B选项错误.
如图3,若$m＜n＜1$,则$a_1＜a_2$,故C选项正确,D选项错误.
故选C.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个二次函数的特征：$y_1$和$y_2$都是开口向下的顶点式二次函数，对称轴分别为$x=m$、$x=n$，我们需要比较$x=1$处两个函数的函数值$a_1$、$a_2$的大小。第一步先将$x=1$代入两个函数，得到$a_1=-(1-m)^2$，$a_2=-(1-n)^2$，因为两个值均为负数，所以比较$a_1$、$a_2$的大小等价于比较$(1-m)^2$和$(1-n)^2$的大小：平方越大，对应的负数越小。接下来分两种参数情况讨论：①当$m＜1＜n$时，$|1-m|$和$|1-n|$的大小不确定，因此$a_1$、$a_2$的大小也无法确定；②当$m＜n＜1$时，$1＞n＞m$，所以$1-m＞1-n＞0$，因此$(1-m)^2＞(1-n)^2$，可得$a_1＜a_2$，据此判断选项即可。
【解析】
将$x=1$分别代入两个函数得：
$a_1=-(1-m)^2$，$a_2=-(1-n)^2$。
1. 若$m＜1＜n$：
$1-m＞0$，$1-n＜0$，此时$|1-m|$与$|1-n|$的大小关系不确定，因此$(1-m)^2$和$(1-n)^2$的大小无法确定，故$a_1$和$a_2$的大小无法判断，A、B选项均错误。
2. 若$m＜n＜1$：
$1-m＞1-n＞0$，因此$(1-m)^2＞(1-n)^2$，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-(1-m)^2＜-(1-n)^2$，即$a_1＜a_2$，故C选项正确，D选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数顶点式
【点评】
本题结合二次函数顶点式考查函数值的大小比较，既可以通过代数计算推导大小关系，也可以结合函数图像直观判断，解题时要注意分类讨论参数的不同取值范围，避免漏判情况。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确两个二次函数的特征：$y_1$和$y_2$都是开口向下的顶点式二次函数，对称轴分别为$x=m$、$x=n$，我们需要比较$x=1$处两个函数的函数值$a_1$、$a_2$的大小。第一步先将$x=1$代入两个函数，得到$a_1=-(1-m)^2$，$a_2=-(1-n)^2$，因为两个值均为负数，所以比较$a_1$、$a_2$的大小等价于比较$(1-m)^2$和$(1-n)^2$的大小：平方越大，对应的负数越小。接下来分两种参数情况讨论：①当$m＜1＜n$时，$|1-m|$和$|1-n|$的大小不确定，因此$a_1$、$a_2$的大小也无法确定；②当$m＜n＜1$时，$1＞n＞m$，所以$1-m＞1-n＞0$，因此$(1-m)^2＞(1-n)^2$，可得$a_1＜a_2$，据此判断选项即可。
【解析】
将$x=1$分别代入两个函数得：
$a_1=-(1-m)^2$，$a_2=-(1-n)^2$。
1. 若$m＜1＜n$：
$1-m＞0$，$1-n＜0$，此时$|1-m|$与$|1-n|$的大小关系不确定，因此$(1-m)^2$和$(1-n)^2$的大小无法确定，故$a_1$和$a_2$的大小无法判断，A、B选项均错误。
2. 若$m＜n＜1$：
$1-m＞1-n＞0$，因此$(1-m)^2＞(1-n)^2$，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-(1-m)^2＜-(1-n)^2$，即$a_1＜a_2$，故C选项正确，D选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数顶点式
【点评】
本题结合二次函数顶点式考查函数值的大小比较，既可以通过代数计算推导大小关系，也可以结合函数图像直观判断，解题时要注意分类讨论参数的不同取值范围，避免漏判情况。
【难度系数】
0.7
8. 如图,平行于x轴的直线与两条抛物线$y_1=a(x-h)^2$和$y_2=b(x-13)^2(a＜b,$$a,b$均不为0)相交于点$A,B,C,D$.若$AB=8,BC=3,CD=6$,则$h$的值为________.
答案
8. 6 【解析】如图,分别作出两条抛物线的对称轴,两条对称轴分别交AD于点M,N,设直线AD交y轴于点E.
根据题意,得抛物线$y_2=b(x-13)^2$的对称轴为直线x=13,即EN=13.
∵AB=8,BC=3,CD=6,
∴$CM=\frac{1}{2}(AB+BC)=\frac{11}{2}$,$BN=\frac{1}{2}(BC+CD)=\frac{9}{2}$.
∵$EM+CM+BN-BC=EN$,
∴$EM+\frac{11}{2}+\frac{9}{2}-3=13$.
∴EM=6.
∴抛物线$y_1=a(x-h)^2$的对称轴为直线x=6.
∴h=6.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式的性质：形如$y=a(x-h)^2$的抛物线，对称轴为直线$x=h$，且平行于x轴的直线与抛物线的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即对称轴平分两个交点间的线段。已知右侧抛物线的对称轴为$x=13$，我们可以先通过给出的线段长度求出两条抛物线对应交点线段的一半长度，再结合线段的和差关系，建立关于左侧抛物线对称轴$h$的等式，最终求出$h$的值。
【解析】
如图，分别作出两条抛物线的对称轴，两条对称轴分别交AD于点M、N，设直线AD交y轴于点E。
1. 抛物线$y_2=b(x-13)^2$的对称轴为直线$x=13$，即点N的横坐标为13，因此$EN=13$。
2. 根据二次函数的对称性：
抛物线$y_1=a(x-h)^2$的交点A、C关于对称轴$x=h$对称，因此$MC=\frac{1}{2}AC$，已知$AC=AB+BC=8+3=11$，得$MC=\frac{11}{2}$。
抛物线$y_2=b(x-13)^2$的交点B、D关于对称轴$x=13$对称，因此$BN=\frac{1}{2}BD$，已知$BD=BC+CD=3+6=9$，得$BN=\frac{9}{2}$。
3. 根据线段和差关系$EM + MC + BN - BC = EN$，其中$EM=h$，代入数值：
$h + \frac{11}{2} + \frac{9}{2} - 3 = 13$
计算得$h + 10 - 3 =13$，解得$h=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数顶点式，线段和差计算
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用题，核心是利用二次函数的对称性得到等长线段，再结合线段的和差关系列式求解，解题关键是熟练掌握顶点式抛物线的对称轴规律。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆二次函数顶点式的性质：形如$y=a(x-h)^2$的抛物线，对称轴为直线$x=h$，且平行于x轴的直线与抛物线的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即对称轴平分两个交点间的线段。已知右侧抛物线的对称轴为$x=13$，我们可以先通过给出的线段长度求出两条抛物线对应交点线段的一半长度，再结合线段的和差关系，建立关于左侧抛物线对称轴$h$的等式，最终求出$h$的值。
【解析】
如图，分别作出两条抛物线的对称轴，两条对称轴分别交AD于点M、N，设直线AD交y轴于点E。
1. 抛物线$y_2=b(x-13)^2$的对称轴为直线$x=13$，即点N的横坐标为13，因此$EN=13$。
2. 根据二次函数的对称性：
抛物线$y_1=a(x-h)^2$的交点A、C关于对称轴$x=h$对称，因此$MC=\frac{1}{2}AC$，已知$AC=AB+BC=8+3=11$，得$MC=\frac{11}{2}$。
抛物线$y_2=b(x-13)^2$的交点B、D关于对称轴$x=13$对称，因此$BN=\frac{1}{2}BD$，已知$BD=BC+CD=3+6=9$，得$BN=\frac{9}{2}$。
3. 根据线段和差关系$EM + MC + BN - BC = EN$，其中$EM=h$，代入数值：
$h + \frac{11}{2} + \frac{9}{2} - 3 = 13$
计算得$h + 10 - 3 =13$，解得$h=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数顶点式，线段和差计算
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用题，核心是利用二次函数的对称性得到等长线段，再结合线段的和差关系列式求解，解题关键是熟练掌握顶点式抛物线的对称轴规律。
【难度系数】
0.6
9. 如图，直线 $y=-x-2$ 交 $x$ 轴于点 $A$，交 $y$ 轴于点 $B$. 抛物线 $y=a(x-h)^2(a≠0,a,h$ 为常数)的顶点为 $A$，且经过点 $B$.
(1) 求该抛物线对应的函数解析式.
(2) 若点 $C(m,-\dfrac{9}{2})$ 在该抛物线上，求 $m$ 的值.
(3) 请在抛物线的对称轴上找一点 $P$，使 $PO+PB$ 的值最小，求出点 $P$ 的坐标.
(1) 求该抛物线对应的函数解析式.
(2) 若点 $C(m,-\dfrac{9}{2})$ 在该抛物线上，求 $m$ 的值.
(3) 请在抛物线的对称轴上找一点 $P$，使 $PO+PB$ 的值最小，求出点 $P$ 的坐标.
答案
9. (1)把 x=0 代入 y=-x-2,得 y=-2.
∴点 B 的坐标为(0,-2).
把 y=0 代入 y=-x-2,得 x=-2.
∴点 A 的坐标为(-2,0).
∵抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为 A(-2,0),
∴h=-2.
∴抛物线对应的函数解析式为$y=a(x+2)^2$.
∵抛物线经过点 B(0,-2),
∴-2=4a.
解得$a=-\frac{1}{2}$.
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$.
(2)根据题意,得$-\frac{1}{2}(m+2)^2=-\frac{9}{2}$.
∴$(m+2)^2=9$.
解得$m_1=1,m_2=-5$.
∴m 的值为 1 或-5.
(3)如图,作点 B 关于抛物线的对称轴直线x=-2 的对称点 B',连接 OB',OB'与该抛物线对称轴的交点即为点 P.
易得点 B'的坐标为(-4,-2).
进而得直线 OB'的解析式为$y=\frac{1}{2}x$.
把 x=-2 代入$y=\frac{1}{2}x$,得 y=-1.
故点 P 的坐标为(-2,-1).
解析
【分析】
(1) 先通过直线解析式求出A、B两点坐标：令直线方程中x=0可得B点坐标，令y=0可得A点坐标；已知抛物线顶点为A，可直接确定顶点式中h的值，再将B点坐标代入顶点式求出参数a，即可得到抛物线解析式。
(2) 抛物线上的点坐标满足抛物线解析式，将点C的横、纵坐标代入已求出的抛物线方程，解关于m的一元二次方程即可得到m的取值。
(3) 本题属于轴对称最短路径问题：利用轴对称性质，作B点关于抛物线对称轴的对称点B'，则PB=PB'，因此PO+PB=PO+PB'，当O、P、B'三点共线时和最小，交点即为P点；先求出B'坐标，再求直线OB'的解析式，将对称轴x=-2代入解析式即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 求A、B两点坐标：
将$x=0$代入$y=-x-2$，得$y=-2$，$\therefore B(0,-2)$；
将$y=0$代入$y=-x-2$，得$0=-x-2$，解得$x=-2$，$\therefore A(-2,0)$。
$\because$抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为$A(-2,0)$，$\therefore h=-2$，抛物线可写为$y=a(x+2)^2$。
将$B(0,-2)$代入抛物线方程：$-2=a(0+2)^2$，即$4a=-2$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
$\therefore$抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$。
(2) $\because$点$C(m,-\frac{9}{2})$在抛物线上，将其坐标代入解析式：
$-\frac{1}{2}(m+2)^2=-\frac{9}{2}$
两边同乘$-2$得：$(m+2)^2=9$
开方得：$m+2=\pm3$
解得$m_1=1$，$m_2=-5$。
(3) 抛物线的对称轴为直线$x=-2$，作点B关于直线$x=-2$的对称点$B'$，连接$OB'$，$OB'$与对称轴的交点即为所求P点。
点$B(0,-2)$关于$x=-2$的对称点$B'$横坐标为$-2×2-0=-4$，纵坐标不变，$\therefore B'(-4,-2)$。
设直线$OB'$的解析式为$y=kx$，将$B'(-4,-2)$代入得：$-2=-4k$，解得$k=\frac{1}{2}$，$\therefore$直线$OB'$解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
将$x=-2$代入$y=\frac{1}{2}x$，得$y=\frac{1}{2}×(-2)=-1$，$\therefore P(-2,-1)$。
【答案】
9. (1)把 x=0 代入 y=-x-2,得 y=-2.
∴点 B 的坐标为(0,-2).
把 y=0 代入 y=-x-2,得 x=-2.
∴点 A 的坐标为(-2,0).
∵抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为 A(-2,0),
∴h=-2.
∴抛物线对应的函数解析式为$y=a(x+2)^2$.
∵抛物线经过点 B(0,-2),
∴-2=4a.
解得$a=-\frac{1}{2}$.
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$.
(2)根据题意,得$-\frac{1}{2}(m+2)^2=-\frac{9}{2}$.
∴$(m+2)^2=9$.
解得$m_1=1,m_2=-5$.
∴m 的值为 1 或-5.
(3)如图,作点 B 关于抛物线的对称轴直线x=-2 的对称点 B',连接 OB',OB'与该抛物线对称轴的交点即为点 P.
易得点 B'的坐标为(-4,-2).
进而得直线 OB'的解析式为$y=\frac{1}{2}x$.
把 x=-2 代入$y=\frac{1}{2}x$,得 y=-1.
故点 P 的坐标为(-2,-1).
【知识点】
二次函数顶点式应用；二次函数点坐标性质；轴对称最短路径
【点评】
本题综合考查一次函数、二次函数的基础运算，以及轴对称最短路径模型的应用，前两问侧重基础计算能力的考查，第三问侧重几何模型的迁移应用，是二次函数章节的典型综合习题。
【难度系数】
0.7
(1) 先通过直线解析式求出A、B两点坐标：令直线方程中x=0可得B点坐标，令y=0可得A点坐标；已知抛物线顶点为A，可直接确定顶点式中h的值，再将B点坐标代入顶点式求出参数a，即可得到抛物线解析式。
(2) 抛物线上的点坐标满足抛物线解析式，将点C的横、纵坐标代入已求出的抛物线方程，解关于m的一元二次方程即可得到m的取值。
(3) 本题属于轴对称最短路径问题：利用轴对称性质，作B点关于抛物线对称轴的对称点B'，则PB=PB'，因此PO+PB=PO+PB'，当O、P、B'三点共线时和最小，交点即为P点；先求出B'坐标，再求直线OB'的解析式，将对称轴x=-2代入解析式即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 求A、B两点坐标：
将$x=0$代入$y=-x-2$，得$y=-2$，$\therefore B(0,-2)$；
将$y=0$代入$y=-x-2$，得$0=-x-2$，解得$x=-2$，$\therefore A(-2,0)$。
$\because$抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为$A(-2,0)$，$\therefore h=-2$，抛物线可写为$y=a(x+2)^2$。
将$B(0,-2)$代入抛物线方程：$-2=a(0+2)^2$，即$4a=-2$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
$\therefore$抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$。
(2) $\because$点$C(m,-\frac{9}{2})$在抛物线上，将其坐标代入解析式：
$-\frac{1}{2}(m+2)^2=-\frac{9}{2}$
两边同乘$-2$得：$(m+2)^2=9$
开方得：$m+2=\pm3$
解得$m_1=1$，$m_2=-5$。
(3) 抛物线的对称轴为直线$x=-2$，作点B关于直线$x=-2$的对称点$B'$，连接$OB'$，$OB'$与对称轴的交点即为所求P点。
点$B(0,-2)$关于$x=-2$的对称点$B'$横坐标为$-2×2-0=-4$，纵坐标不变，$\therefore B'(-4,-2)$。
设直线$OB'$的解析式为$y=kx$，将$B'(-4,-2)$代入得：$-2=-4k$，解得$k=\frac{1}{2}$，$\therefore$直线$OB'$解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
将$x=-2$代入$y=\frac{1}{2}x$，得$y=\frac{1}{2}×(-2)=-1$，$\therefore P(-2,-1)$。
【答案】
9. (1)把 x=0 代入 y=-x-2,得 y=-2.
∴点 B 的坐标为(0,-2).
把 y=0 代入 y=-x-2,得 x=-2.
∴点 A 的坐标为(-2,0).
∵抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为 A(-2,0),
∴h=-2.
∴抛物线对应的函数解析式为$y=a(x+2)^2$.
∵抛物线经过点 B(0,-2),
∴-2=4a.
解得$a=-\frac{1}{2}$.
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$.
(2)根据题意,得$-\frac{1}{2}(m+2)^2=-\frac{9}{2}$.
∴$(m+2)^2=9$.
解得$m_1=1,m_2=-5$.
∴m 的值为 1 或-5.
(3)如图,作点 B 关于抛物线的对称轴直线x=-2 的对称点 B',连接 OB',OB'与该抛物线对称轴的交点即为点 P.
易得点 B'的坐标为(-4,-2).
进而得直线 OB'的解析式为$y=\frac{1}{2}x$.
把 x=-2 代入$y=\frac{1}{2}x$,得 y=-1.
故点 P 的坐标为(-2,-1).
【知识点】
二次函数顶点式应用；二次函数点坐标性质；轴对称最短路径
【点评】
本题综合考查一次函数、二次函数的基础运算，以及轴对称最短路径模型的应用，前两问侧重基础计算能力的考查，第三问侧重几何模型的迁移应用，是二次函数章节的典型综合习题。
【难度系数】
0.7
10. 已知点$A(s,t)$在二次函数$y=2(x-m)^2$（$m$为常数）的图象上，$s-m=t(t≠0)$。当$s-1≤x≤s+2$时，二次函数的最大值与最小值的差为________。
答案
10. $\frac{25}{2}$ 【解析】根据题意,得$t=2(s-m)^2$.
∵s-m=t(t≠0),
∴$t=2t^2$.
解得$t_1=\frac{1}{2}$,$t_2=0$(舍去).
∴$s=m+\frac{1}{2}$.
易得抛物线$y=2(x-m)^2$的对称轴为直线x=m.
∵s-1≤x≤s+2,
∴$m+\frac{1}{2}-1≤x≤m+\frac{1}{2}+2$,即$m-\frac{1}{2}≤x≤m+\frac{5}{2}$.
当$x=m+\frac{5}{2}$时,y 有最大值,为$2×(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{2}$;
当 x=m 时,y 有最小值,为 0.
∴二次函数的最大值与最小值的差为$\frac{25}{2}-0=\frac{25}{2}$.
∵s-m=t(t≠0),
∴$t=2t^2$.
解得$t_1=\frac{1}{2}$,$t_2=0$(舍去).
∴$s=m+\frac{1}{2}$.
易得抛物线$y=2(x-m)^2$的对称轴为直线x=m.
∵s-1≤x≤s+2,
∴$m+\frac{1}{2}-1≤x≤m+\frac{1}{2}+2$,即$m-\frac{1}{2}≤x≤m+\frac{5}{2}$.
当$x=m+\frac{5}{2}$时,y 有最大值,为$2×(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{2}$;
当 x=m 时,y 有最小值,为 0.
∴二次函数的最大值与最小值的差为$\frac{25}{2}-0=\frac{25}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先利用点在二次函数图象上的性质，将点A坐标代入函数解析式，结合已知$s-m=t$的等量关系，求出t的值，进而得到s与m的关系；再将给定的x的取值范围转化为用m表示的形式，结合开口向上的二次函数的最值规律：对称轴处取最小值，离对称轴越远的点函数值越大，分别求出区间内的最大值和最小值，最后计算差值即可。
【解析】
∵点$A(s,t)$在二次函数$y=2(x-m)^2$的图象上，
∴将$A(s,t)$代入解析式得：$t=2(s-m)^2$，
又
∵$s-m=t$（$t≠0$），
∴代入上式得：$t=2t^2$，
解得$t=\frac{1}{2}$，$t=0$（不符合$t≠0$的条件，舍去），
∴$s-m=\frac{1}{2}$，即$s=m+\frac{1}{2}$，
∵二次函数$y=2(x-m)^2$的开口向上，对称轴为直线$x=m$，
将$s=m+\frac{1}{2}$代入区间$s-1≤x≤s+2$，可得：
$m+\frac{1}{2}-1≤x≤m+\frac{1}{2}+2$，即$m-\frac{1}{2}≤x≤m+\frac{5}{2}$，
在该区间内：
当$x=m$时，函数取得最小值，最小值为$2(m-m)^2=0$；
比较区间两个端点到对称轴$x=m$的距离：$|(m-\frac{1}{2})-m|=\frac{1}{2}$，$|(m+\frac{5}{2})-m|=\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}＞\frac{1}{2}$，
∴当$x=m+\frac{5}{2}$时，函数取得最大值，最大值为$2×(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{2}$，
∴最大值与最小值的差为$\frac{25}{2}-0=\frac{25}{2}$。
【答案】
$\frac{25}{2}$
【知识点】
二次函数点坐标特征、二次函数的最值、二次函数的性质
【点评】
本题综合考查二次函数的性质应用，解题的核心是通过已知条件推导得到自变量区间与对称轴的位置关系，再结合抛物线的开口方向判断最值位置，能够很好地考查学生的逻辑推导能力和知识运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用点在二次函数图象上的性质，将点A坐标代入函数解析式，结合已知$s-m=t$的等量关系，求出t的值，进而得到s与m的关系；再将给定的x的取值范围转化为用m表示的形式，结合开口向上的二次函数的最值规律：对称轴处取最小值，离对称轴越远的点函数值越大，分别求出区间内的最大值和最小值，最后计算差值即可。
【解析】
∵点$A(s,t)$在二次函数$y=2(x-m)^2$的图象上，
∴将$A(s,t)$代入解析式得：$t=2(s-m)^2$，
又
∵$s-m=t$（$t≠0$），
∴代入上式得：$t=2t^2$，
解得$t=\frac{1}{2}$，$t=0$（不符合$t≠0$的条件，舍去），
∴$s-m=\frac{1}{2}$，即$s=m+\frac{1}{2}$，
∵二次函数$y=2(x-m)^2$的开口向上，对称轴为直线$x=m$，
将$s=m+\frac{1}{2}$代入区间$s-1≤x≤s+2$，可得：
$m+\frac{1}{2}-1≤x≤m+\frac{1}{2}+2$，即$m-\frac{1}{2}≤x≤m+\frac{5}{2}$，
在该区间内：
当$x=m$时，函数取得最小值，最小值为$2(m-m)^2=0$；
比较区间两个端点到对称轴$x=m$的距离：$|(m-\frac{1}{2})-m|=\frac{1}{2}$，$|(m+\frac{5}{2})-m|=\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}＞\frac{1}{2}$，
∴当$x=m+\frac{5}{2}$时，函数取得最大值，最大值为$2×(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{2}$，
∴最大值与最小值的差为$\frac{25}{2}-0=\frac{25}{2}$。
【答案】
$\frac{25}{2}$
【知识点】
二次函数点坐标特征、二次函数的最值、二次函数的性质
【点评】
本题综合考查二次函数的性质应用，解题的核心是通过已知条件推导得到自变量区间与对称轴的位置关系，再结合抛物线的开口方向判断最值位置，能够很好地考查学生的逻辑推导能力和知识运用能力。
【难度系数】
0.6
